深圳信息职业技术学院地址-节能减排方案

立体几何


知识点概述





多面体(棱柱、棱锥、棱台)
结构特征





旋转体(圆柱、圆锥、圆台、球)


简单的空间几何体
图形表示直观图与三视图




正棱柱(锥、台 )的侧面积与体积

面积与体积






圆（柱、锥）与球的表面积与体积



平面：平面的基本性质 (三公理、三推论)




空间两条直线：平行、相交、异面


立体几何初步



直线在平面内







线面平行的判定 与性质
空间直线与平面


空间点、线、面的位置关系



线面垂直的判定与性质



线面相交






斜交(相交不垂直)






面面平行的判定与性质



< br>空间两个平面

面面垂直的判定与性质



面面相 交不垂直








向量的线性运算


线面关系的判断

空间向量与立体几何

向量的数量积空间向量的应用


角 与距离的计算

直线的方向向量与平面的法向量



例题精讲

板块一：三视图与表面积、体积
【例1】
一个长方体去掉一个小长方体，所得几何 体的正（主）视图与侧（左）视图分别如图所
示，则该几何体的俯视图为
正（主）视图
侧（左）视图

A.
B.C.D.


【例2】
一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；
③圆； ④椭圆．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③
C．③④ D．①④







3
2
2
2
正视图侧视图
【例3】
如图，三棱柱< br>ABCA
1
B
1
C
1
的侧棱长和底面边长均为2
，且侧棱
AA
1

底面
ABC
，其正（主）
视图是边长为
2
的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）

A．
3
B．
23
C．
22
D．
4


【例4】
一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （ ）

A．112 B．80 C．72 D．64
3
4
4
正视图侧视图
4
俯视图



【例5】 将正三棱柱截去三个角（如图所示
A,B,C
分别是
 CHI
三边的中点）得到几何体如图，则该
几何体按图中所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
I
B
G
A
C
A
H
BC
FE
F
E
D
D

BB
B
B
E< br>A
E
B
E
C
E
D



【例6】 若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A．
183
B．
153
C．
2483

2
俯视图

D．
24163

23
主视图
左视图



【例7】 （2009宁夏海南卷理）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：< br>cm
2
）为（ ）

3
4
66
3
4
6
3
6

A．
48122
B．
48242

C．
36122
D．
36242



【例8】
（2010石景山一模）
一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：
cm
2
）为（ ）
A．
80
B．
60
C．
40
D．
20





【例9】
（2010年东城一模）
已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A．
622
B．
62
C．
522
D．
52








【例10】
（2010年宣武一模）
2
1
主视图
1
1
俯视图
2
1
侧视图
若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是
cm
3
．

2
1
2
正视图
左视图
1
1
俯视 图
10题图


【例11】 （2010天津高考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
1
2
1
正视图
2
2
俯视图
1
2
1
侧视图


【例12】
如图，正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，动点
E,F
在棱
A
1
B
1
上，动点
P,Q
分别在棱
AD
，< br>，则四面体
PEFQ
的体积
CD
上，若
EF1
，
A
1
Ex
，
DQy
，
DQz
（x,y,z
大于零）

D
1
A．与
x,y,z
都有关

B．与
x
有关，与
y,z
无关
A
1
C< br>1
E
F
B
1
C．与
y
有关，与
x, z
无关


D．与
z
有关，与
x,y
无关
D
Q
B
P
A
C

板块二：空间的点线面位置关系

【例13】
已知
m
，
n
为两条不同的直线，

，

为两个不同的 平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
m∥n,m

n

B．< br>
∥

,m

,n

m∥n

C．
m

,mnn∥

D．
m

,n

,m∥

,n∥



∥







【例14】
设
l
，
m
是两条不同的直线，
是一个平面，则下列命题正确的是

A．若
lm
，
m

，则
l

B．若
l

，
l∥m
，则
m


C．若
l∥

，
m

则
l∥m
D．若
l∥

，
m∥

，则
l∥m







【例15】
已知平面

平面

，

I

l
， 点
A

，
Al
，直线
AB∥l
，直线
ACl
，直线
m∥

，
成立的是（ ）

m∥

，则下列四种位置关系中，不一定
．．．
A．
AB∥m

C．
AB∥




B．
ACm

D．
AC






【例16】
已知
m,n
是两条不同直线，

,

,

是三个不同平面，下列命题中正确的为 ( )

