北京市司法局-考试祝福短信

棱柱
[考点注释]
了解多面体的概念，了解凸多面体的概念，了解棱柱的概 念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱
的直观图，会解特殊棱柱的计算与证明问题。
1、高考中， 棱柱的出现概率较大，考查形式很灵活，既可在选择，填空中，又可在解答题
中，考查内容通常借助其性 质解决有关的位置关系及角、距离、面积、体积等。
2、对于棱柱主要考查（1）棱柱性质的讨论：（ 2）面积及体积的计算：（3）以棱柱为载体
进行有关角与距离的计算
[知识整合]
1棱柱的概念及性质
（1）定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个 四边形的公共边都
互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱是多面体中最简单的一种，对棱柱的概念应正确理解，
准确把握，它有两个本质特征：①有两个面（底面）互相平行，
②其余各面（侧面）每相邻两个面的公共边（侧棱）都互相平行。
因此，棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形。但是要
注意“有两个面都是平行四 边行，其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱，如图
的几何体有两个面平行，其余各面都是平 行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互
相平行”，所以它不是棱柱。
（2）棱柱的 分类：①按侧棱是否垂直于底面分为直棱柱和斜棱柱，在直棱柱中，若底面是
正多边形，则为正棱柱。例 如：正方体是正四棱柱，但正四棱柱不是正方体。
②按底面多边形的边数，棱柱可分为三棱柱，四棱柱，五棱柱，……
（3）棱柱的性质：①侧 棱都相等，侧面是平行四边形，②两个底面与平行于底面的截面是
全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱 的截面是平行四边形。
（4）特殊的四棱柱：一些特殊的四棱柱是本节研究的一个重点，为便于理解与 掌握，我们
把四棱柱与平行六面体及特殊的平行六面体之间的关系图示如下：




（5）长方体的对角线有下面的性质
①长方体一条对角线的长的平方等于一个项点上三条棱的长的
②长方体一条对角 线与过同一个端点的三条棱成角为

、

，

则
c os
2

cos
2

cos
2
 ＝
③长方体一条对角线与过同一端点的三个面所成角

1
,

2
,

3
,
则
cos
2
< br>1
cos
2

2
cos
2

3
＝
16、棱柱的侧面积和体积
①S
Δ斜侧
＝S
1
＋S
2
＋……＋S
n
＝C
直截面
l
（
l
为侧棱长），S直侧＝C
底
·
l
（C
底
指底面多边形的周
长）。
②V
直棱柱
＝ ，V
斜柱
＝ （用直截面的有关几何量来表示）。

[基础再现]
1、设有四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。
以上四个命题中，真命题的个数是（ ）
A：1 B：2 C：3 D：4
2、长方体全面积为11，十二条棱长底的和为24，则长方体的一条对角线长为（ ）
A：
23
B：
14
C：5 D：6
3、长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，AB＝3，BC＝2，BB
1
＝1，则A到C1在长方体表面上的最短距
离为（ ）
A：
3
B：
5
C：
32
D：
53

4、长方体的一条对角线与两组平 行的面所成的角都是30°，则长方体的这条对角线与另一
组平行的面所成的角是（ ）
A：45° B：60° C：30° D：45°或135°
[例题精析]
例1、在下面的四个命题中，正确的个数是（ ）
1、有两个面互相平行，其余的面都是平行四边行的多面体叫棱柱。
2、四个面是全等的等腰三角形的四面体叫正三棱锥。
3、四个侧面都是矩形的四棱柱是长方体
4、各棱都相等、不共面的任意两条棱都互相垂直的四棱柱是正方体
A：1个 B：2个 C：3个 D：4个
例2、如图所示，已知正四棱柱ABCD－A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
B与对
角面A
1
B
1
CD所成角为30°，求证：此四棱柱为正方体。
分析；本题的关键是证明正棱柱的底面边长等于侧棱长，
故只需证ΔB
1
BC为等腰直角三角形即可。
例3、（1）如图若A
1
B
1
C
1
－ABC是正三棱柱，D是AC的中点。
①证明：AB
1
∥平面DBC
1

