师生之间作文-高空作业安全协议

精 品 试 卷
课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例
层级一 学业水平达标
1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第
x
小时时，原油温度(单位：℃)
1
32
为
f
(
x< br>)＝
x
－
x
＋8(0≤
x
≤5)，那么原油温度的瞬 时变化率的最小值是( )
3
A．8
C．－1
20
B.
3
D．－8
22
解析：选C 瞬时变化 率即为
f
′(
x
)＝
x
－2
x
为二次函数 ，且
f
′(
x
)＝(
x
－1)－1，又
x
∈[0,5]，故
x
＝1时，
f
′(
x
)
min< br>＝－1.
2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是
( )
A.
33
2
cm
2
2
B．4 cm
D．23 cm
2
2
C．32 cm
解析：选D 设一段为
x
，则另一段为12－
x
(0＜
x
＜12)， < br>1

x

2
31

12－
x

2
33

2
x
8
x

，∴< br>S
′(
x
)＝
3

4
x
－
8

.
－＋16
则
S
(
x
)＝×

×＋×

×＝

2

3
2< br>
3

22

3

4

9
4

93

令
S
′(
x
)＝0 ，得
x
＝6，
当
x
∈(0,6)时，
S
′(
x
)＜0，
当
x
∈(6,12)时，
S
′(
x
)＞0，
∴当
x
＝6时，
S
(
x
)最小．
∴S
＝
8
3

1
2
2
2××6－×6＋ 16

＝23(cm)．

3
4

9

2
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加10 0元，已知总收益
R
与年产
1


400
x
－
x
2
2
量
x
的关系是
R
(
x
)＝


x

A．100
C．200
x
，
，

则总利润最大时，每年生产的产品是( )
B．150
D．300
解析：选D 由题意，总成本为：
C
＝20 000＋100
x
，所以总利润为
P
＝
R
－
C＝
x


300
x
－－20 000，0≤
x
≤400，
2



60 000 －100
x
，
x
>400，


300－
x
，0≤
x
≤400，
P
′＝


－10 0，
x
>400，

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2



令
P
′＝0，当0≤
x
≤400时，得
x
＝300 ；当
x
>400时，
P
′<0恒成立，易知当

精 品 试 卷
x
＝300时，总利润最大．
4．设正三棱柱的体积为
V
，那么其表面积最小时，底面边长为( )
A.4
V

3
C.4
V

3
B．2
V

1
D.
V

2
4
V
3
x
2
解析：选C 设底面边长为
x
，则高为
h
＝
4
V
3
x
，
∴
S
表
＝3××
x
＋2×
2
3
2
4 3
V
3
2
x
＝＋
x
，
4
x2
43
V
∴
S
表
′＝－
2
＋3
x
，
x
3
令
S
表
′＝0，得
x
＝4
V
.
3
经检验知，当
x
＝4
V
时 ，
S
表
取得最小值．
5．内接于半径为
R
的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．
R

4
C.
R

3
B．2
R

3
D.
R

4
1
2
π
222222
解析：选C 设圆锥高为
h
，底面半径为
r
，则
R
＝(
h
－
R
)＋
r
，∴
r
＝2
Rh
－
h
，∴
V
＝π
rh
＝
h
(2
Rh
－
h
)
33
2π
3
444
R
4
R
4
2 2
＝π
Rh
－
h
，
V
′＝π
Rh
－π
h
.令
V
′＝0得
h
＝
R
. 当0<
h
<时，
V
′>0；当<
h
<2
R
时，< br>V
′<0. 因此当
h
＝
3333333
R
时，圆锥体积最大．故应选C. 6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为
L
1
＝5. 06
x
－0.15
x
和
L
2
＝2
x
，其中
x
为销
售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最 大利润为________万元．
解析：设甲地销售
x
辆，则乙地销售(15－
x
)辆．
总 利润
L
＝5.06
x
－0.15
x
＋2(15－
x
)
＝－0.15
x
＋3.06
x
＋30(
x
≥0)．
令
L
′＝－0.3
x
＋3.06＝0，得
x
＝10 .2.
∴当
x
＝10时，
L
有最大值45.6.
答案：45.6
7．如图，内接于抛物线
y
＝1－
x
的矩 形
ABCD
，其中
A
，
B
在抛物线上
上运动，则此 矩形的面积的最大值是________．
2
2
2
2
运动，
C
，
D
在
x
轴
x

