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《金版新学案》高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(七)
第七章 立体几何
—————————————————————————————————————
【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第
Ⅱ卷可在 各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
题号
答案
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

一、选择 题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求 的)
1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列四个命题中，真命题的个数为( )
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
②两条直线可以确定一个平面
③若
M
∈
α
，
M
∈
β
，
α
∩
β
＝
l
，则
M
∈
l

④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
A．1
C．3
B．2
D．4
3
，且一个内角为60°的菱形，俯视
2
3．一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为
图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )

A．23
C．4
B．43
D．8
4．体 积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的
体积是( )
用心 爱心 专心
1

A．54
C．58
B．54π
D．58π
5．设三条不同的直线
a
、
b
、
c
，两个不同的平面
α
，
β
，
bα
，
c
⃘
α
.则下列命题不
成立的是( )
A．若
α
∥
β
，
c
⊥
α
，则
c
⊥
β

B．“若
b
⊥
β
，则< br>α
⊥
β
”的逆命题
C．若
a
是
c
在
α
的射影，
b
⊥
a
，则
c
⊥
b

D．“若
b
∥
c
，则
c
∥
α< br>”的逆否命题
6．正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
BB
1
与平面
ACD
1
所成角的余弦值为( )
A.
2

3
B.
3

3
6

3
2
C.
3
D.
7．设
P
是平面< br>α
外一点，且
P
到平面
α
内的四边形的四条边的距离都相等， 则四边
形是( )
A．梯形
C．圆内接四边形
B．圆外切四边形
D．任意四边形
8．用
a
，
b
，
c
表示三条不同的直线，
γ
表示平面，给出下列命题：
①若< br>a
∥
b
，
b
∥
c
，则
a
∥
c
；②若
a
⊥
b
，
b
⊥
c
，则
a
⊥
c
；③若
a
∥
γ
，
b
∥
γ
，则
a
∥
b
；
④若
a
⊥
γ
，
b
⊥
γ
，则
a
∥
b.
其中真命题的序号是( )
A．①②
C．①④
B．②③
D．③④
9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为
a< br>，顶点都在一个球面上，则该球的
表面积为( )
A．π
a

C.
11
2
π
a

3
2
7
2
B.π
a

3
D．5π
a

2
10．正四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB
＝3，
BB
1
＝4，长为1的线段
PQ
在棱
AA
1
上移动，长为3的线段
MN
在棱
CC
1
上 移动，点
R
在棱
BB
1
上移动，
则四棱锥
R
－
PQMN
的体积是( )
A．6
C．12
B．10
D．不确定
11．已知平面
α
⊥平面
β
，
α
∩
β
＝
l
，点
A
∈
α，
A
∉
l
，直线
AB
∥
l
，直线AC
⊥
l
，直
用心 爱心 专心
2

线
m
∥
α
，
m
∥β
，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．
AB
∥
m

C．
AB
∥
β

B．
AC
⊥
m

D．
AC
⊥
β

12．设
α
，
β
，
γ
是三个互不重合的平面，
m
，
n
是直线，给出 下列命题：
①
α
⊥
β
，
β
⊥
γ
，则
α
⊥
γ
；
②若
α
∥
β
，< br>m
⃘
β
，
m
∥
α
，则
m
∥
β
；
③若
m
，
n
在
γ
内的射影 互相垂直，则
m
⊥
n
；
④若
m
∥
α，
n
∥
β
，
α
⊥
β
，则
m< br>⊥
n
.
其中正确命题的个数为( )
A．0
C．2
B．1
D．3

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

第Ⅱ
题 号

得 分

第Ⅰ卷
网]


二

17

18

19

20

21 22
总 分


二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13 ．如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图
是一个圆，那么该几 何体的体积是________．

14．如图，点
O
为正方体
A BCD
－
A
′
B
′
C
′
D
′的中 心，点
E
为面
B
′
BCC
′的中心，点
F
为
B
′
C
′的中点，则空间四边形
D
′
OEF在该正方
体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的图的序号)．
< br>15．如图，在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝6，
AD
＝4，AA
1
＝3，分别过
BC
，
A
1
D
1
的两
个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为
V
1
＝
VAEA
1
－
DFD
1
，
V
2
＝
VEBE
1
A
1
－
FCF
1
D
1
，
用心 爱心 专心
3

V3
＝
VB
1
E
1
B
－
C
1< br>F
1
C
.若
V
1
∶
V
2
∶
V
3
＝1∶4∶1，则截面
A
1
EFD
1
的面积为________．