②假设AB
1< br>
BC
1
，求以BC
1
为棱，DBC
1
与C BC
1
为面
的二面角

的度数。
评析；转化是数学的基本思想，本题中，证线面平行转化为
线线平行，求二面角的大小转化为求平面角的大小，故要掌握这种转化思想。
（2）已知正三 棱ABC－A
1
B
1
C
1
中，底面边长为10cm，高为1 2cm过底面一边AB作与底
面ABC成60°角的截面，求此截面面积。
（3）过底面一边AB作与底面ABC成30°角的截面，求此截面面积。
例3、（1）如图 ，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，底面边长AB＝AC ＝2b，BC＝
22b
，AA
1
＝
l
，且

A
1
AC＝

A
1
AB=60°，求这个三棱柱的侧面积 及体积。
[点拨]本题应要求掌握求斜棱柱的侧面积的方法：其一可求各
侧面面积之和；其二可利用公式S
侧
＝直截面周长×侧棱长

（2）在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝
与面AC的 距离为2，则该多面体的体积为（ ）
A：
3
，EF
2
915
B：5 C：6 D：
22
（3）如图，直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC＝BC＝CC
1
＝1，且AC

BC，过C
1
作截面分
别交AC、BC于E、F，且二面角C
1
－E F－C这60°，则三棱锥C
1
－EFC体积的最小值为
（ ）
A：
6
111
B： C： D：
18
936

例4、（2004年北京高考，16）如图，在正三棱柱ABC －A
1
B
1
C
1
中，AB＝3，AA
1
＝ 4，M
为AA
1
的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC
1< br>到M的最短路线长为
29
，
设这条最短路线与CC
1
的交点为 N，求
①该三棱柱的侧面展开图的对角线长；②PC和NC的长；
③平面NMP与平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）。
[分析]本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，
考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
例5、（2003年福州市高考模拟题）斜三 棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，侧面AA
1
C
1
C

底面ABC，

ABC＝90°，BC＝2 ，AC＝
23
，AA
1

A
1
C，AA
1
＝A
1
C。
（1）求侧棱AA
1
与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面AA
1
B
1
B与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求点C到侧面AA
1
B
1
B的距离。
[分析]本题 是研究斜棱柱中的有关问题，要充分挖掘题设中的隐含条件：面面垂直、线线垂
直、线面垂直。利用垂直 问题找出线面角和二面角的平面角；利用等积代换或面面垂直求出
点面距离。[误区警示]求线面角和二 面角时，学生不指出这些角的形成过程而是直接解三角
形，书写不规范。
[解题回顾]利用直 线与平面所成的角的定义，二面角的平面角的定义找出所要求的角，用面
的平行线把要求的点到面的距离 转化到平面的垂面上的点到平面的距离，是求点到面距离的
常用方法，利用三棱锥的体积代换也是求点面 距离的常用方法。
[精采小结]
1、准确判断一个棱柱是某种特殊棱柱的具体要求是： < br>（1）概念要正确掌握和运用：（2）要对特殊棱柱的基本特征和性质熟练掌握；（3）要善
于利 用反例否定有关的结论。
2、对于直棱柱、正棱柱中的特殊线（如高、侧棱、对角线等）的性质应熟悉 并掌握，从几
何体中的线面平行或垂直关系中找出其它平行或垂直关系及空间的角和距离。
3 、平行六面体是一类特殊的棱柱，我们要特别注意它的分类以及各自的特征：侧棱垂直于
底面的平行六面 体是直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体是长方休，底面是正方形的
长方体是正四棱柱，高和底边 长相等的正四棱柱或棱长都相等的长方体是正方体，另外，长
方体是研究问题时经常用的几何体，它有许 多重要的性质和结论，学习时要引起重视。

