证婚人-教师节哪天

题组一

共线、共面问题
高考数学提分秘籍 必练篇 空间、直线、平面之间的位置关系
1.如图所示，
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
是长方体，
O
是< br>B
1
D
1
的中点，
直线
A
1
C< br>交平面
AB
1
D
1到
于点
M
，则下列结论正 确的是( )
A．
A
、
M
、
O
三点共线 B．
A
、
M
、
O
、
A
1
不共 面
C．
A
、
M
、
C
、
O
不共面
D．
B
、
B
1
、
O
、
M
共面
解析：连结
A
1
C
1
，
AC
，则< br>A
1
C
1
∥
AC
，
∴
A
1
、
C
1
、
C
、
A
四点共面，
∴
A
1
C
⊂平面
ACC
1
A
1
，
∵
M
∈
A
1
C
，∴
M
∈平面ACC
1
A
1
，又
M
∈平面
AB
1< br>D
1
，
∴
M
在平面
ACC
1
A< br>1
与平面
AB
1
D
1
的交线上，
同理O
在平面
ACC
1
A
1
与平面
AB
1
D
1
的交线上，
∴
A
、
M
、
O
三点共线．
答案：A
2．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；
②三条直线两两平行；
③三条直线共点；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有________．
解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面内．
②中可能有直线和平面平行．
③中直线最多可确定3个平面．
④同①.
答案：①④
3．如图，在四边 形
ABCD
中，已知
AB
∥
CD
，直线
AB、
BC
、
AD
、
DC
分别与平面
α
相 交于点
E
、
G
、
H
、
F
.
求 证：
E
、
F
、
G
、
H
四点共线(在同一条 直线上)．
证明：∵
AB
∥
CD
，∴
AB
、CD
确定一个平面
β
.
又∵
AB
∩
α
＝
E
，
AB
⊂
β
，∴
E
∈
α< br>，
E
∈
β
，
- 1 -

即
E
为平面
α
与
β
的一个公共点．
同理可证
F
、
G
、
H
均为平面
α
与
β
的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴
E
、
F
、
G
、
H
四点必定共线 ．
题组二

异 面 直 线
4.在四棱台
ABCD
－< br>A
1
B
1
C
1
D
1
中，上下底面均 为正方形，则
DD
1
与
BB
1
所在直线是( )
A．相交直线 B．平行直线
C. 不垂直的异面直线 D．互相垂直的异面直线 解析：四棱台可看作是由四棱锥截得的，因此
DD
1
与
BB
1< br>所在直线是相交的．

答案：A
5．正方体
AC
1
中，
E
、
F
分别是线段
BC
、
C
1D
的中点，则直线
A
1
B
与
直线
EF
的位置关系是( )
A．相交 B．异面C．平行 D．垂直
解析：如图所示，直线
A
1
B
与直线外一点
E< br>确定的平面为
A
1
BCD
1
，
EF
⊂平面< br>A
1
BCD
1
，且
两直线不平行，故两直线相交．

答案：A
6．(文)如图所示，在正四棱柱
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
分别是
AB
1
、
BC
1
的中点，则以下
结论中不成立的是( )

A．
EF
与
BB
1
垂直 B．
EF
与
BD
垂直
C．
EF
与
CD
异面 D．
EF
与
A
1
C
1
异面
解析：设AB
的中点为
E
1
，
BC
的中点为
F
1
，
- 2 -

