山东教师资格证考试真题-科技发展与社会生活

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考高考数学二模试卷理（含解
析）
一．选择题
2
1．（6分）集合A={x∈N|x≤6}，B={x∈R|x﹣3x ＞0}，则A∩B=（）
A． {3，4，5} B． {4，5，6} C． {x|3＜x≤6} D． {x|3≤x＜6}
2．（6分）下列命题中，真命题是 （）
A． ∃x
0
∈R，使得
B． sinx+
2

≥3（x≠kπ，k∈Z）
x2
C． 函数f（x）=2﹣x有两个零点
D． a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）

A． B． C． D． 6
4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）
A． f（x﹣1）一定是奇函数 B． f（x﹣1）一定是偶函数
C． f（x+1）一定是奇函数 D． y=f（x+1）一定是偶函数
5．（6分）已知函数，集合A= {1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现从A中任
取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n ）=0的概率为（）
A． B． C． D．
6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）
- 1 -

A． 1008 B． 2015 C． 1007 D． ﹣1007
2
7．（6分）已知抛物线C：y=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存 在一点Q，
使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）
A． （4，8） B． （4，+∞） C． （0，4） D． （8，+∞）
8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定 义，对于任一给定的正数P，定义函数f
p
（x）
=
2
，则称函数f
p
（x）为 f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）
=x﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）
A． f
p
=f B． f
p
=f C． f=f
p

2
D． f=f
p

9．（6分）已知 函数g（x）=a﹣x（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象
上存在关于x轴 对称的点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．
18．已知函数
（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；
（2）△ABC中，
的最大值为2．
，角A，B，C所对的边分别是
a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积． < br>19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD =60°，
O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．
（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．
- 2 -

20．（13分）已知数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n+1
=
（I）求证：数列{a
2n
﹣}是等比数列；
（II）若S
n是数列{a
n
}的前n项和，求满足S
n
＞0的所有正整数n．
21．（13分）已知离心率为的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）+y=1
22
的圆心，过椭 圆上的动点P作圆的两条切线分别交y轴于M、N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．

22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若∃x
1
，x
2
∈，使f（x
1
）≤f′（x
2
）+a 成立，求实数a的取值范围．
湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题
2
1．（6分）集合A={x∈N|x≤ 6}，B={x∈R|x﹣3x＞0}，则A∩B=（）
A． {3，4，5} B． {4，5，6} C． {x|3＜x≤6} D． {x|3≤x＜6}
考点： 交集及其运算．
专题： 计算题．
分析： 根据所给的两个集合，整理两个集合，写出两个集合的最简形式，再求出两个集合
的交集．
解答： 解：∵集合A={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6}，
2
B={x∈R|x﹣3x＞0}={x∈R|x＜0或x＞3}
∴A∩B={4，5，6}．
故选B．
- 3 -

点评： 本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法．化简A、B两个集合，是
解题的关键．
2．（6分）下列命题中，真命题是 （）
A． ∃x
0
∈R，使得
B． sinx+
2

≥3（x≠kπ，k∈Z）
x2
C． 函数f（x）=2﹣x有两个零点
D． a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 简易逻辑．
x
分析： A．∀x∈R，e＞0，即可判断出正误；
B．取x=
x
，则sinx+
2
2
=1﹣2=﹣1＜3，即可判断 出正误；
C．f（x）=2﹣x有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个 ，即可判
断出正误；
D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=， 满足ab＞1，但是b＜1，即可判
断出正误．
x
解答： 解：A．∀x∈R，e＞0，因此是假命题；
B．取x=
x
，则sinx+
2
2
=1﹣2=﹣1＜3，因此是假命题；
C．f（x）=2﹣x有3个零点，其中 两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共
有3个，是假命题；
D．a＞1 ，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此a
＞1， b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真命题．
故选：D．
点评： 本题考查了简易逻辑 的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数
的性质、三角函数的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
3．（6分）已知三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为（）

A． B． C． D． 6
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题；图表型．
分析： 由三视图及题设条件知，此几何体为一个正三棱柱，其高 已知，底面正三角形的高
已知，由此可先求出底面积，再由体积公式求解其体积即可．
解答： 解：如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，
- 4 -

