六一国际儿童节-学习部工作计划

专题二 立体几何
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析
常考点

空间几何体的表面积与体积(5年3
考)
大题考情分析
本专题在高考大题中的考查非
常稳定，主要是线线、线面、面面
的平行与垂直关系 的证明，一般第
偶考点

简单几何体与球的切接问题

(1)问是线 面平行的证明，第(2)问
是线线垂直或面面垂直的证明，考
查形式单一，难度一般.

第一讲 小题考法——立体几何中的计算
考点(一)
空间几何体的表面积与体积

主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面
积与体积.
[题组练透]
1．现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸
成 一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为________cm.
解析：因为圆锥底面半径为3 cm，母线长为5 cm，所以圆锥的高为5－3＝4 cm，其
14
233
体积为π×3×4＝12π cm，设铁球的半径为
r< br>，则π
r
＝12π，所以该铁球的半径是
33
3
9 cm.
3
答案：9
2．(2018·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形， 侧面对角线的长为
23，则该直四棱柱的侧面积为________．
解析：由题意得，直四 棱柱的侧棱长为
积为
S
＝
cl
＝4×2×22＝162.
答案：162
3.(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中< br>心为顶点的多面体的体积为________．
解析：由题意知所给的几何体是棱长均为2的八 面体，它是由两个有
公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的
3
2
22

－2＝22，所以该直四棱柱的侧面
2

14
2
体积为2
V
正四棱锥
＝2××(2)×1＝.
33
4
答案：
3
4．(2018·南通、泰州一调)如图，铜质六 角螺帽毛坯是由一个正
六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体．已知正六棱柱的底面边长、高
都为 4 cm，圆柱的底面积为93 cm.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6
cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损
耗)．
解析：由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6×
603 cm，设所求正三棱柱的底面边长为
x
cm，则有
以所求边长为210 cm.
答案：210
5．设甲，乙两个圆柱的底面积分别为
S
1
，
S
2
，体积分别为
V
1
，
V
2
.若它们 的侧面积相等
3
2
3
2
×4×4－93×4＝
4
3
2
x
·6＝603，解得
x
＝210，所
4
V1
3
S
1
且＝，则的值是________．
V
2< br>2
S
2
解析：设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为
r
1
，
r
2
，高分别为
h
1
，
h
2
，则有2π
r
1
h
1
＝
2π
r
2
h
2
，
即
r
1
h
1
＝
r
2
h
2
，
V
1
π
r
2
V1
r
1
r
1
3
1
h
1
又＝< br>2
，∴＝，∴＝，
V
2
π
r
2
h
2
V
2
r
2
r
2
2
S
1
π
r
2
9
1
则＝
2
＝.
S
2
π
r
2
4
9
答案：
4
[方法技巧]
求几何体的表面积及体积的解题技巧
(1)求几何体的表 面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所
在．求三棱锥的体积时，等体积转化是 常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知
几何体的某一面上．
(2)求不规则几何体 的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何
体以易于求解．

考点(二)
简单几何体与球的切接问题

主要考查简单几 何体与球切接时的表面
积、体积的计算问题，以及将空间几何体
的问题转化为平面几何图形的关 系的能力.

[题组练透]
1．(2017·江苏高考)如图，在圆柱
O
1
O
2
内有一个球
O
，该球与圆柱的
上、下底面 及母线均相切．记圆柱
O
1
O
2
的体积为
V
1，球
O
的体积为
V
2
，则
的值是________．
解析：设球
O
的半径为
R
，因为球
O
与圆柱
O
1
O
2
的上、下底面及母线均相切，所以圆柱
V
1V
2
V
1
π
R
2
·2
R
3< br>的底面半径为
R
、高为2
R
，所以＝＝.
V
2
42
3
π
R
3
3
答案： < br>2
2．(2018·无锡期末)直三棱柱
ABC
­
A
1
B
1
C
1
中，已知
AB
⊥
BC
，
AB
＝3，
BC
＝4，
BB
1
＝5，
若三棱柱的 所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
解析：根据条件可知该直三棱柱的外 接球就是以
BA
，
BC
，
BB
1
为棱的长方体的外 接球，
52
222222
设其半径为
R
，则2
R
＝
BA
＋
BC
＋
BB
1
＝3＋4＋5，得
R
＝，故该球的表面积为
S
＝
2
4π
R
＝50π.
答案：50π
3．已知矩形
ABCD
的顶点都在半径为2的球
O< br>的球面上，且
AB
＝3，
BC
＝3，过点
D
作
DE
垂直于平面
ABCD
，交球
O
于点
E
，则棱 锥
E
­
ABCD
的体积为________．
解析：如图所示，
BE
过球心
O
，
∴
BE
＝4，
BD
＝3＋
∴
DE
＝ 4－
2
2
2
3
2
2
＝23，
3＝2，
1
∴
V
E
­
ABCD
＝×3×3×2＝23.
3
答案：23
4．(2018·全国卷Ⅲ改编)设
A
，
B
，
C
，
D
是同一个半径为4的球的球面上四点，△
ABC< br>为等边三角形且其面积为93，则三棱锥
D
­
ABC
体积的最大值为_ _______.

