杭州高复-四人搞笑小品剧本

第26练 空间几何体的三视图及表面积与体积
[题型分析·高考展望] 三视图是高考的热点和重点.其考查形式多种多样，选择题、填空题
和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识，涉
及到三视图、 空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明.
体验高考
1.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.3π B.4π C.2π＋4 D.3π＋4
答案 D
解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为
11
S＝2×π×1
2
＋×2π×1×2＋2×2
22
＝π＋2π＋4＝3π＋4.
2.(2016·课标全国乙)如图，某几何体的 三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直
的半径.若该几何体的体积是
28π
，则它的表面积是( )
3

A.17π B.18π C.20π D.28π
答案 A
解析 由题意知，该几何体的直观图如 图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个
171
平面)切掉左上角的后得到的组合体 ，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，由几何
884
71
体的体积易得球的半径 为2，则得S＝×4π×2
2
＋3×
π×2
2
＝17π，故选A.
84

3.(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )

111
A. B. C. D.1
632
答案 A
解析 由三视图知，三棱锥如图所示.由侧(左)视图得高h＝1，

11
又底面积S＝×1×1＝，
22
11
所以体积V＝
Sh＝.
36
4.(2016·四 川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正(主)视图如图
所示，则该三棱锥的 体积是________.

答案
3

3
解析 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正(主)视图可得俯视图
(如图)，

且三棱锥高为h＝1，
11
1
3
×23×1

×1＝
.
则面积 V＝
Sh＝
×


33

2
3
5 .(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2
，
体积是________cm
3
.

答案 72 32
解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、
2 cm、2 cm，其直观图如下：

其体积V＝2×2×2×4＝32( cm
3
)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所
以表面积为S＝2( 2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm
2
).
高考必会题型
题型一 三视图识图
例1 (1)在如图所示的空间直角坐标系Ox yz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，
(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2， 2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正(主)
视图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②
(2)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到如图②所示的几何体，则该几何体的 侧(左)
视图为( )


答案 (1)D (2)B
解析 (1)由三视图可知，该几何体的正(主)视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0，
0，2 )，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正(主)视
图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，
0)，(1，2，0)，故俯视图是②.
(2)还原正方体后，将D
1
，D，A三点 分别向正方体右侧面作垂线.D
1
A的射影为C
1
B，且为
实线，B
1
C被遮挡应为虚线.
点评 画法规则：(1)由几何体的轮廓线定形状，看到的画成实线，看不到的画成虚线.
(2)正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高.
变式训练1 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )


答案 B
解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一
个面 即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，

因此选B.
题型二 空间几何体的表面积和体积
例2 (1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )

A.1＋3 B.2＋3 C.1＋22 D.22
(2)(2015·天津)一个几 何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m
3
.

8
答案 (1)B (2)
π
3
解析 (1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，

13
∴该四面体 的表面积为S
表
＝2××2×1＋2××(2)
2
＝2＋3，故选B.
24
(2)由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为
18
1 m，圆柱的高为2 m，所以该几何体的体积V＝2×π×1
2
×1＋π×1
2
×2＝
π(m
3
).
33
点评 利用三视图求几何体的表面积、体积，需先由三视图还原几何体，三个图形结合得出
几何体的大致形状，由实、虚线得出局部位置的形状， 再由几何体的面积体积公式求解.
变式训练2 (1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几
何体的表面积为( )

A.20π B.24π C.28π D.32π
(2)(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

1212
A.
＋π B.＋π C.＋2π D.＋2π
3333
答案 (1)C (2)A
解析 (1)由三视图可知，组合体的底面圆的 面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝
23
2
＋2
2
＝4，
1
所以圆锥的侧面积为S
锥侧
＝×4π×4＝8π，
2
圆柱的侧面积S
柱侧
＝4π×4＝16π，
所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，
故选C.
(2)这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
11
1
1
×1×2

×1＝π＋，
V＝π×1< br>2
×2＋×


23

2
3
选A.
高考题型精练
1.如图所示的几何体是棱柱的有( )

A.②③⑤ B.③④⑤ C.③⑤ D.①③
答案 C
解析 由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱，故选C.