设底面连长为a，则
故体积
故答案为C．
，∴a=6．
．

点评： 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应 用，主要考
查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求
表面积与体积，本题求的是三棱柱的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主
视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是新课标的新增内容，在以后的2015届高考
中有加强的可能．
4．（6分）f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）在x=1处取最大值，则（）
A． f（x﹣1）一定是奇函数 B． f（x﹣1）一定是偶函数
C． f（x+1）一定是奇函数 D． y=f（x+1）一定是偶函数
考点： 正弦函数的图象．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由条件可得x=1是函数f（x）的一条对称轴，故函数y=f（x+1）为偶函数，从而得
出结论．
解答： 解：∵函数f（x）在x=1处取最大值，
∴x=1是函数f（x）的一条对称轴，
将函数f（x）向左平移1个单位，得到函数f（x+1）的图象，此时函数关于y轴对称，
则函数y=f（x+1）为偶函数，
故A、B、C都不正确，
故选：D．
点评： 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最值和对称轴之间的关系是解决本
题的 关键，属于基础题．
5．（6分）已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，现 从A中任
取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为（）
A． B． C． D．
考点： 三角函数的化简求值；等可能事件的概率．
专题： 计算题．
分析： 对于m值，求出函数的值，然后用排列组合求出满足f（m）•f（n）=0的个数，以
及所有的个数，即可得到f（m）•f（n）=0的概率．
解答： 解：已知函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
现从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0
m=3，9时，满足f（m）•f（n）=0的个数为m=3时8个
- 5 -

m=9时8个，n=3时8个，n=9时8个，重复2个，共有30个．
从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）的值有72个，
所以函数，集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
=， 从A中任取两个不同的元素m，n，则f（m）•f（n）=0的概率为：
故选A．
点评： 本题考查概率的应用，排列组合的应用，注意满足题意，不重复不要漏，考查计算
能力．
6．（6分）运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）
A． 1008 C． 1007 D． ﹣1007
考点： 程序框图．
专题： 图表型；算法和程序框图．
k﹣1
分析： 程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）•k，根据计算变量n 判断程序终止
运行时的k值，利用并项求和求得S．
解答： 解：执行程序框图，有
k=1，S=0
满足条件n＜2015，S=1，k=2；
满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；
满足条件n＜2015S=2，k=4；
满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；
满足条件n＜2015S=3，k=6；
满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；
满足条件n＜2015S=4，k=8；
…
观察规律可知，有
满足条件n＜2015S=1006，k=2012；
满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；
- 6 -

B． 2015

满足条件n＜2015S=1007，k=2014；
满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；
不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．
故选：D．
点评： 本题考 查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解
答本题的关键，属于基础题．
2
7．（6分）已知抛物线C：y=4x，点P（m，0），O为坐标原点，若在抛物线C上存 在一点Q，
使得∠OQP=90°，则实数m的取值范围是（）
A． （4，8） B． （4，+∞） C． （0，4） D． （8，+∞）
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 计算题．
2
分析： 求出以OP为直径的圆的方程，y=4x代入整理，利 用在抛物线C上存在一点Q，使得
∠OQP=90°，即可求出实数m的取值范围．
解答： 解：以OP为直径的圆的方程为（x﹣）+y=
22
22
，
y=4x代入整理可得x+（4﹣m）x=0，
∴x=0或x=m﹣4，
∵在抛物线C上存在一点Q，使得∠OQP=90°，
∴m﹣4＞0，
∴m＞4，
故选：B．
点评： 本题考查抛物线、圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．
8．（6分）设函数y=f（x）在R上有定义，对于任一给定的正数P，定义函数f
p
（x ）
=
2
，则称函数f
p
（x）为 f（x）的“P界函数”．若给定函数f（x）
=x﹣2x﹣1，p=2，则下列结论不成立的是（）
A． f
p
=f B． f
p
=f C． f=f
p

考点： 分段函数的应用．
专题： 新定义；函数的性质及应用．
分析： 由于函数f（x）=x﹣2x﹣1，p=2，求出f
2
（x）=
对选项一一加以判断，即可得到答案．
2
解答： 解：∵函数f（x）=x﹣2x﹣1，p=2，
∴f
2
（x）=，
2
D． f=f
p

