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几何体的外接球
习题)
附练(

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几何体的外接球

一、 球的性质回顾
如右图所示：O为球心，O’为球O的一个小圆的
圆心，则此时OO’垂直于圆O’所在平面。





二、 常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r）的求法
1、三角形：
（1）等边三角形： < br>等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：
五心合一，即内心、外心、重心、垂心、 中心重合于一
点。
内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点；
外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点；
重心：各边中线的交点；
垂心：各边垂线的交点；
中心：正多边形特有。
从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：
r
233
aa
（其中a为等边三角形的边长）
323
B
O
C
A
O
O'
（2）直角三角形：
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结合直角三角 形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；可知：直
角三角形的外接圆圆心位于斜边的中点处 ，求解过程比较简单，该处不做重点
说明。
（3）等腰三角形：
结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的
高线即中线上。

A
r
r
B
O
D
1
设：AD=h ，BD=a
2
a
由图可得：
r(hr)
2
()
2

2
C





思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的区别。
（4）非特殊三角形：
考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考
使用正弦定理。
2、四边形
常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形与长方形半径求解方法类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。


外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球
心则是空间中到几何体各 个顶点距离相同的点。
结合上述所讲内容，外接圆圆心与外接球球心有许多相似之处
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以三角形为例 ，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得
到：该垂线上的任意一点到该三角形三个 顶点的距离恒定相等。
转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其与正方体任一表< br>面正方形的中心连线均垂直于该正方形。


从而我们得出如下结论：几何体 的外接球球心与底面外心的连线垂
直于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在底面外心的正上方。


三、 常见几何体的外接球半径的求法
1、直（正）棱柱
以三棱柱为例
例：在正三棱柱
ABCA
1< br>B
1
C
1
中，三角形ABC是边长为2的正三角形，
AA1
3
，求该三棱柱的外接球半径.
C
1
A
1
O
R
C
r
O'
AB
B
1
分析：如右图， 由正三角形的边长可知底面的外接圆半径r，要
求R，只需确定OO’的长度，结合正棱柱也是直棱柱的 特征可
知，上下两底面三角形的外心连线与侧棱平行与底面垂直，从
而球心O必位于上下两底面 外心连线的中点处，即
OO'
1
AA
1
，从而R可求.
2
233
,OO
1

,
32
由题可得：
r
在直角三角形
AOO'
中，
R
2
r
2
OO'
2

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从而
R
129

6
2、棱锥
常见有三棱锥和四棱锥两类，其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单 ，此
处重点分析三棱锥的外接球。
（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直与底面）的三棱锥
该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明如下。
例：在三棱锥P-ABC中，三角形A BC是边长为2的正三角形，PA⊥平面
ABC，PA=3，求该三棱锥的外接球半径.
分析：如右图
法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊PBC切割而产生，故该三棱锥的外接球
可转化为原三棱柱的外接球；
法二：先确定底面三角形ABC的外心O’，从而球心位于O’
的正上方，即OO’ ⊥平面A BC，同时：OP=OA，故，过O
P
O
作OM⊥PA于M，此时M必为PA中点，从 而四边形
OMAO’为矩形，所以
OO'AM
OO’A中有：
RrO O'
.
计算过程略.





（2）正棱锥
以正三棱锥为例
222
M
13
PA，在直角三角形
22
R
r
O'
C
B
A
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P
R
A
r
O
O'
B
C

在正三棱柱中顶点与底面中心的连线垂直于底面，即
PO'面ABC
，故球心O
落在 直线PO’上.
例：在正三棱锥P- ABC中，三角形ABC是边长为
P
2的正三角形，PA=3，球该三棱锥的外接球半径.
分析：如图
由底面正三角形边长可得r，在直角三角形OO’A
A
R
r
R
O
O'
B
C
设PO'=H
中，
R< br>2
r
2
OO'
2
，故只需确定OO’的长度即可，
结合图形，OO’=PO’-OP=H-R，带入上式中即可求
解.
由题可知：
r 
2369
,HPA
2
O'A
2