[随堂巩固]
1、下列命题中，真命题的个数是（ ）
（1）正棱柱的棱长都相等；（2）直棱柱的侧棱 就是直棱柱的高；（3）直棱柱的侧面是矩
形；
（4）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；（5）有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱。
A：2个 B：3个 C：4个 D：5个
2、长方体的高等于h, 底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S
1
，则长方体的侧面积为（ ）
A B C D
3、（2004，北京春季高考 ）两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，
把它们重叠在一起组成一个新长 方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长底是（ ）
A：
77
cm B：7
2
cm C：5
5
cm D：10
2
cm
4、如图，已知多面体ABC－DEFG中，AB、AC、AD两两互相垂直，
平面ABC 平面DEFG，平面DEF
⊥
平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，
AC＝EF＝1，则该多面体的体积为（ ）
A：2 B：4 C：6 D：8
5、斜三棱柱的一个侧面面积为S，另一条侧棱到这个侧面的距离为a ，则这三个棱柱的体积
是（ ）Ａ：
1112
Ｓa Ｂ：Ｓa Ｃ：Ｓa Ｄ：Ｓa
3423
6、斜三棱柱A
1
B
1< br>C
1
－ABC中，各棱长为a，A
1
B＝A
1
C＝a ，则该棱柱的侧面积和体积分别
为（ ）
A：（
32
3
2
3
＋1
）a
2
, a B：(
3＋1
) a
2
，a
244
3
3
3
3
3
＋1
) a
2
，a D：(
3＋1
) a
2
，a
1212
2
C：(
7、平行六面体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD 是菱形，

BAD＝60°，对角面
BB
1
D
1
D是边长为a 的正方形，且

B
1
BC＝60°，此平行六面体的高为 。 < br>8、如右图，在直四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，当底面四边形ABCD
满足条件 时，有A
1
C
B
1
D
1
（注：填上你认为正确的一种条件即可）

9、一个正本棱柱形容器ABC－A
1
B
1
C
1
， 以三角形ABC为底面成水平放置，其高为2a ,内
盛水若干，水面高度为
x
,若将 此容器放倒，使它的一个侧面为底面成水平放置，这时水面
恰为中截面，则
x
＝ 。
10、在平行六面体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知对角线A
1
C＝4，BD
1
＝2，若空间一点 P使
PA
1
＝3，PC＝5，则PB
2
＋PD
1
2
＝ 。
11、（1）已知斜三棱柱ABC－A
1
B
1< br>C
1
的侧棱与底面成60°角，底面是边长为a的正三角
形，侧面BB
1
C
1
C是菱形且与底面垂直
①求侧棱AA
1
与侧面BB
1
C
1
C间的距离 ②求证：AB
1

BC

（2）如图所示，已知在斜平行六面体ABCD－A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，
AB＝AD，

A
1
AB＝

A
1
AD＝

BAD ①求证：平面B
1
D
1
DB

平面A
1
C
1
CA
②当A
1
B
1
＝
2
，且直线A
1
A到平面B
1
D
1
DB间的距离为1时，求< br>
BAD




12、（1）如图，将长AD＝
2
a，宽AB＝a 的长
方形ABCD沿痕折成一个正三棱柱的三个侧面，则原对角
线AC成了绕在三棱柱面上的折线段，求此折线段相邻两段
所成的角。




（2）如图所示，斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的底面为直
角三角形，

ACB＝90°，BC＝2，B1
在下底面上的射影为D，
D

BC，且D为BC的中点，侧棱BB
1
和底面成60°角，侧面
AA
1
B
1
B和侧面CC
1
B
1
B成30°角，求这个三棱柱的侧面积和体积。



13、如图，在正三 棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AA
1
＝ 2a，AB＝a ,点D是AC之中点。
（1）求证：平面A
1
BD
平面AA
1
C
1
C；（2）求二面角B－A
1
C
1
－D的平面角的正切值
（3）若AB
1