，再
∴A．f
p
=f
2
（﹣1）=2，f=f（﹣1）=1+2﹣1=2，故A成立；
B．f
p
=f
2
（﹣2）=2，f=f（﹣2）=4+4﹣1=7，故B不成立；
C．f=f（﹣1）=2，f
p
=f
2
（﹣1）=2，故C成立；
D．f=f（2）=﹣1，f
p
=f
2
（2）=﹣1，故D成立．
故选：B．
点评： 本题考查新定义的理解和运用，考查分段函数的运用：求函数值，属于中档题．
- 7 -

9．（6分）已知函数g（x）=a﹣x（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2l nx的图象
上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D． ．
故选B．
2
点评： 本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键 是将已知转化为方程a﹣x=﹣
2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x在
2
2
上有解 ．
10．（6分）如图，已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，< br>以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q，若∠PAQ=60°且
的离心率为（）
=3，则双曲线C

A． B． C． D．
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 确定△QA P为等边三角形，设AQ=2R，则OP=R，利用勾股定理，结合余弦定理，即可
得出结论．
解答： 解：因为∠PAQ=60°且
所以△QAP为等边三角形，
设AQ=2R，则OP=R，
渐近线方程为y=x，A（a，0），取PQ的中点M，则AM=
=3，
由勾股定理可得（2R）﹣R=（
所以（ab）=3R（a+b）①
在△OQA中，
2222
22
），
2
=，所以7R=a②
22
- 8 -

①②结合c=a+b，可得
222
=．
故选：B．
点评： 本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中
档题．
【选做题】
11．（6分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相 切于点E，AC⊥BC，
若，AE=6，则EC=3．

考点： 与圆有关的比例线段．
专题： 计算题．
分析： 连结OE，由切线的性质定理得到OE⊥ AC，从而可得OE∥BC．根据切割线定理得
2
AE=AD•AB，解出AB=，可得AO= ，最后利用比例线段加以计算得到AC长，从而可得
EC的长．
解答： 解：连结OE，
∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，
又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．
2
由切割线定理，得AE=AD•AB，即36=，解得AB=，
因此，半圆的直径BD=，AO=BD=．
可得
故答案为：3
，所以AC==9，EC=AC﹣AE=3．

点评： 本题给出半圆满足的条件， 求线段EC之长．着重考查了切线的性质定理、切割线定
理与相似三角形等知识，属于中档题．
【【选做题】
12．（3分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系．若
点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则 |PQ|
的最小值为．
考点： 参数方程化成普通方程．
专题： 坐标系和参数方程．
- 9 -

分析： 把直线ρcosθ﹣ρsinθ ﹣4=0化为直角坐标方程x﹣y﹣4=0．利用点到直线的距离
公式可得：|PQ|=．再利用二次函 数的单调性即可得出最小值．
解答： 解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0化为x﹣y﹣4=0．
由点到直线的距离公式可得：
|PQ|===≥=．
当且仅当t=2时取等号．
∴|PQ|的最小值为
故答案为：．
．
点评： 本题考查了把直线的极坐 标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、二次函
数的单调性，属于基础题．
【选做题】
13．（3分）已知函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，若对任意的x∈ R，f（x）≥f（3）=f（4）都
成立，则k的取值范围为．
考点： 绝对值不等式的解法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用绝对值的几何意义得出f（x）≥f（3）=f（4）都成立，意义为k，2k的距离之
和，
即：即2≤k≤3成立，求解即可．
解答： 解：∵函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|，
∴函数f（x）=|x﹣k|+|x﹣2k|的最小值为|k|，
∵f（x）≥f（3）=f（4）都成立，
∴根据绝对值的几何意义得出：即2≤k≤3．
故答案为：
点评： 本题考查了绝对值不等式的解法，几何意义，关键是理解给出的条件，属于中档题．
五、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）
14．（5分）设a=（sinx+cosx）dx，则二项式的展开式的常数项是﹣
160．
考点： 二项式系数的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 求定积分可得a的值，在二项式的展开式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，
可得展开式的常数项．
解答： 解：∵a=（sinx+cosx）dx==2，
则二项式=，
- 10 -