2.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为( )

A.363(π＋2)
C.1083π
答案 B
解析 由俯视 图可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正(主)视图和侧(左)
视图可知该几何体是由 半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一
个侧面重合，两个锥体的高相等.
由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r＝6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为
6 的等腰三角形，两个锥体的高h＝12
2
－6
2
＝63，
11故半圆锥的体积V
1
＝
×
π×6
2
×63＝363π.
23
1
三棱锥的底面积S＝×12×6＝36，
2
11
三棱锥的体积V
2
＝Sh＝
×36×63＝723.
33
故该几何体的体积V＝V
1
＋V
2
＝363π＋723 ＝363(π＋2).故选B.
3.(2016·课标全国丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某多面体的三视
图，则该多面体的表面积为( )
B.363(π＋2)
D.108(3π＋2)

A.18＋365 B.54＋185 C.90 D.81
答案 B
解析 由题意知，该几何体为底面为正方形的斜平行六面体，边长分别为 3，3，45，几何
体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋185.
4.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于( )

728
A.π B.16π C.8π D.π
33
答案 D
解析 由三视图知，几何体是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面 三角形中心连线的中
点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求得其半径为 < br>23
2
2121
2
28
1
2
＋＝，那么 外接球的表面积为4π×(
)
＝
π，故选D.
3333
5.已知某 几何体的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图是边长为1的正方形，俯视
图是腰长为1的等 腰直角三角形，则该几何体的体积是( )

11
A.2 B.1 C. D.

23
答案 C
解析 根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的 直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角
11
边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以该三棱柱的 体积为V＝Sh＝×1×1×1＝，故
22
选C.

6.(2016·山东 )一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )

1212122
A.
＋
π B.
＋
π C.
＋
π D.1＋π
3333366
答案 C
解析 由三视图知，半球的半径R＝
2
， 四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V
2
11412
2
＝×1×1 ×1＋×
π×

3
＝＋
π，故选C.
323

2

36
7.某几何体的正(主)视图和侧(左)视图均为如图1所示的图形 ，则在图2的四个图中可以作
为该几何体的俯视图的是( )


A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④
答案 A
解析 由正(主)视图和侧(左)视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故
①③正确. < br>π
8.(2015·山东)在梯形ABCD中，∠ABC＝
，AD∥BC，BC＝2AD ＝2AB＝2.将梯形ABCD绕
2
AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体 积为( )
2π4π5π
A. B. C. D.2π
333
答案 C

解析 过点C作CE垂直AD 所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成
的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半 径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为
底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，

115π
该几何体的体积为V＝V
圆柱
－V
圆锥
＝π·AB
2
·BC－·π·CE
2
·DE＝π·1
2
·2－π·1< br>2
·1＝
，故选C.
333
9.(2015·江苏)现有橡皮泥制作 的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆
柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高 均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱
各一个，则新的底面半径为________.
答案 7
11
解析 设新的底面半径为r，由题意得
πr
2
·4＋πr
2
·8＝π×5
2
×4＋π×2
2
×8，解得 r＝7.
33
10.一个几何体的侧(左)视图和俯视图如图所示，则其正(主)视图的面积 为________.


答案 4
解析 由题意知其正(主)视图如图所示，
1
则其面积为×(1＋3)×2＝4.
2

11.已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位： m)，则该四棱
锥的体积为________m
3
.

答案 2
解析 由三视图知，四棱锥的高为3，底面平 行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其
11
体积V＝
Sh＝
×2×1× 3＝2.
33
12.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上 ，则该圆锥的
体积与球O的体积的比值为________.
答案
9

32
解析 设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，
13
则V
圆锥
＝
·πa
2
·3a＝πa
3
.
33
23
又R
2
＝a
2
＋(3a－R)
2
，所以R＝
a，
3
4π23
3
323π
3
故V
球< br>＝
·(a)
＝
a
，
3327
9
则其体积比值为
.
32
13.在三棱柱ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，∠BAC＝90°， 其正(主)视图和侧(左)视图都是边长为1的正
方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形.设 点M，N，P分别是棱AB，BC，B
1
C
1
的中点，则三棱锥P
－
A
1
MN的体积是________.
答案
1

24
解析 由三视图易知几何体ABC－A
1
B
1
C
1
是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱，
则
V
P-A
1< br>MN
＝
V
A
1
-PMN
＝V
A
－< br>PMN
.
1111
又S
△
PMN
＝
MN·NP＝
××1＝，
2224
1
A到平面PMN的距离h＝
，
2
11111< br>∴V
A
－
PMN
＝S
△
PMN
·h＝
××＝
.
334224