A
1
B＝E，求四面体C
1
BED的体积。



14、如 图，M、N、P分别是正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D< br>1
的棱AB、BC、DD
1
上的点
MBBN
，求证：无论点 P在D
1
D上如何移动，总有BP

MN
＝
MA NC
（2）若D
1
P:PD＝1:2，且PB

平面B
1< br>MN，求二面角M－B
1
N－B的大小
（3）在棱DD
1
上 是否存在这样的点P，使得平面APC
1
⊥
平面ACC
1
？证明你的 结论。
（1）若

[综合创新]
（ 2004年上海春季高考题）如图62－3所示，点P为斜三棱柱ABC－A
1
B
1< br>C
1
的侧棱BB
1
上一点，PM

BB
1< br>交AA
1
于点M，PN

BB
1
交CC
1< br>于点N
（1）求证CC1

MN
（2）在任意

DEF中有余弦定理：DE
2
＝DF
2
＋EF
2
－2DF· EFcosDFE，拓展到空间，类比
三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面 所成的二面角之间的关系
式，并予以证明。






棱锥
[考点诠释]
了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。
1、高考中棱锥与棱柱一样出题 概率较大，形式较灵活，尤其棱锥注意等积法的灵活运用，
对五种正多面体，重点掌握正四面体和正六面 体，它们是高考中常考模型。
2、简单的几何体中求锥体的侧面积、体积的体形还会出现，等积变换、 割补思想的应用仍
将有所体现，关于棱锥可能与代数、三角、空间向量进行综合，出现综合性问题。以棱 锥为
载体考查点、线、面的位置关系，或求空间角、距离和面积、体积，也有可能会利用不等式
或导数研究最值问题。
[知识整合]
1、棱锥的概念及性质
（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶
点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥，棱锥是多面体中
重要的一种，它有两个本质特征：①有一个面是多边形；②其余
的各面是有一个公共顶点的三角形，二者缺一不可，因此棱锥有
一个面是多边形，其余各面都 是三角形。但是要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三
角形”的几何体未必是棱锥，如图，此多面 体底面是四边形，其余各面都是三角形，但它不
是棱锥。一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体 。
（2）正棱锥的概念
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的 中心，这样的棱锥叫正
棱锥。判断一棱锥是否是正棱锥必须满足下面两个条件：一是底面是正多边形，二 是顶点在
底面上的射影必须是底面正多边形的中心，这也是掌握正棱锥定义的两个要点。
（3）正棱锥的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的 高相等，它叫做正棱
锥的斜高。由此可知，正棱锥的各侧面都是等腰三角形，但
“各侧面都是全等的等腰三角形”的棱锥不一定是正棱锥。
如图三棱锥S－ABC中，可令SA＝SB＝BC＝AC，SC＝AB，且SB＞AB，
则此三棱锥的各侧面为全等三角形，但它不是正三棱锥。
②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的 射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底
面上的射影也组成一个直角三角形。除此两个直角 三角形外，正棱锥的底面半径，边心距和

半边长也组成一个直角三角形。这三个直角三角 形称为棱锥中的特征三角形，有好多立体问
题都是转化到平面中的这三个直角三角形中去处理，如有关侧 棱与底面、侧面与底面所成二
面角的计算，有关侧棱、斜高、底面边长的计算等，要熟练掌握。
（4）一般棱锥的性质定理：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似 ，并且它们面积的比等于截
得的棱锥的高和原棱锥的高的平方比。
一般棱锥的重要性质定理应 用很广泛，其结论还可加以引申：截面面积与底面面积的比等于
截得的小棱锥与原棱锥的侧棱长的平方比 ；截得的小棱锥的侧面积与原棱锥的侧面积之比，
也等于截得的小棱锥的棱长与原来棱锥对应棱长的平方 比，也等于截面面积与底面积之比等
等。
（5）棱锥的侧面积和体积公式
①侧面积 ：S
侧
＝S
1
＋S
2
＋…＋S
n
(n棱锥 )；正棱锥的侧面积S
侧
＝
的 ，h是 ②体积；V
锥
＝
[基础再现]
1、一个四棱锥是正四棱锥的充分不必要条件是……（ ）
A：各侧面与底面成相等的二面角
B：各侧面都是等腰三角形，且底面是正方形
C；各侧面是正三角形
D：各侧棱与底面成相等的角
1
1
1C
底
h，其中C底是底面
2
3a
3
2、正六棱锥底面边 长为a，体积为，那么侧棱与底面所成的角等于……（ ）
2
A：
5