16．如图，在棱长为
a
的正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，点
E
为
AA
1
的中点，在对角面
BDD
1
B
1
上取一点
M
，使
AM
＋
ME
最小，其最小值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时 应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(12分)一几何体的三视图如下：

(1)画出它的直观图，并求其体积；
(2)你能发现该几何体的哪些面互相垂直？试一一列出．











18．(12分)已知直 三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中 ，∠
ACB
＝90°，
AC
＝
CB
＝
AA
1
＝2，
D
是
AB
的
用心 爱心 专心
4

中点．
(1)求证：
CD
⊥平面
ABB
1
A
1
；
(2)求二面角
D
－
A
1
C
－
A
的正切值．





19．(12分)如图所示，为了 制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总
计耗用9.6米铁丝，再用
S
平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上
底面)．
(1)当圆柱底面半径
r
取何值时，
S
取得最大值？并求出该最大值(结果精
确到0.01平方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视
图( 作图时，不需考虑骨架等因素)．


















20．(12分)如图所示，四棱锥
P
－
ABCD
中，< br>AB
⊥
AD
，
AD
⊥
DC
，
PA< br>⊥底面
ABCD
，
PA
＝
AD
用心 爱心 专心
5

1
＝
AB
＝
CD
＝1，
M
为
PB
的中点．
2
(1)试在< br>CD
上确定一点
N
，使得
MN
∥平面
PAD
；
(2)点
N
在满足(1)的条件下，求直线
MN
与平面
PAB
所成角的正弦值．
















2 1．(12分)如图，已知四棱锥
P
－
ABCD
中，底面
ABCD< br>是平行四边形，
PG
⊥平面
ABCD
，垂足为
G
，< br>G
在
AD
上，且
AG
＝
GD
，
BG
⊥
GC
，
GB
＝
GC
＝2，
E
8
是
BC
的中点，四面体
P
－
BCG
的体积为.
3
(1)求异面直线
GE
与
PC
所成的角的余弦值；
(2)求点
D
到平面
PBG
的距离；
(3)若
F
点是棱
PC
上一点，且
DF
⊥
GC
，求的值．【解 析方法代码108001100】






6
1
3
PF
FC
用心 爱心 专心

22．(14分)如图，
M
、
N
、
P
分 别是正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1D
1
的棱
AB
、
BC
、
DD
1
上的点．
(1)若＝，求证：无论点
P
在
D
1
D
上如何移动，总有
BP
⊥
MN
；
(2)若
D
1
P
∶
PD
＝1∶2，且
PB
⊥平面
B
1< br>MN
，求二面角
M
－
B
1
N
－
B< br>的余弦值；
(3)棱
DD
1
上是否总存在这样的点
P
，使得平面
APC
1
⊥平面
ACC
1
？证明你
的 结论．【解析方法代码108001101】














答案
一、选择题
1．B 在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直 线异面，
两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．
7
BMBN
MANC
用心 爱心 专心

2．A ①两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故 ①不正
确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故④不正确；据平面的性质可知③正确．
3．C 由几何体的三视图可得，此几何体是由 两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由
主视图的面积为
31
，得菱形的边长为1，此 几何体的表面积为
S
＝8××1×1＝4.
22
4．A 设圆台的上、下底 面半径分别为
r
，
R
，截去的圆锥与原圆锥的高分别为
h
，
H
，
则＝，
又π
R
＝9·π
r
，∴R
＝3
r
，
∴
H
＝3
h
.
1
2
1
2
∴π
R
·
H
－π
rh
＝52.
33
1
2
11
2
11
2
即π
R
·
H
－π·
R
·
H
＝52，∴π
RH
＝54.
33933
5．B 命题C即为三垂线定理；命题D中的原命 题即为线面平行的判定定理，所以D
正确；命题A显然成立；对于命题B，若
α
⊥β
，则
b
与
β
的位置关系
都有可能．
6．D 如图，连接
BD
交
AC
于
O
，连接
D
1< br>O
，由于
BB
1
∥
DD
1
，
∴< br>DD
1
与平面
ACD
1
所成的角就是
BB
1
与平面
ACD
1
所成的角，易知∠
DD
1
O
即为所求．
设正方体的棱长为1，则
DD
1
＝1，
DO
＝
∴cos∠
DD
1
O
＝
26
，
D
1
O
＝，
22
22
rh
RH
DD
1
26
＝＝.
D
1
O
6
3
6
.
3
∴
BB
1
与平面
ACD
1
所成角的余弦值为
7．B
P
到平面
α
内的四边形的四条边的距离都相等，则
P
在平面
α
内的射影到四边
形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆．
8．C 由平行 公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则
a
∥
c
；③不正确，
a
与
b
有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知 ④正确．
9．B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为
a
.
如图，设
O
、
O
1
分别为下、上底面中心，且球心
O
2
为
O
1
O
的中点，
又
AD
＝
33
a
a
，
AO
＝
a
，
OO
2
＝，
232
用心 爱心 专心
8

