我敬佩的一个人300字-企业党支部工作总结

解三角形及其应用
一、选择题
1．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC＝：：4，那
么cosC等于( )
22
A.
3
B．－
3

11
C．－
3
D．－
4

答案：D
abc
解析：由正弦定理
sinA
＝
sinB
＝
sinC< br>可知a：b：c＝sinA：
sinB：sinC＝：
a
2
＋b
2
－c
2
：4，设a＝2k，b＝3k，c＝4k，cosC＝
2ab4k
2
＋9k
2
－16k
2
1
＝＝－
4
，答案选D.
2×2k×3k
2．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联合 测试)已知a，b，c
为△ABC的三个角A，B，C所对的边，若3bcosC＝c(1－3cosB )，则
sinC∶sinA＝( )
A．：3 B．：3
C．：1 D．：2
答案：C
解析：由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcos B,3sin(B＋C)＝
sinC,3sinA＝sinC，所以sinC：sinA＝：1.故选C .
3．(2018·成都摸底测试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别
为a，b，c ，且B＝2C,2bcosC－2ccosB＝a，则角A的大小为( )
ππ
A.
2
B.
3

ππ
C.
4
D.
6

答案：A
解析 ：由正弦定理得2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)＝
sinBc osC＋cosBsinC，∴sinBcosC＝3sinCcosB，∴sin2CcosC＝
1< br>2222
3sinCcos2C，∴2cosC＝3(cosC－sinC)，求得tanC＝< br>3
.∵B＝2C，

3
πππ
∴C 为锐角，∴tanC＝
3
，∴C＝
6
，B＝
3
，A＝
2
.故选A.
π
4．(2018·天津河东区模拟)在△ABC中，b＝5，B＝
4
，tanA＝2，
则a的值是( )
A．102 B．210
C.10 D.2
答案：B
sinA
解析：∵在△ABC中，ta nA＝
cosA
＝2，sin
2
A＋cos
2
A＝1， < br>25
π
a5
∴sinA＝
5
.由b＝5，B＝
4及正弦定理可得＝，解得a＝
252
52
210.故选B.
5．非直角 △ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已
π
知c＝1，C＝
3
.若sinC＋sin(A－B)＝3sin2B，则△ABC的面积为( )
15315
A.
4
B.
4

213333
C.
4
或
6
D.
28

答案：D
解析：因为sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝ 2sinAcosB
＝6sinBcosB，
因为△ABC非直角三角形，所以cosB≠0，所以sinA＝3sinB，即
a＝3b.
π
又c＝1，C＝
3
，由余弦定理得a
2
＋b
2< br>－ab＝1，结合a＝3b，可
113
π
33
得b
2
＝
7
，所以S＝
2
absinC＝
2
b
2
sin
3
＝
28
.故选D.
6．(2018·长春调研)在△AB C中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ ABC的形状是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
答案：B

解析：∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2si nCcosB＝sinA＝
sin(B＋C)，即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB ＝3tanC，又B＝2C，
2tanC3
πππ
∴
＝3tanC，得tan C＝
3
，C＝
6
，B＝2C＝
3
，A＝
2
，故△ABC
2
1－tanC
为直角三角形．
7．(2018·东莞二模) 已知△ABC的内角分别为A，B，C，AC＝7，
BC＝2，B＝60°，则BC边上的高为( )
333
A.
2
B.
2

3＋63＋39
C.
2
D.
4
答案：B
解 析：由余弦定理AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BCc osB，得7＝AB
2
＋4
－4ABcos60°，即AB
2
－2A B－3＝0，得AB＝3，得BC边上的高为
33
ABsin60°＝
2
，故 选B.
8．(2018·贵阳一模)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所
a＋b
2
对的边，若cosA＋sinA－＝0，则
c
的值是( )
cosB＋sinB
A．1 B.2
C.3 D．2
答案：B π

2

解析：由cosA＋sinA－
＝0得，2sin< br>A＋
4

·2

cosB＋sinB
π

π

π

π

π
< br>
sin

B＋

sin

B＋
4

＝2，即sin

A＋
4

sin

B＋
4

＝1，又

sin

A＋
4

≤1，
4

π
π

ππ
2
a＋b
≤1，∴sin

A＋
4

＝sin

B＋
4

＝1，A＝B＝
4
，C＝
2
，∴a＝b＝
2
c，
c
 
＝2，故选B.
二、填空题
9．(湖南长沙一模)△ABC的周长等于2(si nA＋sinB＋sinC)，则其
外接圆半径等于________．
答案：1
解析：设外接圆半径为R，已知2(sinA＋sinB＋sinC)＝a＋b＋c，

得＝2①.根据正弦定理知a＋b＋c＝2RsinA＋2Rsinb
sinA＋sinB＋sinC
a＋b＋c
＋2Rsinc，代入①式得2R＝2，即R＝1 .
10．(2018·上海杨浦区一模)若△ABC中，a＋b＝4，C＝30°，则
△AB C面积的最大值是________．
答案：1
1
解析：在△ABC中，∵C＝3 0°，a＋b＝4，∴△ABC的面积S＝
2

111


a＋b

2
1
ab·sinC＝
2
ab·sin30°＝< br>4
ab≤
4
×

＝
4
×4＝1，当且仅当a ＝b＝2


2

时取等号．因此△ABC面积的最大值是1. < br>11．(2018·郑州二模)如图，一栋建筑物AB的高为(30－103)米，
在该建筑物的 正东方向有一个通信塔CD，在它们之间的点M(B，M，
D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分 别是15°和60°，在楼顶
A处测得塔顶C的仰角是30°，则通信塔CD的高为________米 ．
答案：60

30－10330－103
AB
解析：在Rt△ ABM中，AM＝
sin15°
＝
sin15°
＝＝
6－2
4
206，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，
所以∠A CN＝60°，又在Rt△CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝
AC
30°，所以∠ ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以
sin105°
＝
AM2 06
＝，所以AC＝60＋203，所以CN＝30＋103，所
sin∠ACM
si n30°
以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－103＋30＋103＝60.
三、解答题
12．(2017·新课标全国卷Ⅱ，17)△ABC的内角，A，B，C的对< br>2
B
边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin
2
.

(1)求cosB；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解析：本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用．
B
(1)由题设及A＋B＋C ＝π得sinB＝8sin
2
2
，故sinB＝4(1－cosB)．
上式 两边平方，整理得17cos
2
B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝
15< br>1(舍去)，cosB＝
17
.
158
(2)由cosB＝
17
得sinB＝
17
， 14
故S
△
ABC
＝
2
acsinB＝
17< br>ac.
17
又S
△
ABC
＝2，则ac＝
2
.
由余弦定理及a＋c＝6得b
2
＝a
2
＋c
2
－2acco sB＝(a＋c)
2
－2ac(1
15

17


＋cosB)＝36－2×
2
×
1＋
17

＝4.

所以b＝2.
解后反思 在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中，要重视< br>“整体运算”的技巧．如本题中b
2
＝a
2
＋c
2
－ 2accosB＝(a＋c)
2
－2ac(1
＋cosB)中的转化就说明了这一点．