B： C： D：
12
643
QQ
B： C：
Q
D：2
Q

42
3、一个正四棱锥的中截面面积是Q，正四棱锥的底面边长是……（ ）
A：
4、正四面体ABCD中，AB＝a，相邻两面所成二面角的大小是_______；AB与底面BCD
所成的角是 ；若顶点A在底面BCD内的射影为O，则OB＝ ，OA＝ ，
正四面体的体积为 。
[例题精析]
例1、（1）有四个命题：①各 侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；②底面是正
多边形的棱锥是正棱锥；③棱锥的所有面可能 都是直角三角形；④四棱锥中侧面最多有四个
直角三角形，正确的命题有 。
（2 ）已知正四面体P－ABC的棱长为4，用一平行于底面的平面截此四面体，所得截面面积
为
1 6
3
，求截面与底面之间的距离。
9
分析：因截面平行于底面，可以考虑用 棱锥的平行于底面的截面面积与底面面积之比等于截
得的棱锥与原棱锥的对应边之比的平方来解。 评注：由棱锥平行平底面的截面性质进一步可得截面面积与底面积之比等于截得棱锥与原棱
锥的对应 边长的平方比等，只要是边相对应即可。
例2、（1）如图所示，在三棱锥D－ABC中，DA

平面ABC，

ACB＝90°，

ABD＝30°，AC＝BC，求异面直线AB与

CD所成的角的余弦值。
【思路分析】本题是以棱锥为背景考查异面直线所成 的角，求异面直线所成的角抓平移，化
为平面内的角，利用正弦、余弦定理求解。也可以补体、构造成长 方体，然后求解。
【解题回顾】（1）求异面直线所成角常要作出所成角的平面图形，作法有：①平移 法；在
异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解法一，或利用中位
线，如解法二。②补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直
线间的关系 ，如解法三。（2）解立体几何计算题要先作出所求的角，并要有严格的推理论
证过程，还要合理的计算 步骤，例如解法三把等腰三角形转化为直角三角形使得计算简单。
（2）已知正四棱锥P－ABCD的 侧面与底面所成的角为

，相邻侧面所成的角为


求证：
cos

cos

0

分析： 可将

，

用正四棱锥中的某些三角形的内角来表示，再利用解三角形求出< br>2
cos

、cos


评注：解决这类问题的关 键是要掌握正棱锥的性质及各无素间的关系，用好正棱锥的有关特
征直角三角形。
例3、（1）如图，在三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两所成
角都为60°，PA＝a，PB＝b，PC＝c，求三棱锥P－ABC的体积。
【思路分析】 由条件

APB＝

APC＝60°，可以得到顶点A在底面ABC上的射影 H应在

BPC
的平分线上，但这个结论一定要先证明才能使用。
【解题回 顾】（1）把A、B、C中任一个点作为顶点（其余三点构成的三角形作为底面）是
解题的关键，这说明 改变几何体的放置方式或改变对几何体的观察角度在解题中是十分重要
的（2）当a=b=c时得到正四 面体的体积是
2
3
a
（3）若在PA、PB、PC上各任取一点M、N、12
R，设PM＝m，PN＝n，PR＝r,则容易证明
V
P－MNR
m nr
＝
，这一结论与PA、PB、PC成多大
V
P－ABC
abc< br>的角度无关。
（2）四棱锥P－ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直 ，底面ABCD是面
积为
23
的菱形，