则
EF
∥
E
1
F
1
， < br>而
E
1
F
1
⊥
BD
，
E
1
F
1
⊥
BB
1

∴
EF
⊥
BB
1
，
EF
⊥
BD
，
∴A、B项正确． < br>又由
EF
∥
E
1
F
1
知
EF
∥平面
ABCD

∴
EF
与
CD
异面，C项正确．
∴易知
EF
∥
A
1
C
1
，D项错误．
答案：D
(理)如图所示，在正三棱柱
ABC
－
A
1B
1
C
1
中，
D
是
AC
的中点，< br>AA
1
∶
AB
＝2∶1，则异面直线
AB
1
与
BD
所成的角为________．
解析：取
A
1C
1
的中点
D
1
，连结
B
1
D
1
，
由于
D
是
AC
的中点，∴
B
1< br>D
1
∥
BD
，
∴∠
AB
1
D1
即为异面直线
AB
1
与
BD
所成的角．
连 结
AD
1
，设
AB
＝
a
，则
AA
1
＝2
a
，
∴
AB
3
1
＝3
a
，
B
1
D
1
＝
a
，
AD
1
＝
1
24
a
2
＋2
a
2
＝< br>3
2
a
.
3
a
2
＋
3
∴ cos∠
AB
4
a
2
－
9
2
4
a
1
D
1
＝＝
1
，
2×3
a
×< br>3
2
2
a
∴∠
AB
1
D
1
＝60°.
答案：60°
7．如图，长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1< br>＝
AB
＝2，
AD
＝1，点
E
、
F
、
G
分别是
DD
1
、
AB
、
CC
1
的中
点．求异面直线
A
1
E
与
GF
所成角的大小．
解：连结
B
1
G
，
EG
，
由于
E
、
G
分别是
DD
1
和
CC
1
的 中点，
∴
EG
綊
C
1
D
1
，而
C
1
D
1
綊
A
1
B
1
，
∴
EG
綊
A
1
B
1
，
∴四边形
EGB
1
A
1
是平行四边形．
∴
A
1
E
∥
B
1
G
，从而∠
B
1
GF
为异面直线所成角，
连结
B
1
F
，则
FG
＝3，
B
1
G
＝2，
B
1
F
＝5，
由
FG
2
＋
B
22
1
G
＝
B
1
F
，
∴∠
B
1
GF
＝90°，
- 3 -

即异面直线
A
1
E
与
GF
所成的角为90°.
题组三

综合问题
8.在正方体
ABCD
－
A< br>1
B
1
C
1
D
1
的侧面
AB
1
内有一动点
P
到直线
A
1
B
1
与直线
BC
的距离相等，则
动点
P
所在曲线的形状为( )

解析：到定点
B
的距离等于到直线
A
1
B
1
的距离，所以动点
P
的轨迹是以
B
为焦点，以
A
1
B
1
为准线的过
A
的抛物线的一部分．
答案：C
9．如图所示，三棱锥
P
－
ABC
中，
PA
⊥平 面
ABC
，∠
BAC
＝60°，
PA
＝
AB
＝
AC
＝2，
E
是
PC
的中点．
(1)(文)求证
AE
与
PB
是异面直线．
(理)求异面直线
AE
和
PB
所成角的余弦值；
(2)求三棱锥
A
－
EBC
的体积．
解：(1)(文)证 明：假设
AE
与
PB
共面，设平面为
α
，
∵A
∈
α
，
B
∈
α
，
E
∈α
，
∴平面
α
即为平面
ABE
，
∴
P
∈平面
ABE
，
这与
P
∉平面
ABE
矛盾，
所以
AE
与
PB
是异面直线．
(理)取
BC的中点
F
，连结
EF
、
AF
，则
EF
∥
PB
，
所以∠
AEF
或其补角就是异面直线
AE
和
PB
所成角．
∵∠
BAC
＝60°，
PA
＝
AB
＝
AC
＝2，
PA
⊥平面
ABC
，
∴
AF
＝3，
AE
＝2，
EF
＝2；
2＋2－31
cos∠
AEF
＝＝，
2×2×2
4
1
所以异面直线
AE
和
PB
所成角的余弦值为.
41
(2)因为
E
是
PC
中点，所以
E
到平面< br>ABC
的距离为
PA
＝1，
2
V
A
－EBC
＝
V
E
－
ABC
＝×(×2×2×
1< br>3
1
2
33
)×1＝.
23
- 4 -