它的展开式的通项公式为T
r+1
=（﹣1）•
令 3﹣r=0，求得 r=3，故展开式的常数项是﹣
r
，
=﹣160，
故答案为：﹣160．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，求定积分，二项展开式的通 项公式，求展开式中
某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
15．（5分）如果实数a，b满足条件：，则的最大值是．
考点： 简单线性规划的应用；简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 先根据条件 画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点与原点（0，
0）连线的斜率，求出的范围 ，利用函数的最值求解表达式的最大值即可．
解答： 解：先根据约束条件画出可行域，如图，表示可 行域内的点与原点
（0，0）连线的斜率，设z的几何意义表示可行域内点P与原点O（0，0）连线的 斜率，∵当
连线OP过点B（，）时，
取最大值，最大值为3，连线OP过点A（1，1）时，
取最小值，最小值为1，∈．
∴===2﹣，∵∈．
∴的最大值为：．
故答案为：．
- 11 -

点评： 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，是中档题．
16．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为．
考点： 平面向量数量积的运算．
专题： 平面向量及应用．
分析： 如图所示， 建立直角坐标系．由||=1，不妨设=（1，0）．由•=1，•=2，可
设=（1，m），=（2， n）．利用|﹣|=2，可得
再利用数量积运算=2+mn即可得出．
，（m+n）=3+4mn≥0，
2
解答： 解：如图所示，建立直角坐标系．
∵||=1，∴不妨设=（1，0）．
∵•=1，•=2，
∴可设=（1，m），=（2，n）．
∴=（﹣1，m﹣n）．
∵|﹣|=2，
∴
2
，化为（m﹣n）=3，
2
∴（m+n）=3+4mn≥0，
∴
∴
，当且仅当m=﹣n=
=2+mn．
时取等号．
- 12 -

故答案为：．

点评： 本题考查了通过建立直角坐 标系解决向量有关问题、数量积运算及其性质、不等式
的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，属于 难题．
三．解答题
17．（12分）一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红 球编号分别为1，2，3，
4，5，4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．
（Ⅰ）求取出的3个球编号都不相同的概率；
（Ⅱ）记X为取出的3个球中编号的最小值，求X的分布列与数学期望．
考点： 离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．
专题： 概率与统计．
分析： （I）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，先求出其对立事件“取出的3个
球恰有两个编号相同 ”的概率．由古典概型公式，计算可得答案．
（II）X的取值为1，2，3，4，分别求出P（X= 1），P（X=3），P（X=4）的值，由此能求出X
的分布列和X的数学期望．
解答： 解：（Ⅰ）设“取出的3个球编号都不相同”为事件A，设“取出的3个球恰有两个
编号相同”为事件B ，
则P（B）===，
∴P（A）=1﹣P（B）=．
答：取出的3个球编号都不相同的概率为．
（Ⅱ）X的取值为1，2，3，4．
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
- 13 -

P（X=4）==，
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
+2×+3×+4×=． X的数学期望EX=1×
点评： 本题考查等可能事件的概率计算与排列、组合的应用以及离散型随机变量的期望与
方差，属于基础题．
18．已知函数
（1）求函数f（x）在上的单调递减区间；
（2）△ABC中，
的最大值为2．
，角A，B，C所对的边分别是
a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．
考点： 两角和与差的正弦函数；正弦定理；余弦定理．
专题： 解三角形．
分析： （1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正
弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解
得到m的值 ，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为（k∈Z），列出关于x的
不等式，求出不等 式的解集即可得到f（x）在上的单调递减区间；
（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A﹣ ）+f（B﹣
2
）=4sinAsinB，再利用正弦
定理化简，得出a+b=ab① ，利用余弦定理得到（a+b）﹣3ab﹣9=0②，将①代入②求出ab
的值，再由sinC的值，利 用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答： 解：（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，
cosθ=），
∴f（x）的最大值为
∴=2，
，
），
，
又m＞0 ，∴m=
∴f（x）=2sin（x+
令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ +≤x≤2kπ+（k∈Z），
则f（x）在上的单调递减区间为；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，
- 14 -

化简f（A﹣）+f（B﹣
+
22
）=4
=2×
sinAsinB，得sinA+sinB=2
，即a+b=
2
sin AsinB，
由正弦定理得：ab①，
由余弦定理得：a+b﹣ab=9，即（a+b）﹣3ab﹣9=0②，
2
将①式代入②，得2（ab）﹣3ab﹣9=0，
解得：ab=3或ab=﹣（舍去），
则S
△ABC
=absinC=．
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以
及正 弦函数的单调性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABC D中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
O为AC与BD的交点，E为P B上任意一点．
（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．