A．若



,


,
则

∥

B．若
m

,n

,
则
m∥n
C．若
m∥

,n∥

，则
m∥n
D．若m∥

,m∥

,
则

∥







板块三：立体几何与空间向量
AB2
，
【例17】
如图，正方形
ABCD
和四边形< br>ACEF
所在的平面互相垂直，
CEAC
，
EF∥AC
，< /p>

CEEF1
．
E
F
C
B
DA

（Ⅰ）求证：
AF∥
平面
BDE
；
（Ⅱ）求证：
CF
平面
BDE
；
（Ⅲ）求二面角
ABED
的大小．



















【例18】
已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
⑴求这个组合体的表面积；
⑵若组合体的底部几何体记为
ABCDA
1< br>B
1
C
1
D
1
，其中
A
1
B
1
BA
为正方形．
ⅰ）求证：
A
1
B平面A B
1
C
1
D
；

ⅱ）设点
P
为棱
A
1
D
1
上一点，求直线
AP
与平面
AB
1
C
1
D
所成角的正弦值的取值范围．
4
12
8
10
8
主视图
D
1
左视图
C
1
俯视图

P
A
1
D
B
1
C
A
B















【例19】
如图，在矩形
ABCD中，
AB33
，
BC3
，沿对角线
BD
将
BCD
折起，使点
C
移到
C

点，
C

O
⊥面
ABD
，且
O
在
AB
上．
⑴求证：
BC

⊥平面
AC

D
；
⑵求点
A
到平面
BC

D
的距离；

⑶求直线
AB
与平面
BC

D
所成角的正弦值．
B
A
C
'
(C)
A
D
B
C
D
O































【例20】
如图，在斜三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
中，
A
1
ABA
1
AC
，
ABAC
，
A
1
AA
1< br>Ba
，侧面
B
1
BCC
1
与底面
ABC< br>所成的二面角为
120
o
，
E
、
F
分别是棱
CB
1
、
AA
1
的中点．
⑴求
AA
1
与底面
ABC
所成的角；
⑵证明：
EA
1
∥平面
B
1
FC
；

⑶求经过
A
1
、
A
、
B
、C
四点的球的体积．
A
1
F
A
C
B
C
1
E
B
1








【例21】
如图，直三棱柱
A
1
B
1
C
1
ABC
中，
C
1
CCBCA2，
ACCB
．
D
、
E
分别为棱
C
1
C
、
B
1
C
1
的中点．
⑴ 求点
B
到平面
AC
11
CA
的距离；
⑵ 求二面角
BA
1
DA
的大小；
⑶ 在线段
AC
上是否存在一点
F
，使得
EF
平面
A
1
BD< br>？若存在，确定其位置并证明结
论；若不存在，说明理由．
A
1
C
1
E
B
1
D
F
A
C
B






【例22】
如图，在四棱锥
PABCD
中，底面
ABCD
是直角梯形，
BCD90
，< br>AB∥CD
，又
ABBCPC1
，
PB2
，
CD2
，
ABPC
．
⑴求证：
PC
平面
AB CD
；
⑵求二面角
BPDC
的大小；
⑶求点
B
到平面
PAD
的距离．

P
D
C
A
B












家庭作业

习题1.
已知直线
m
、
n
与平面

、

，下列命题正确的是 （ ）
A．
m∥

,n∥

且

∥

，则
m∥n

C．

I

m,nm
且



，则
n





习题2.
一个体积为
123
的正三棱柱的 三视图如图所示，则这个三棱柱的
B．
m

,n∥

且< br>


，则
mn

D．
m
< br>,n

且



，则
mn

左视图的面积为（ ）
A．
63
B．
8
C．
83
D．
12





习题3.
有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：
cm
），该几何体的表面积和体积为（ ）
5
第 5 题
6
正（主）视图
侧（左）视图
A．
24πcm
2
,12πcm
3
B．
15πcm
2
,12πcm
3

C．
24πcm
2
,36πcm
3
D．以上都不正确



俯视图

习题4.
如图 ，已知正三棱柱
ABCA
1
B
1
C
1
的底面边长 是
2
，
D
是侧棱
CC
1
的中点，直线
AD
与侧
面
BB
1
C
1
C
所成的角为
45°
．
⑴求此正三棱柱的侧棱长；
⑵求二面角
ABDC
的大小；
⑶求点
C
到平面
ABD
的距离．
A
1
A
B
1
B
D
C
C
1