33
所以
R
2
r
2
(HR)
2

解得：
R


（3）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底面）的三棱锥
969

46
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该类问题的求解难点在于球心位置的寻找，确定球心时需要分别取两相互垂直
的面的过外心的垂线，球心 位于两垂线的交点处。
例：在三棱锥P-ABC中，面PAB⊥面ABC，三角形ABC和三角形PA B均为
等边三角形，且AB=3，求该几何体外接球半径.
分析：设△ABC和△PAB的球 心分别为O’,O’’，
取AB中点M，球心设为O，则OO’ ⊥平面
ABC，OO’’ ⊥ 平面PAB，从而四边形OO’MO’’
是矩形，可得：OO’=O’’M，在三角形OO’C中结合沟通定理即可求解.
由题可得：
133
OO'O''MPM,rAB3

32 3
P
O
O''
A
M
B
R
r
O'< br>C
所以
Rr
2
OO'
2



















15

2
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练习题组一
1．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面
的表面积为（ ）

A．4π B．π C．π D．20π
2．三棱锥P﹣ABC的四个顶点都 在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂
直，PA=1，PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时 ，球心O到平面ABC的距离是
（ ）
A． B． C． D．﹣
3．体积为的 球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠
APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为 （ ）
A． B． C． D．
的4．四面体ABCD的四个顶点都在某个球O的表面上 ，△BCD是边长为3
等边三角形，当A在球O表面上运动时，四面体ABCD所能达到的最大体积为< br>，则四面体OBCD的体积为（ ）
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A． B． C．9 D．
5．点A，B，C，D均在同 一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，
AC=2，AD=3，则该球的表面积为（ ）
A．7π B．14π C． D．
，AC=3，若三棱锥D﹣ABC6．已知点A、B 、C、D均在球O上，AB=BC=
体积的最大值为
A．36π
，则球O的表面积为（ ）
C．12π D．π B．16π
7．已知直三棱柱 ABC﹣A
1
B
1
C
1
的各顶点都在球O的球面上，且AB =AC=1，
BC=
A．
，若球O的体积为
B． C．2 D．
的球面上，若PA，
，则这个直三棱柱的体积等于（ ）
8．已知正三棱锥P﹣A BC，点P，A，B，C都在半径为
PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC 是边长为1的
正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为
（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
，则球O的表面积为
10．四棱锥P﹣ABCD的底面A BCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若
该四棱锥的所有顶点都在体积为
A．3 B． C．2



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同一球面上，则PA=（ ）
D．

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练习题组二
1．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱 锥称之为
阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P﹣ABC为鳖
臑，P A⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O
的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A．8π B．12π C．20π D．24π
2．已知三棱锥P﹣ ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角
形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2< br>A．8π B．16π C．32π
，则该球的表面积为（ ）
D．36π 3．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平
面BCD，BC ⊥CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面积为（ ）

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A．12π B．7π C．9π D．8π
4．已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC 两两垂直，三
棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（ ）
A． B．16π C． D．32π
5．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平
面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为
（ ）
A． B． C．24π D．
6．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥B C，PA=AC=2，且该三棱
锥所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．4π B．8π C．16π D．20π
，∠ABC=90°，若四面7．点A，B， C，D在同一个球的球面上，AB=BC=
体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）
A．2π B．4π C．8π D．16π
8．三棱柱ABC﹣A
1
B< br>1
C
1
的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA
1
=2，
若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．48π B．32π C．12π D．8π
，则当三棱锥P﹣ABC的三个9．三棱锥P﹣ABC中，侧棱P A=2，PB=PC=
侧面的面积和最大时，经过点P，A，B，C的球的表面积是（ ）
A．4π B．8π C．12π D．16π
10．如图1，ABCD是边长为2的正方形 ，点E，F分别为BC，CD的中点，将
△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起， 使B，C，D三点重合于
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点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是
（ ）

A． B．6π C． D．12π
11．如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为 2的正方形和正三角
形，则该空间几何体的外接球的表面积为（ ）

A． B． C．16π D．21π
的正方形，底12．已知四棱锥P﹣ABCD中，侧棱都相等，底面是边长为
面中心为O，以PO为直径的球经过侧棱中点，则该球的体积为（ ）
A．

B． C． D．
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一、1．B；2．B；3．C；4．C；5．B；6．B；7．B；8．A；9．A；10．B；

二、1．C；2．B；3．A；4．B；5．B；6．B；7．D；8．C；9．D；10． B；
11．B；12．C；


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