x
< br>x
解析：设
CD
＝
x
，则点
C
坐标为

，0

，点
B
坐标为

，1－
，
4

2

2
∴矩形
ABCD
的面积
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2

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
x
S
＝
f
(
x
)＝
x
·

1－



4

＝－＋
x
，
x
∈(0,2)． < br>4
3
2
由
f
′(
x
)＝－
x
＋1＝0，
4
得
x
1
＝－
2
3
(舍) ，
x
2
＝
2
，
3
2
x
3
∴
x
∈

0，


2

时，
f
′(
x
)＞0，
f
(
x
)是递 增的，
3


2
，2

x
∈
 
时，
f
′(
x
)＜0，
f
(
x
)是递减的，

3

当
x
＝
243
时，
f
(
x
)取最大值.
9
3
43
答案：
9
2
3
8．某厂生产某种产品
x
件的总成本：
C< br>(
x
)＝1 200＋
x
，又产品单价的平方与产品件数
x< br>成反比，生产100
75
件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__ ________件．
500
2
解析：设产品单价为
a
元，又产品 单价的平方与产品件数
x
成反比，即
ax
＝
k
，由题知a
＝.
x
2
3
总利润
y
＝500
x
－
x
－1 200(
x
>0)，
75
y
′＝
2502
2
－
x
，由
y
′＝0，得
x
＝25，
x
∈(0,25)时，
x
25
y
′>0 ，
x
∈(25，＋∞)时，
y
′<0，所以
x
＝25时，
y
取最大值．
答案：25
9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使
用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造 成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用
C
(单位：万元)与隔热层厚
度
x
(单位：cm)满足关系：
C
(
x
)＝
k
(0≤
x
≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设
f
(
x
)为隔热
3
x
＋5
层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求
k
的值及
f
(
x
)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用
f
(
x
)达到最小，并求最小值．
解：(1)设隔热层厚度为
x
cm，由题设，每年能源消耗费用为
C
(
x
)＝，再由
C
(0)＝8，得
k
＝40，
3
x
＋5
40
因此
C
(
x
)＝.
3
x
＋5
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k

精 品 试 卷
而建造费用为
C
1
(
x
)＝6
x
.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f
(
x
)＝ 20
C
(
x
)＋
C
1
(
x
)＝2 0×
＝
800
＋6
x
(0≤
x
≤10)．
3
x
＋5
2 400
x
＋
2 400
x
＋
2
40
＋6
x

3
x
＋5
(2)
f
′(
x
)＝6－
令
f
′(
x
)＝0，即
，
＝6，
2
25
解得
x
＝5，
x
＝－(舍去)．
3
当0<
x
<5时，
f
′(
x
)<0，当5<x
<10时，
f
′(
x
)>0，
故
x
＝5是
f
(
x
)的最小值点，对应的最小值为
f
(5)＝6×5＋
800
＝70.
15＋5
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．
10．某厂生产 某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已
知该 厂制造电子元件过程中，次品率
p
与日产量
x
的函数关系是：
p＝
3
x
*
(
x
∈N)．
4
x
＋32
(1)写出该厂的日盈利额
T
(元)用日产量
x
(件)表示 的函数关系式；
(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？
解：(1)由题意可 知次品率
p
＝日产次品数日产量，每天生产
x
件，次品数为
xp，正品数为
x
(1－
p
)．
因为次品率
p
＝
有
x
·
3
x
，当每天生产
x
件时， 4
x
＋32
3
x

