2017复活节-石化一中

1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个 平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．
2．直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类

平行直线


共面直线


相交直线



异面直线：不同在任何一个平面内，没 有公共点
(2)异面直线所成的角
①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平 行线l
1
，l
2
(a∥l
1
，b∥l
2
) ，这两条相交直线所成的
锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．
π
②范围：
0，
2
.
3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

【知识拓展】
1．唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．



(]

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
2．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )
(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )
(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( )
(5)没有公共点的两条直线是异面直线．( )

1．下列命题正确的个数为( )
①梯形可以确定一个平面；
②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则 ( )
A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n
3．(2016·合肥质检 )已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n
C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l
D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
4.(教材改编)如图所示，已 知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成
角的大小是 ______，AE和BG所成角的大小是________．

5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正 方体的六个面所在
的平面相交的平面个数为________．



题型一 平面基本性质的应用
例1 (1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不 同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α
和平面β相交”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
( 2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点， 且CG
11
＝BC，CH＝DC.求证：
33
①E、F、G、H四点共面；
②三直线FH、EG、AC共点．


如图，平面ABEF⊥平面ABC D，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB
11
＝90°，BC ∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G、H分别为FA、FD的中点．
22
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

题型二 判断空间两直线的位置关系
例2 (1)(2 015·广东)若直线l
1
和l
2
是异面直线，l
1
在平面 α内，l
2
在平面β内，l是平面α与平面β的交线，
则下列命题正确的是( )
A．l与l
1
，l
2
都不相交
B．l与l
1
，l
2
都相交
C．l至多与l
1
，l
2
中的一条相交
D．l至少与l
1
，l
2
中的一条相交
(2)如图，在正 方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M ，N分别是BC
1
，CD
1
的中点，则下列判断错误的是( )
A．MN与CC
1
垂直B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行D．MN与A
1
B
1
平行

(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直 线
GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥ b，
a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ 是相异平面，则下列命题中正确的是( )
A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面
B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交
C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ
D．a∥α，b∥β，α与β相交⇒a与b相交
题型三 求两条异面直线所成的角
例3 (2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直 ，则异面直线
AP与BD所成的角为________．

已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )

1313
A.B.C.D.
6633


16．构造模型判断空间线面位置关系
典例 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是________．

1．设a，b是两条不同的直线，α， β是两个不同的平面，aα，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2016·福州质检)在三棱 柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，E、F分别为棱AA
1
、CC
1
的中点，则在空间中与直线A
1
B
1
、
EF、BC都相交的直线( )
A．不存在 B．有且只有两条C．有且只有三条 D．有无数条
3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( )
A．平行 B．相交C．垂直 D．互为异面直线
4．在四面体ABCD的棱AB，BC ，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在AC上，也可能在BD上
D．M既不在AC上，也不在BD上
5．四 棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为5，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值
为( )
A.
25543
B.C. D.
5555
6．下列命题中，正确的是( )
A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线
B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面

C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行
D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条
7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C1
中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC
＝CC
1
＝2，P是BC
1
上一动点，则CP＋PA
1
的最小值为________．


8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为 DE、BE、EF、EC的中点，在这
个正四面体中，
①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．
9．(2015 ·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC 的
中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

10.( 2016·郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成 △A
1
DE.
若M为线段A
1
C的中点，则在△ADE翻折过程中， 下面四个命题中不正确的是________．
①BM是定值；
②点M在某个球面上运动；
③存在某个位置，使DE⊥A
1
C；
④存在某个位置，使MB∥平面A
1
DE.
12.如图所示，等腰直角三角 形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA
的中点．求 异面直线BE与CD所成角的余弦值．


13.已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别为D
1< br>C
1
，C
1
B
1
的中点，AC∩BD＝P，A
1
C
1
∩EF＝Q.求证：
(1)D、B、F、E四点共面；
(2)若A
1
C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．