ADC为菱形的锐角。
①求证：PA

CD；
②求二面角P－AB－D的度数；
③求棱锥P－ABCD的侧面积。
例4、（2004年天津高考，19）如图，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD是正方形，侧棱PD

底在ABCD，PD＝DC，E
是PC的中点，作EF
⊥
PB交PB于点F
①证明：PA∥平面EDB
②证明：PB

平面EFD

③求二面角C－PB－D的大小。
【思路分析】本小题考查直线与平面平行、 直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间
相象能力和推理论证能力。
例5、如图所示，在正三棱锥S-ABC中，过底面顶点B
和侧棱SA、SC上的E、F点做一截面BEF和侧面SAC的垂直
（1）若E、F分别为SA、SC中点时，求此三棱锥的侧面积与底
面积之比
（2）若AB =8，斜高h
1
=
83
，求截面BEF的面积。 < br>8
分析：计算面积时，离不开计算对应底边上的高，尤其是斜高，底面三角形的高和截面三角形的高，相互间的关系，这种关系应通过直截面来体现。
评注：在本题的图形条件下，可进一步思 考，若求BEF分三棱锥所成的两个多面体的体积
比是多少？若截面BEF与侧面SAC所成角为
s(0Q＜)
时，这类问题的如何解？

2
[精彩小结]
1 、深刻理解棱锥、正棱锥的定义及性质，平行于棱锥底面的截面性质，是解决有关棱锥问
题的基础，判断 一个棱锥是否为正棱锥的条件是：（1）底面是正多边形；（2）顶点在底面
上的射影为底面多边形的中 心，两者缺一不可。
2、充分利用正棱锥中的三个“特征直角三角形”，把空图形转化为平面图形，是 解决正棱
锥有关问题的基础，
3、几个重要结论：
（1）棱锥的侧棱均相等，则顶 点在底面上的射影是底面多边形的外心；棱锥的各侧面与底
面所成的二面角均相等，则顶点在底面上的射 影为底面多边形的内心；如果三棱锥的三条侧
棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心 。
（2）由正棱锥的定义以及三角形全等，我们不难得到正棱锥的侧面与底面所成的二面角都
相等，侧棱与底面所成的角都相等，相邻两侧面所成的二面角也相等。
4、三棱锥的等（体）积变换是 解决点到面的距离的常见方法之一，同时也是使计算简化的
灵活手法；“割”“补”是解决体积问题常用 技巧，正棱锥的四个“特征”直角三角形，是
将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁。

[随堂巩固]
一、选择题
1、具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥（ ）
A：顶点在底面上的射影到底面各顶 点的距离相等B：底面是正三角形，且侧面都是等腰三
角形C：相邻两条侧棱的夹角相等D：三条侧棱相 等，侧面与底面所成的角也相等
2、两个平行于底面截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分，则两截 面将棱锥的高分成的
三段（自上而下）之比是（ ）
（3－1）
1
） : A、1:
2
:
3
B、1:（
2－

（3－2）（3＋2）
1
）:
1
）: C、1: （
2－
D、1: （
2＋

3、例如某平行六面体各棱长均为4，在由顶点P出发的三条棱上分别截面取 PA=1、PB＝2、
PC＝3，则三棱锥P－ABC的体积是原平行六面体体积的（ ）
A、
1133
B、 C、 D、
64326432
4、如图所示，已知三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的体积为V、P、Q、R分
别是侧棱AA
1
、BB
1< br>、CC
1
、上的点且AP+CR=AA，则四棱锥Q－ACRP
的体积为（ ）
A、
VVVV
B、 C、 D、
2346
5、如图所示，已知三棱柱A－BCD中，E、F分别是
AB、BC的中点，EF