设球的半径为
R
，则
R
＝
AO
2

1
2
1
2
7
2
＝
a
＋
a
＝
a
.
3412
7
2
7
22
∴
S
球
＝4π
R
＝4π×
a
＝π
a
.
123
10．A 四棱锥
R
－
PQMN
的底面积为
22
S
＝
S
△
PQM
＋
S
△
M NP

11
＝
PQ
·
AC
＋
MN
·
AC

22
1
＝(
PQ
＋
MN
)·
AC

2
1
＝(1＋3)×32＝62.
2
321132
其高< br>h
＝，
V
R
－
PQMN
＝
Sh
＝× 62×＝6.
2332
11．D ∵
m
∥
α
，
m
∥
β
，
α
∩
β
＝
l
，∴
m
∥
l
.
∵
AB
∥
l
，∴
AB
∥
m
.故A一定正确．
∵
AC
⊥
l
，< br>m
∥
l
，∴
AC
⊥
m
.从而B一定正确．
∵
A
∈
α
，
AB
∥
l
，
lα
，∴
B
∈
α
.
∴
AB
⃘
β
，
lβ
.∴
AB
∥
β
.故C也正确．
∵
AC
⊥
l
，当点
C
在平面
α
内时，
AC
⊥
β
成立，当点
C
不在平面
α
内时，
AC
⊥
β
不成
立．故D不一定成立．
12．B 本题为线面位置 关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的
应用．①错，当两平面同时垂直于一个平面 时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两
个平面；②正确，不妨过直线
m
作一平 面与
α
，
β
同时相交，交线分别为
a
，
b
，由
α
∥
β
知
a
∥
b
，又
m∥
α
⇒
m
∥
a
，∴
m
∥
b< br>，又
m
⊄
β
，∴
m
∥
β
；③错，不 妨设该直线为正方体的两
对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的 两对角线不
垂直；④错，以正方形两平行棱，或一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例．
二、填空题
13．解析： 由三视图知该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥．
13
2
因此，其体积
V
＝π·1×3＝π.
33
答案：
3
π
3
14．解析： 图①为空间四边形< br>D
′
OEF
在前面(或后面)上的投影．图②为空间四边形
D
′
OEF
在左面(或右面)上的投影．图③为空间四边形
D
′
OEF
在上面(或下面)上的投影．
用心 爱心 专心
9

答案： ①②③
15．解析： 设
AE
＝x
，
BE
＝6－
x
，
V
1
＝
VAEA
1
－
DFD
1
，
V
2
＝
VEBE
1
A
1
－
FCF
1
D
1
，
V
3
＝
VB
1
E
1
B
－
C
1
F
1
C
，
且
V
1
∶V
2
∶
V
3
＝1∶4∶1，
11
所以×(3
x
)×4∶(6－
x
)×3×4∶×(3
x
)×4＝1∶4 ∶1，
22
解得
x
＝
AE
＝2，
∴
A
1
E
＝
A
1
A
＋
AE
＝13，
∴
SA
1
EFD
1
＝413.
答案： 413
16．解析： 取
CC
1
的中点
F
，连接
EF，
EF
交平面
BB
1
D
1
D
于点N
，且
EN
＝
FN
，
所以
F
点是< br>E
点关于平面
BB
1
D
1
D
的对称点，
则
AM
＋
ME
＝
AM
＋
MF
，
所以当
A
，
M
，
F
三点共线时，
AM＋
MF
最小，即
AM
＋
ME
最小，
此时
AM
＋
MF
＝
AF

＝
22
CC
1

2
＝.