解析：由等边△
ABC
的面积为93，可得
外接圆的半径为
r
＝
3
2
AB
＝93，所以
AB
＝6，所以等边△
ABC
的
4
3
AB
＝23.设球 的半径为
R
，球心到等边△
ABC
的外接圆圆心的距离为
3
d
，则
d
＝
R
2
－
r
2
＝16－ 12＝2.所以三棱锥
D
­
ABC
高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D
­
ABC
体积的最大值为×93×6＝183.
答案：183
[方法技巧]
简单几何体与球切接问题的解题技巧
方法

解读

解答时首先要找准切点，通过
截面法

作截面来解决 ．如果内切的是
多面体，则作截面时主要抓住
多面体过球心的对角面来作

首先确定球心位置，借助外接
构造
直角
三角
形法
< br>的性质——球心到多面体的顶
点的距离等于球的半径，寻求
球心到底面中心的距离、半< br>径、顶点到底面中心的距离构
造成直角三角形，利用勾股定
理求半径

因正方体、长方体的外接球半
径易求得，故将一些特殊的几
补形法

何体补形为正方体或长方体，
便可借助外接球为同一个的特
点求解


考点(三)
平面图形的翻折与空间图形的展开问题


[典例感悟]
主要考查空间图形与平面图形之间的转化，
面积、体积以及最值
问题的求解.

三条侧棱两两垂直的三棱锥，
从正方体或长方体的八个顶 点
中选取点作为顶点组成的三棱
锥、四棱锥等
正棱锥、正棱柱的外接球
球内切多面体或旋转体
适合题型
1
3

[典例] (1)如图，正△
ABC
的边长为2，
CD
是
A B
边上的高，
E
，
F
分别为边
AC
与
BC
的中点，现将△
ABC
沿
CD
翻折，使平面
ADC
⊥平面
DCB
，则三棱锥
E
­
DFC
的体积为
__ ______．


(2)如图，直三棱柱
ABC
－
A< br>1
B
1
C
1
中，
AB
＝1，
BC< br>＝2，
AC
＝5，
AA
1
＝3，
M
为线段< br>BB
1
上
的一动点，则当
AM
＋
MC
1最小时，△
AMC
1
的面积为________．
11

3
311

[解析] (1)
S
△
DFC
＝
S
△
ABC
＝×

×2
2

＝，
E
到平面
DFC
的距离
h
等于< br>AD
＝，
V
E
­
DFC
44

4< br>22

4
13
＝×
S
△
DFC
×< br>h
＝.
324
(2)将侧面展开后可得：本题
AM
＋
MC
1
最小可以等价为在矩形
ACC
1
A
1
中求
AM
＋
MC
1
的最小值．
如图，当
A
，
M
，
C
1
三点共线时，
AM
＋
MC
1
最小．
又
AB
∶
BC
＝1∶2，
AB
＝1，
BC
＝2，
CC
1
＝3，
所以
AM＝2，
MC
1
＝22，又
AC
1
＝9＋5＝14， < br>AM
2
＋
C
1
M
2
－
AC
2
2＋8－141
1
所以cos∠
AMC
1
＝＝＝－， < br>2
AM
·
C
1
M
2
2×2×22
所 以sin∠
AMC
1
＝
3
，
2
13
故三角形面积为
S
＝×2×22×＝3.
22
[答案] (1)
3
(2)3
24
[方法技巧]
解决翻折问题需要把握的两个关键点
(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变 化量和不变量．一般情况下，折
线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“ 不变性”．