考点： 用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
专题： 计算题；证明题；空间角；空间向量及应用．
分析： （I）根据PD⊥平面ABC D，得到AC⊥PD，结合菱形ABCD中AC⊥BD，利用线面垂直
判定定理，可得AC⊥平面PBD ，从而得到
平面EAC⊥平面PBD；
（II）连接OE，由线面平行的性质定理得到PD ∥OE，从而在△PBD中得到E为PB的中点．由
PD⊥面ABCD得到OE⊥面ABCD，可证出平 面EAC⊥平面ABCD，进而得到BO⊥平面EAC，所以
BO⊥AE．过点O作OF⊥AE于点F， 连接OF，证出AE⊥BF，由二面角平面角的定义得∠BFO为
二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠B FO=45°．分别在Rt△BOF和Rt△AOE中利用等积关系的三
角函数定义，算出OE=，由此 即可得到PD：AD的值．
解答： 解：（I）∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
又∵AC⊂平面EAC，平面EAC⊥平面PBD；
（II）连接OE，
∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD
∴PD∥OE，结合O为BD的中点，可得E为PB的中点
∵PD⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，
又∵OE⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面ABCD，
∵平面EAC∩平面ABCD=AC，BO⊂平面ABCD，BO⊥AC
∴BO⊥平面EAC，可得BO⊥AE
- 15 -

过点O作OF⊥AE于点F，连接OF，则
∵AE⊥BO，BO、OF是平面BOF内的相交直线，
∴AE⊥平面BOF，可得AE⊥BF
因此，∠BFO为二面角B﹣AE﹣C的平面角，即∠BFO=45°
设AD=BD=a，则OB=a，OA=a，
在Rt△BOF中，tan∠BFo=，可得OF=
Rt△AOE中利用等积关系，可得OA•OE=OF•AE
即a•OE=a•，解之得OE=
：2

∴PD=2OE=，可得PD：AD=
． 即PD：AD的值为

点评： 题 给出一个特殊四棱锥，要我们证明面面垂直，并在已知二面角大小的情况下求线
段的比值，着重考查了空 间垂直位置关系的判断与证明和二面角平面角的求法等知识，属于中
档题．
20．（13分） 已知数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n+1
=
（I）求证：数列{a
2n
﹣}是等比数列；
（II）若S
n是数列{a
n
}的前n项和，求满足S
n
＞0的所有正整数n．
考点： 数列递推式；数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ ）设b
n
=a
2n
﹣，则=﹣，==，由此能证明数列
{}是以﹣为 首项，为公比的等比数列．
- 16 -

（Ⅱ）由b
n
=a
2n
﹣=﹣•（）
n
n﹣1
=﹣•（），得
n
+，从而a
2n﹣1
+a
2n
=﹣
2•（）﹣6n+9，由此能求出 S
2n
．从而能求出满足S
n
＞0的所有正整数n．
解答： （Ⅰ）证明：设b
n
=a
2n
﹣，则=（）﹣=﹣，
==
==，
∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．
n﹣1
（Ⅱ）解： 由（Ⅰ）得b
n
=a
2n
﹣=﹣•（）
∴
由a
2n
=
+，
﹣3（2n﹣1），
n﹣1
=﹣•（），
n< br>得a
2n﹣1
=3a
2n
﹣3（2n﹣1）=﹣•（）
∴a< br>2n﹣1
+a
2n
=﹣
n
﹣6n+，
﹣6n+9
=﹣2•（）﹣6n+9，
S
2n
=（a
1
+a
2
）+（a
3
+a
4
）+…+（a
2n﹣1
+a< br>2n
）
=﹣2﹣6（1+2+3+…+n）+9n
=
n2

=（）﹣3（n﹣1）+2．
由题意得n∈N时，{S
2n
}单调递减，
又当n=1时，S
2
=＞0，当n=2时，S
4
=﹣＜0，
∴当n≥2时，S
2n
＜0，S
2n﹣1
=S
2n
﹣a< br>2n
=﹣，
*
故当且仅当n=1时，S
2n+1
＞0，
综上所述，满足S
n
＞0的所有正整数n为1和2．
点评： 本题考查等比 数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真
审题，注意构造法、等比数列性质 、分组求和法的合理运用．
- 17 -