3
x

件 次品，有
x

1－

件正品．
4
x
＋3 2

4
x
＋32

3
x

3x

所以
T
＝200
x

1－
－10 0
x
·

4
x
＋32

4
x< br>＋32

64
x
－
x
*
＝25·(
x
∈N)．
x
＋8
(2)
T
′＝－25·
2x
＋
x
＋
x
－
2
，
由
T
′＝0得
x
＝16或
x
＝－32(舍去)．
当0<
x
≤16时，
T
′≥0；当
x
≥16时，< br>T
′≤0；所以当
x
＝16时，
T
最大．即该厂的日产量定为 16件，能获得
最大日盈利．
层级二 应试能力达标
1
3
1．已 知某生产厂家的年利润
y
(单位：万元)与年产量
x
(单位：万件)的函数关 系式为
y
＝－
x
＋81
x
－234，则
3
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精 品 试 卷
使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A．13万件
C．9万件
2
B．11万件
D．7万件
解析：选C
y
′＝－
x
＋81，令
y
′＝0，解得
x
＝9或
x
＝－9(舍去)，当0＜
x
＜9 时，
y
′＞0；当
x
＞9时，
y
′
＜0. 所以当
x
＝9时，
y
取得最大值．
2．若一球的半径为
r
，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )
A．2π
r

C．4π
r

2
2
B．π
r

1
2
D.π
r

2
2
解析：选A 设内接圆柱的底面半径为
r
1
，高为
t
，
则
S< br>＝2π
r
1
t
＝2π
r
1
2
r－
r
1
＝4π
r
1
r
－
r
1
.
∴
S
＝4π
4224
r
2
r
2
1
－
r
1
. 令(
rr
1
－
r
1
)′＝0得
r
1
＝
2222
2
r
.
2
此时
S
＝4π·
2
r
·
2
r
2
－

22

2

22
r< br>
＝4π·
r
·
r
＝2π
r
.
2 2

2

3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件
x
元出售，可卖出(200－
x
)件，要使利润最大每件定价
为( )
A．80元
C．90元
B．85元
D．95元
解析：选B 设每件商品定价
x
元，依题意可得
利润为
L
＝
x
(200－
x
)－30
x
＝－
x
＋1 70
x
(0＜
x
＜200)．
2
L
′＝－2x
＋170，令－2
x
＋170＝0，解得
x
＝
170
＝85.
2
因为在(0,200)内
L
只有一个极值，所以以每件 85元出售时利润最大．
4．内接于半径为
R
的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
R
3
A.和
R

22
47
C.
R
和
R

55
B.
545
R
和
R

55
D．以上都不对
22
解析：选B 设矩形的宽为
x
，则长为2
R
－
x
，
则
l
＝2
x
＋4
R
－
x
(0<
x
<
R
)，
l
′＝2－
22
4
x
R
2
－
x
2
，
令
l
′＝0，解得
x
1
＝
当0<
x
<
55
R
，
x
2< br>＝－
R
(舍去)．
55
55
R
时，
l′>0，当
R
<
x
<
R
时，
l
′<0 ，
55
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精 品 试 卷
所以当
x＝
5545
R
时，
l
取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别 为
R
，
R
.
555
5．某公司一年购买某种货物400吨 ，每次都购买
x
吨，运费为4万元次，一年的总存储费为4
x
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
x
＝________吨．
400
解析：设该公司一年内总共购买
n
次货物，则
n
＝，
x
1 6001 600
∴总运费与总存储费之和
f
(
x< br>)＝4
n
＋4
x
＝＋4
x
，令
f
′ (
x
)＝4－
2
＝0，解得
x
＝20，
x
＝－20(舍去)，
xx
x
＝20是函数
f
(
x
)的最小值点，故当
x
＝20时，
f
(
x
)最小．
答案：20

6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐
篷的顶点
O
到底面中心
O
1
的距离为__________ m时，帐篷的体积最大．