①与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；
②与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变．
(2)解决问题时，要综合考虑翻折前后的 图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折
前的图形．

[演练冲关]
1．有一根长为6 cm，底面半径为0.5 cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4
圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为________cm.
解析：由题意作出图形如图所示，

则铁丝的长度至少为6＋
答案：29＋4π
2．(2018·南京、盐城、连云港二 模)在边长为4的正方形
ABCD
内剪去四个全等的等腰
三角形(如图①中阴影部分) ，折叠成底面边长为2的正四棱锥
S
­
EFGH
(如图②)，则正四棱
锥
S
­
EFGH
的体积为________．
2
2
π
2
＝36＋16π＝29＋4π.
22

解析：连结
EG
，
HF
，交点为
O
(图略)，正方 形
EFGH
的对角线
EG
＝2，
EO
＝1，则点
E
到
线段
AB
的距离为1，
EB
＝1＋2＝5，
SO
＝
SE
－
OE
＝5－1＝2，故正四棱锥
S
­EFGH
14
2
的体积为×(2)×2＝.
33
4
答案：
3
3．如图所示，平面四边形
ABCD中，
AB
＝
AD
＝
CD
＝1，
BD
＝ 2，
BD
⊥
CD
，将其沿对角线
2222
BD
折成 四面体
ABCD
，使平面
ABD
⊥平面
BCD
，若四面体< br>ABCD
的顶点在同一个球面上，则该
球的体积为________．

解析：如图，取
BD
的中点
E
，
BC
的中点
O
，连接
AE
，
OD
，
EO< br>，
AO
.
因为
AB
＝
AD
，所以
A E
⊥
BD
.
由于平面
ABD
⊥平面
BCD
，所以
AE
⊥平面
BCD
.
因为
AB
＝
AD
＝
CD
＝1，
BD
＝2，所以
AE
＝
3
.
2
13
在Rt△
BDC
中，
OB
＝
OC
＝
OD
＝
BC
＝，所以四面体
ABCD的外接球的球心为
O
，半径为
22
3
.
2
4

3

3
3π
所以该球的体积
V
＝π
＝.
3

2

2
答案：

[必备知能·自主补缺]

(一) 主干知识要牢记
1．空间几何体的侧面展开图及侧面积公式
几何体

侧面展开图

侧面积公式
3π

2
21
，
EO
＝.所 以
OA
＝
22
S
直棱柱侧
＝
ch

直棱柱
c
为底面周长

h
为高
S
正棱锥侧
＝
ch
′
1
2
正棱锥

c
为底面周长
h
′为斜高

即侧面等腰三角形的高

S
正棱台侧
＝(
c
＋
c
′)
h
′
正棱台

1
2
c
′为上底面周长
c
为下底面周长

h
′为斜高，即侧面等腰梯形的高
S
圆柱侧
＝2π
rl

圆柱
r
为底面半径

l
为侧面母线长
S
圆锥侧
＝π
rl

圆锥
r
为底面半径

l
为侧面母线长
S
圆台侧
＝π(
r
1
＋
r
2
)
l

圆台

r
1
为上底面半径
r
2
为下底面半径

l
为侧面母线长
2.柱体、锥体、台体的体积公式
(1)
V柱体
＝
Sh
(
S
为底面面积，
h
为高)； < br>1
(2)
V
锥体
＝
Sh
(
S
为底面 面积，
h
为高)；
3
1
(3)
V
台
＝(
S
＋
SS
′＋
S
′)
h
(不要求记忆)．
3
3．球的表面积和体积公式：
(1)
S
球
＝4π
R
(
R
为球的半径)；
4
3
(2)
V
球
＝π
R
(
R为球的半径)．
3
4．立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题，都可以转 化为平面几何中
两点距离最短．
(二) 二级结论要用好
1．长方体的对角线与其 共点的三条棱之间的长度关系
d
＝
a
＋
b
＋
c；若长方体外接
球半径为
R
，则有(2
R
)＝
a
＋
b
＋
c
.
[针对练1] 设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直， 且长度分别为2,23，4，则其外接
球的表面积为________．
解析：依题意，设题 中的三棱锥外接球的半径为
R
，可将题中的三棱锥补形成一个长
方体，则
R< br>＝
1
2
2＋
2
3
2
2222
222 2
2
＋4＝22，所以该三棱锥外接球的表面积为
S
＝4π
R
＝
22