AC
＋

2

2

2
3
a
3
答案：
a

2
三、解答题
17．解析： (1)该几何体的直观图如图，

12
棱锥
P
－
ABC< br>，其中
PC
⊥面
ABC
，∠
ABC
＝90°，△ABC
斜边
AC
上的高为 cm，
PC
＝6 cm，
5
AC
＝5 cm，
1112
3
∴
VP
－
ABC
＝××5××6＝12(cm)．
325
(2)互相垂直的面分别有：
面
PAC
⊥面
ABC
，面
PBC
⊥面
ABC
，面
PBC
⊥面
P AB
.
18．解析： (1)证明：因为
AC
＝
CB
，∠
ACB
＝90°，
D
是
AB
的中点，
所以
CD
⊥
AB
，
用心 爱心 专心
10

又因为
ABC
－
A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，所以
CD
⊥
AA
1
，
又∵
AB
∩
AA
1
＝
A
，
∴
CD
⊥平面
ABB
1
A
1
.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系，
∵
AC
＝
CB
＝
AA
1
＝2，
∴
A
(2,0,0)，
A
1
(2,0,2)，
D
( 1,1,0)，
C
(0,0,0)，
C
1
(0,0,2)．
显然平面
A
1
AC
的法向量为
m
＝(0,1,0)， < br>设平面
A
1
CD
的法向量为
n
＝(
x
，
y
，
z
)，
→


A
1< br>D
·
n
＝0
则

→


A
1
C
·
n
＝0

，


－
x
＋
y
－2
z
＝0
即

< br>
2
x
＋2
z
＝0

，
令
x
＝1，则
n
＝(1，－1，－1)，
m
·< br>n
3
令
m
，
n
的夹角为
θ
，则co s
θ
＝＝－，
|
m
||
n
|3
∴二面 角
D
－
A
1
C
－
A
的余弦值为
3
，其正切值为2.
3
9.6－8×2
r
19．解析： (1)由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2
r
，
8
∴塑料片 面积
S
＝π
r
＋2π
r
(1.2－2
r
) ＝π
r
＋2.4π
r
－4π
r
＝－3π
r
＋2.4π
r
＝－
3π(
r
－0.8
r
)．
∴当
r
＝0.4时，
S
有最大值，约为1.51平方米．
(2)若灯笼底面半径为0.3米，则高为1.2－2×0.3＝0.6(米)．
制作灯笼的三视图如图．
2
2222

20．解析： 方法一：( 1)过点
M
作
ME
∥
AB
交
PA
于
E
点，连接
DE
.

用心 爱心 专心
11

要使
MN
∥平面
PAD
，则< br>MN
∥
ED
，
∴四边形
MNDE
为平行四边形，
∴
EM
綊
DN
.
11
又∵
EM
綊
AB
，而
AB
＝
CD
，
22
11∴
DN
＝
CD
，∴
DN
＝.
42
(2)∵
MN
∥
ED
，
∴直线
MN
与平面
PAB
所成的角即为直线
ED
与平面
PAB
所成的角．
∵
PA
⊥面
ABCD
，∴
PA
⊥AD
，
而
AB
⊥
AD
，∴
DA
⊥面
PAB
，
∴∠
DEA
为直线
ED
与平面
PAB
所成的角．
由题设计算得
DE
＝
∴sin∠
DEA
＝＝
5，
2
AD
25
.
DE
5
方法二：过点M
作
ME
∥
AB
交
PA
于
E
点，连接
DE
.
要使
MN
∥平面
PAD
，则MN
∥
ED
，∴四边形
MNDE
为平行四边形．
以< br>AD
、
AB
、
AP
所在直线分别为
x
、y
、
z
轴，建立空间直角坐标系
A
—
xyz
， 如图所示．


11

则由题意得
A
(0,0, 0)、
B
(0,1,0)、
D
(1,0,0)、
C
(1,2 ,0)、
P
(0,0,1)、
M

0，，

、
22


N

1，，0

. < br>
→

1

→
1
(1)∵
DN< br>＝

0，，0

，∴|
DN
|＝.
2
2

(2)∵
PA
⊥面
ABCD
，∴
PA
⊥
AD
，
而
AB
⊥
AD
，∴DA
⊥面
PAB
.
1

→

又∵< br>NM
＝

－1，0，

，
2

1
2
→
DA
＝(－1,0,0)，
NM
·
DA
→→
∴cos〈
NM
，
DA
〉＝
→→
|
NM
|·|
DA
|
→→
用心 爱心 专心
12

＝
1
5
＝
25
5
，
2< br>·1
∴直线
MN
与平面
PAB
所成的角的正弦值为
2 5
5
.
21．解析： (1)由已知
V
1118
P
－
BGC
＝
3
S
△
BCG
·
PG
＝
3
·
2
BG
·
CG
·
PG
＝
3
，∴
PG
＝4，
如图所示，以
G
点为原点建立 空间直角坐标系
O
－
xyz
，
则
B
(2,0,0)，
C
(0,2,0)，
P
(0,0,4)，
故
E
(1,1,0)，
→
GE
＝(1,1,0)，
→
PC
＝(0,2，－4)，
→
cos〈
→
GE
，
→
PC
〉＝
GE
·
→
PC
|< br>G
→
E
|·|
P
→