21．（13分）已知离心率为 的椭圆的右焦点F是圆（x﹣1）+y=1
22
的圆心，过椭圆上的动点P作圆的两条切线分别 交y轴于M、N两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题： 计算题；综合题．
分析： （I） 根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，
最后根据a，b和c的关 系求得b，则椭圆方程可得．
（II）P（x
0
，y
0
），M（0 ，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而
可推断x
0
的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和
PN的距离．求得x
0
和y
0
的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把 点P代
入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记，根据函数的导函数判断函数
的单调性，进而确 定函数f（x）的值域，进而求得当
得y
0
，则P点坐标可得．
22
解答： 解：（I）∵圆（x﹣1）+y=1的圆心是（1，0），
∴椭圆的右焦点F（1，0），
时，|MN|取得最大值，进而求
∵椭圆的离心率是
22
，∴
． ∴a=2，b=1，∴椭圆的方程是
（II）设P（x
0
，y
0
）， M（0，m），N（0，n），
由得，∴．
直线PM的方程：
化简得（y
0
﹣m）x﹣x
0
y+x
0
m=0．

，
- 18 -

又圆心（1，0）到直线PM的距离为1，
∴
22
，
222
∴（y
0
﹣m）+x
0
=（y
0
﹣m）+2x
0
m（y
0
﹣m）+x0
m，
2
化简得（x
0
﹣2）m+2y
0
m ﹣x
0
=0，
2
同理有（x
0
﹣2）n+2y
0
n﹣x
0
=0．
∴，，
∴=．
∵P（x
0
，y
0
）是椭圆上的点，∴，
∴，
记
f'（x）＜0；
∴f（x）在
∴
当
，则
时，f'（x） ＜0，
上单调递减，在
，
时，|MN|取得最大值，
，时，
内也是单调递减，
此时点P位置是椭圆的左顶点．
点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查考生分析问题、解决问题的能力．
22．（13分）已知函数f（x）=﹣ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若∃x
1
，x
2
∈，使f（x
1
）≤f′（x
2
）+a 成立，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．
专题： 分类讨论；导数的综合应用．
分析： （1）f（x）在（1，+∞）上为减函数， 等价于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，
进而转化为f′（x）
max
≤0， 根据二次函数的性质可得f′（x）
max
；
（2）命题“若∃x
1
，x
2
∈，使f（x
1
）≤f'（x
2
）+a成立”等价 于“当x∈时，有f（x）
min
≤f′
（x）
max
+a”，由（ 1）易求f′（x）
max
+a，从而问题等价于“当x∈时，有f（x）
min分①a，②a＜两种情况讨论：当a
”，
时易求f（x）
min
，当a＜ 时可求得f′（x）的
值域为，再按（i）﹣a≥0，（ii）﹣a＜0两种情况讨论即可；
- 19 -

解答： 解：（1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，
故f′（x）=﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，
又f′（x）=﹣a=﹣+﹣a=﹣，
故当
所以
，即x=e时，
0，于是a
2
，
，故a的最小值为．
（2）命题“若∃x
1
，x
2
∈，使 f（x
1
）≤f'（x
2
）+a成立”等价于“当x∈时，有f（x）
min
≤f′
（x）
max
+a”，
由（1），当x∈时，f′ （x）
max
=
f（x）
min
①当a
”，
时，由（1），f（x）在上为减函数，
，所以f′（x）
max
+a=， 问题等价于：“当x∈时，有
则f（x）
min
=f（e）=
2
，故 a，；
②当a＜时，由于在上为增函数，
故f′（x）的值域为，即．
（i）若﹣a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在上恒成立，故f（x）在上为增函数，
于是，f（x）
min
=f（e）=e﹣ae≥e＞，不合题意；
（ii） 若﹣a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的单调性和值域知，∃唯一
使f′（x
0
）= 0，
且满足：当x∈（e，x
0
）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x< br>（x）＞0，f（x）为增函数；
所以，，，
时，f′
，
所以a
综上，得a．
﹣＞，与0＜a＜矛盾，不合题意；
点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、闭区间上 函数的最值，考查恒成立问题，考
查分类讨论思想、转化思想，考查学生分析解决问题的能力．
- 20 -