32π.
答案：32π
2．棱长为
a< br>的正四面体的内切球半径
r
＝
高
h
＝
613
a
，故
r
＝
h
，
R
＝
h
. 344
66
a
，外接球的半径
R
＝
a
.又正四 面体的
124
[针对练2] 正四面体
ABCD
的外接球半径为2，过棱AB
作该球的截面，则截面面积的
最小值为________．
解析：由题意知 ，面积最小的截面是以
AB
为直径的圆，设
AB
的长为
a
，
因为正四面体外接球的半径为2，
所以
646
a
＝2，解得
a
＝，
43
故截面面积的最小值为π

8π
答案：
3

26

2
8π

＝
3
.

3

3．认识球与正方体组合的3种特殊截面：
一是球内切于正 方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们
的相应轴截面如图所示(正方体的棱 长为
a
，球的半径为
R
)．

[课时达标训练]
A组——抓牢中档小题
1. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ________.
解析：由题意，得圆锥的母线长
l
＝1＋2＝5，所以
S
5π.
答案：5π
2．已知正六棱柱的侧面积为72 cm，高为6 cm，那么它的体积为________cm.
解析：设正六棱柱的底面边长为
x
cm，由题意得6
x
×6＝72，所以
x
＝2，于是其体积
V
＝
3
23
×2×6×6＝363cm.
4
答案：363
23
22
圆锥侧
＝π
rl
＝π×1×5＝

3．已知球
O
的半径为
R
，
A
，
B
，C
三点在球
O
的球面上，球心
O
到平面
ABC
的距离为
3
2
R
，
AB
＝
AC
＝
BC
＝23，则球
O
的表面积为________．
解析：设△
A BC
外接圆的圆心为
O
1
，半径为
r
，因为
AB< br>＝
AC
＝
BC
＝23，所以△
ABC
为
23
222
正三角形，其外接圆的半径
r
＝＝2，因为
OO
1< br>⊥平面
ABC
，所以
OA
＝
OO
1
＋
r
，即
2sin 60°
R
2
＝


3

2222
R

＋2，解得
R
＝16，所以球O
的表面积为4π
R
＝64π.

2

答案：64π
4. 已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢
球，则球心到盒底的距离为________cm.
解析：球心到正方体的塑料盒上 表面(不存在)所在平面的距离为5－3＝4，所以球
心到盒底的距离为4＋6＝10(cm)．
答案：10
2π
5．(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆 心角为的扇形，则此
3
圆锥的体积为________．
12π
2
解析：设圆锥的底面半径为
r
，高为
h
，母线为
l
，则由· ·
l
＝3π，得
l
＝3，又
23
2π122
222
由·
l
＝2π
r
，得
r
＝1，从而有
h< br>＝
l
－
r
＝22，所以
V
＝·π
r
·
h
＝π.
333
22
答案：π
3
6. 一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全
等的等腰三角形作 侧面，以它们的公共顶点
P
为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形
容器．当
x
＝6 cm时，该容器的容积为________cm.
3
22

解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面高为5
cm，则正四棱锥的高为
答案：48
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 ，若这个正方体的表面积为18，则这个
1