C
|
＝
2
2×20
＝
10
10
，
∴异面直线
GE
与
PC
所成的角的余弦值为
10
1 0
.
(2)平面
PBG
的单位法向量
n
0
＝(0，±1,0)，
∵
→
GD
＝
3
4
A
→
D
＝
3
→
4
BC
，
B
(2,0,0)，
C
(0,2,0)，
∴
→
G D
＝



－
3
2
，
3
2
，0



，
∴点
D
到平面
PBG
的距离为|
→
GD
·
n
3
0
|＝< br>2
.
(3)设
F
(0，
y
，
z
) ，则
→
DF
＝
→
OF
－
→
OD
＝ (0，
y
，
z
)－


33

－
2
，
2
，0




＝


3

2
，
y
－
3
2
，
z


→

，
GC
＝(0,2,0)．
∵
→
DF
⊥
→
GC
，∴
→
DF< br>·
→
GC
＝0，
∴


3
2
，
y
－
3
2
，
z


·(0,2,0)
＝2


3

y
－
2



＝0，
用心 爱心 专心
13

3
∴
y
＝.
2
31
在平面
PGC
内过
F
点作
FM
⊥
GC，
M
为垂足，则
GM
＝，
MC
＝，
22
∴＝＝3.
22．解析： (1)证明：连接
AC
、
BD
，则
BD
⊥
AC
，
∵＝，
∴
MN
∥
AC
，∴
BD
⊥
MN
.
又∵
DD
1
⊥平面
ABCD
，
∴
DD
1
⊥
MN
，
∵
BD
∩
DD
1
＝
D
，
∴
MN
⊥平面
BDD
1
.
又
P
无论在
DD
1
上如何移动，总有
BP
⊂平面
BDD
1
，
∴无论点
P
在
D
1
D
上如何移动， 总有
BP
⊥
MN
.
(2)以
D
为坐标原点，DA
、
DC
、
DD
1
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立如图所示的
坐标系．
设正方体的棱长为1，
AM
＝
NC
＝
t
，
2
则
M
(1，
t,
0)，
N
(
t,1,0)，
B
1
(1,1,1)，
P
(0,0，)，
3
PFGM
FCMC
BMBN
MANC
B
(1,1,0)，
A
(1,0,0)，
→
∵
MB
1
＝(0,1－
t,
1)，
2

→

BP
＝

－1，－1，.



3

又∵
BP
⊥平面
MNB
1，
→
→
∴
MB
1
·
BP
＝0，
21
即
t
－1＋＝0，∴
t
＝，
33
→

2

∴
MB
1
＝

0，，1< br>
，

3

→

22

MN
＝

－，，0

.

33

设平面
MNB
1
的法向量
n
＝(
x
，
y
，
z
)，
用心 爱心 专心
14


由


MB
→
1
·
n
＝0



M
→
N
·
n
＝0

，
得
x
＝
y
，
z
＝－
2
3
y
.
令
y
＝3，则
n
＝(3,3，－2)．
∵
AB
⊥平面
BB
1
N
，
∴
A
→
B
是平面
BB
1
N
的一个法向量，
A
→
B
＝(0,1,0)．
设二面角
M
－
B
1
N
－
B
的大小为
θ
，
∴cos〈
n
，
A
→
B
〉
＝
|3，3，－2·0，1，0|
22

＝
322
22
.
则二面角
M
－
B
322
1
N
－
B
的余弦值为
22
.
(3)存在点
P
，且
P
为
DD
1
的中点，
使得平面
APC
1
⊥平面
ACC
1
.
证 明：∵
BD
⊥
AC
，
BD
⊥
CC
1
，
∴
BD
⊥平面
ACC
1
.
取
BD
1
的中点
E
，连接
PE
，
则
PE
∥
BD
，
∴
PE
⊥平面
ACC
1
.
∵
PE
⊂平面
APC
1
，
∴平面
APC
1
⊥平面
ACC
1
.
用心 爱心专心


15