解析：设
OO
1
为
x
m，底面正六 边形的
棱锥底面边长为3－
x
－
2
x
－
x
)．
帐篷的体积为
2
222
面积为
S
m，帐篷的体积为
V
m. 则由题设可得正六
333
22
(8＋2
x
－
x
)＝(8＋
42
23
＝8＋2
x< br>－
x
(m)，于是底面正六边形的面积为
S
＝6×
V
＝×
＝
1
3
3333
22
(8＋2
x
－< br>x
)(
x
－1)＋(8＋2
x
－
x
)
22
＋3
]

3
2
(8＋2
x
－
x
)
[
x
－
2
3
3
(16＋12
x
－
x
)，
2
3
2
(12－3
x
)．
2
＝
V
′＝
令
V
′＝0，解得
x
＝2或
x
＝－ 2(不合题意，舍去)．
当1＜
x
＜2时，
V
′＞0；当2＜x
＜4时，
V
′＜0.
所以当
x
＝2时，
V
最大．
答案：2
7．某集 团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费
t
(百 万元)，
可增加销售额约为－
t
＋5
t
(百万元)(0≤
t
≤3)．
(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使 该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经 预测，每投入技术改造费
x
百万元，可
2
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精 品 试 卷
1
32
增加的销售额约为－
x＋
x
＋3
x
(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的 收益最大．(收益＝销
3
售额－投入)
解：(1)设投入
t
(百万 元)的广告费后增加的收益为
f
(
t
)，
则有
f
(
t
)＝(－
t
＋5
t
)－
t
＝－
t
＋4
t
＝－(
t
－2)＋4(0≤
t
≤3)，
∴当
t
＝2时，
f
(
t
)取得最大值4，即投入2 百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为
x
(百万元)，
则用于广告促销的资金为( 3－
x
)(百万元)，又设由此获得的收益是
g
(
x
)(百 万元)，
1
3

1
32

2
则
g
(
x
)＝

－
x
＋
x
＋3x

＋[－(3－
x
)＋5(3－
x
)]－3＝－x
＋4
x
＋3(0≤
x
≤3)，
3

3

∴
g
′(
x
)＝－
x
＋4， 令
g
′(
x
)＝0，解得
x
＝－2(舍去)或
x
＝2.
又当0≤
x
<2时，
g
′(
x
)>0；当2<
x
≤3时，
g
′(
x
)<0，
∴ 当
x
＝2时，
g
(
x
)取得最大值，即将2百万元用于技术 改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益
最大．

1
8．统计 表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量
y
(升)关于行驶速度
x
(千米 小时)的函数为
y
＝
x
3
128 000
－
3
x
＋8(0<
x
<120)．
80
(1)当
x
＝64千米小时时，行驶100千米耗油量多少升？
(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？
10025
解：( 1)当
x
＝64千米小时时，要行驶100千米需要＝小时，要耗油
6416
2
222

1
×64
3
－
3
×64＋8

×
25
＝11.95(升)．

128 000

16
80

(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶
a千米，由题意得，

1
x
3
－
3
x
＋8

×
a
＝22.5，

128 000
< br>x
80

∴
a
＝
22.5
183
x
2
＋－
128 000
x
80
，
183
设
h
(
x
)＝
x
2
＋－，
128 000
x
80
则当
h
(
x
)最小 时，
a
取最大值，
18
x
－80
h
′(
x
)＝
x
－
2
＝
2
，
64 000
x
64 000
x
令
h
′(
x
)＝0⇒
x
＝80，
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33

精 品 试 卷
当
x
∈(0,80)时，
h
′(
x
)<0，
当
x
∈(80,120)时，
h
′(
x
)>0，
故当
x
∈(0,80)时，函数
h
(
x
)为减函数 ，
当
x
∈(80,120)时，函数
h
(
x
)为 增函数，
∴当
x
＝80时，
h
(
x
)取得最小值 ，此时
a
取最大值为
a
＝
22.5
183
2
×80＋－
128 0008080
＝200.
故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．

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