6

2223
5－

＝4 cm，所以所求容积
V
＝×6×4＝48 cm.
3

2


球的体积为________．
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为3.
3
设该正方体外接球的半径 为
R
，则2
R
＝3，
R
＝，
2
4
3
4π279π
所以这个球的体积为π
R
＝×＝.
3382
9π
答案：
2
8．设棱长为
a
的正方体 的体积和表面积分别为
V
1
，
S
1
，底面半径和高均为r
的圆锥的
V
1
3
S
1
体积和侧面积分别为< br>V
2
，
S
2
，若＝，则的值为________．
V
2
π
S
2
1
V
1
3
a
3
32
解析：由题意知，
V
1
＝
a
，
S< br>1
＝6
a
，
V
2
＝π
r
，
S
2
＝2π
r
，由＝，即＝，
3
V
2
π1
3
π
π
r
3
32
2
S
1
6
a
632
得
a
＝
r
，从而＝＝＝.
2
S
2
π
2π
r
2π
3
32
答案：
π
9．已知正方形
ABCD
的边长为2，
E
，
F< br>分别为
BC
，
DC
的中点，沿
AE
，
EF< br>，
AF
折成一个
四面体，使
B
，
C
，
D
三点重合，则这个四面体的体积为________．
解析：设
B
，< br>C
，
D
三点重合于点
P
，得到如图所示的四面体
P< br>­
AEF
.
因为
AP
⊥
PE
，
AP
⊥
PF
，
PE
∩
PF
＝
P
，所以
AP
⊥平面
PEF
，所以
V
四面体
P
­< br>AEF
1111
＝
V
四面体
A
­
PEF＝·
S
△
PEF
·
AP
＝××1×1×2＝.
3323
1
答案：
3
10．(2018·常州期末)已知圆锥的高 为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆
锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为______ __．
1
2
解析：设截得的小圆锥的高为
h
1
，底面半径 为
r
1
，体积为
V
1
＝π
r
1
h
1
；大圆锥的高为
h
3
1
2
π
r
1
h
1
1
2
r
1
h
1
V
1
3

h
1

3
1
＝6，底面半径为r
，体积为
V
＝π
rh
＝8.依题意有＝，
V
1
＝1，＝＝

＝，
3
rhV
1
2
< br>h

8
π
rh
3
1
得
h
1
＝
h
＝3，所以圆台的高为
h
－
h
1
＝3 .
2
答案：3
11.如图，在直三棱柱
ABC
­
A1
B
1
C
1
中，底面为直角三角形，∠
ACB
＝

90°，
AC
＝6，
BC
＝
CC
1
＝2，
P
是
BC
1
上一动点，则
CP
＋
PA
1
的最小值是________．



解 析：连结
A
1
B
，沿
BC
1
将△
CBC< br>1
展开，与△
A
1
BC
1
在同一个平面内，如图所示 ，连结
A
1
C
，则
A
1
C
的长度就是所求 的最小值．
因为
A
1
C
1
＝6，
A
1< br>B
＝210，
BC
1
＝2，所以
A
1
C1
＋
BC
1
＝
A
1
B
，所以∠
222
A
1
C
1
B
＝90°.
又∠
B C
1
C
＝45°，所以∠
A
1
C
1
C＝135°，由余弦定理，得
A
1
C
＝
A
1
C
1
＋
CC
1
－2
A
1
C
1
·
CC
1
·cos∠
A
1
C
1
C
＝36＋2－2×6×2×

－
2
22


2< br>

＝50，所以
A
1
C
＝52，即
CP< br>＋
2

PA
1
的最小值是52.
答案：52 12．(2018·苏中三市、苏北四市三调)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8
倍，将其 熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)．设正四棱柱与正
四棱锥的侧面积分别为
S
1
，
S
2
，则的值为________．
解析 ：设正四棱柱的高为
a
，所以底面边长为8
a
，根据体积相等，且底面积相等 ，所
以正四棱锥的高为3
a
，则正四棱锥侧面的高为
4×8
a
2
＝.
15
4××8
a
×5
a
2
2
答案： 5
13．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截
面 为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．
解析：如图，设底面半径为
r
，由题意可得：母线长为2
r
.又侧面展
1
开图面积为×2r
×2π
r
＝42π，所以
r
＝2.又截面三角形
AB D
为等边三
2
角形，故
BD
＝
AB
＝2
r
，又
OB
＝
OD
＝
r
，故△
BOD
为等腰直角三角形．设圆
锥底面中心到截面的距离为
d
，又
V
O< br>­
ABD
＝
V
A
­
BOD
，所以
d
×
S
△
ABD
＝
AO
×
S
△OBD
.又
S
△
ABD
＝
32×223
×8＝ 23，
S
△
OBD
＝2，
AO
＝
r
＝2， 故
d
＝＝.
43
23
3
2
AB
＝
4
2
S
1
S
2
a
2
＋
a
2
＝5
a
，所以
S
1
＝
S
2