DE，且BC=1，则正三棱锥A－BCD
的体积是（ ）
A、
3
222
B、 C、 D、
24
122412
6、如图所示，E、F、M、N是正方体的四个顶点，记d1为E
到面FMN有距离；d2为F到面EMN的距离，d3为M到面
EFN的距离，那么d1 、d2 、d3的大小关系为……（ ）
A、d1＜d2＜d3 B、d2＜d3＜d1 C、d2＜d1＜d3 D、d3＜d2＜d1
二、填空题
7、三棱锥的各个侧 面与底面都成60°的二面角，底面三角形的边长是7cm、8cm、和9cm，
那么这个三棱锥的体积 是 cm
3
。
8、在正四棱锥内有一内接正方体，这正方体的四个顶点在 棱锥的侧棱上，另四个顶点在棱
锥底面内，若棱锥底面边长为a，高为h，则内接正方体的棱长为 。
9、（2001年武汉重点中学联考）在三锥S－ABC中，下面能使顶点S在底面内的射影是底< br>面三角形外心的条件是： （把你认为正确的都填上）。
①侧棱与底面所成的角相等 ；②侧面与底面所成的角相等；③侧棱两两相垂直；④侧棱满足
222
SA+SB+SC=SA •SB+ SB•SC+ SC•SA
10、若三棱锥P－ABC中过点P的三条侧棱两两垂直，长都 是a，则底面上任一点到三侧面
的距离之和为 ；正四面体ABCD的棱长为a，体内任一点 P到四个侧面的距离分别
d
1
、d
2
、d
3
、d< br>4
，则d
1
＋d
2
＋d
3
＋d
4< br>＝
三、解答题

11、（1）棱锥的底面是正方形，一条 侧棱垂直于底面，不通过此棱的一个侧面与底面所成
的二面角为45°，且最长的侧棱为15cm，求棱 锥的高。
（



2）已知四棱锥V－ABCD的高为h，底面为菱形，侧面VDA 和侧面CDV所成的角为120°，
且都垂直于底面，另两侧面与底面所成的角为45°，求棱锥的全面积。




12、（1）在如图所示的三棱锥P－ABC中，PA

平面ABC，
PA＝AC＝1，PC＝BC，PB和平面ABC所成的角为30°
①求证：平面PBC

平面PAC
②求AB的中点M到直线PC的距离。





（2）如图所示，已知多面体ABCDE中，A B

平面ACD，AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1,F为
CE的中点
①求证：BF

平面CDE
②求多面体ABCD 的体积
③求平面BCE和平面ACD所成的二面角的大小。



13、 （1）如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，

ABC=90°,SA

面ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝
1

2
①求四棱锥S－ABCD的体积
②求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。



（2）如图，在正三棱锥S－ABC中，高SO＝3，底面边长为
43
，
3
过棱AB作截面ABD交侧棱SC于D，设截面与底面所成的二面角为

，
问

为何值时，SC

平面ABD。

14、（2004年全国高考Ⅰ，20）如图，已知四棱锥P－ABCD，PB
⊥
AD，侧面PAD为边
长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD
所成的二面角为120°
①求点P到平面ABCD的距离；
②求面APB与面CPB所成二面角的在大小。







[综合创新]
（1）（2002年全国）（1）给出两块面积相同的正 三角形纸片（1）、（2），要求用其中
一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ，使它们的全面积都与原三
角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标在图9－8－10）（ 1）、（2）中，
并作简要说明；


（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（3）如果给出的是一块任意三角 形的纸片（3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全
面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种 剪拼方法，用虚线标示在（3）中，并作简要
说明；
分析：紧扣正三棱锥，正三棱柱的定义， 正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直于底面且侧面
是全等的矩形，在要求全面积为已给三角表面积的前提 下关键是去构造上底面三角形，如何
由原三角形去剪拼，如图（2），将下底面三角形分成面积相等的三 个四边形，从面构想原
三角形在一个角处剪出相同的四边形。
评注：本小题主要考查空间想象 能力、动手操作能力、控究能力和灵活运用所学知识解决实
际问题的能力。
（2）如图所示， 甲、乙是边长为4a的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，
将乙裁剪焊接成一个正四棱 锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面
积）




①将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明。
②试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。