济宁市技术学院-法新社

姓名____________ 20XX年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 A
一。知识回顾： c
在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； b
（2）在直角三角形中，sinA=
abab
,sinB=

c=,c= C a B
ccsinAsinB
ababc
=,又
Q
sinC=1

==

sinAsinBsinAsinBsinC
abc
==
sinAsinBsinC
二。学习提纲：
<一>.正弦定理：
（1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即：
r
（2）证明：
j
C
rur
rr
r
uuu
r
uu u
r
uu

r
uuu

过A作单位向量
j
⊥
AB
,则
j
与
AB
的夹角为，
j与
BC
的夹角为-B，
j
与
CA
的夹角为+A； 22
ruuurrruuur
r
2
r
uuur
uuu< br>r
uuu
r
uuu
设AB=a,BC=c,AC=b.
Q< br>AB
+
BC
+
CA
=
0
,

j
g
(
AB
+
BC
+
CA
)=
j
g
0

r
r
uuurrur
r
r
uuu
r
r
uuu
r
uuu
r
uu
< br>r
uuu



j
g
AB
+< br>j
g
BC
+
j
g
CA
=0

|
j
|
g
|
AB
|
g
cos+|
j
|
g
|
BC
|
g
cos(-B )+|
j
|
g
|
CA
|
g
cos+A )=0
222
ab


asinB=bsinA,即：=
sinAsinB
bcabc
同理可得：= ，故：==
sinBsinC sinAsinBsinC
abc
当

ABC为钝角三角形或直角三角形时， 同样可证明得到：==
sinAsinBsinC
（3）正弦定理的变形：
①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA;
②a：b:c=sinA:sinB:sinC
③
①几何证明法：（略，同学们自己证明）
②向量证明：
证明：（如图）当

ABC为锐角三角形时， A B
abc
===2R （R为

ABC外接圆的半径）
sinAsinBsinC
abc
sinB= sinC=

a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC

sin A=
2R2R2R
22
2
22
22
22
（二）余弦 定理：
（1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦 的积的两倍，即：

a
=
b
+
c
-2bccosA;
b
=
a
+
c
-2accosB;
c
=
a
+
b
-2abcosC
变形：
s in
A=
sin
B+
sin
C-2sinBsinCcosA < br>sin
B=
sin
A+
sin
C-2sinAsinCcos B


sin
C=
sin
A+
sin
B- 2sinAsinBcosC
222222222
b
2
c
2a
2
a
2
c
2
b
2
a
2
b
2
c
2
求角：cosA=
, cosB=, cosC=
2bc2ac2ab
sin
2
Asin
2
B sin
2
Csin
2
Asin
2
Csin
2
Bsin
2
Asin
2
Bsin
2
C
变形:cosA=,cosB=,cosC=
2sinAsinB2sinAsinC2sinAs inB
22
2
(2)勾股定理：
c
=
a
+
b

222222222
推广：A为锐角→
abc
；A为直角 →
abc
；A为钝角→
abc

1111
（3）三角形的面积公式： ①
S
ABC
=ah ②
S
ABC
=absinC=bcsinA=acsinB
2222
1abc
③
S
ABC
=
p(pa)(pb)(pc)
(p=(a+b+c) ④
S
ABC
=
24R
(4)对于任意的三角形，都有：sinA>0

①A+B+C=

; sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC ③sin
ABABC
=cos
C
, cos=sin ④sinA>0
222
2
⑤若A>B,则有:sinA>sinB ⑥ CosAcosBcosC>0是△ABC为锐角三角形的充要条件
⑦ CosAcosBcosC=0是△ABC为直角三角形的充要条件 ⑧ CosAcosBcosC<0是△ABC为钝角三角形的充要条件
注意：在三角形中，应该满足成立三角形的条件：
① 任意两边之和大于第三边；
② 大边对大角,小边对小角；最大角要大于60°，最小角要小于60°；
③ A+B+C=


应用举例：
1.在△ABC中，若A>B是sinA>sinB的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要

2. 在△ABC中，a=

,b=
3

,A= 45°,则满足此条件的三角形的个数有（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.无数个

3. 在△ABC中，a=
5
,b=
15
,A=30°,则c=_______. 4. 在△ABC中，若
3a
=2bsinA,则B=_____.

5. 在△ABC中，a=2,b=
2
,∠A=

,则∠B=_______. 6.在△ABC中，AB=4,AC=7,BC边上的中线AD=
4
7
,
2
那么BC=________.

7. 在△ABC中,bcosA=acosB则三角形为__________ 8.在△ABC中,A,B均为锐角且cosA>sinB,
则△ABC是________.

9.（bixiu5P10）设锐角三角形ABC的内角 A、B、C的对边分别为a,b,c，且a=2bsinA.
(1)求B的大小 （2）求cosA+sinC的取值范围



10. （bixiu5P 12）（2010山东）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a=
2
， b=2,
sinB+cosB=
2
,则角A的大小为__________。


11. （bixiu5P12）（2010山东）已知：在△ABC中，∠A, ∠B、∠C的对边分别为a、b、c。
若a=c=
6
+
2
,且∠A =75º，则b=___________

12.在△ABC中,
cos

见证高考：
（20XX年，天津）1.在△ABC中，AC=2,BC=1,cosC=


（2007，上海）3. 在△ABC中。a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a=2,C=
求△ABC的面积


.

2
Abc
=，试判断△ABC的形状? 13.设A为△ABC的最小角，求sinA+cosA的取值范围
22c
3

4
(1)求AB的值 （2）求sin(2A+C)的值
B
25

,cos=,
5
2
4

姓名____________ 20XX年____月_____日 第___次课 数列的概念
一。学习提纲：
（一）数列
（1）数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数叫做数列。
（2）数列的项：数列中每一个数叫做这个数列的项。
排在第一位的称为首项（第1项），依次为第2项，第3项，。。。。。。。。。。
（3）数 列的记法：
a
1
，
a
2
，
a
3
。 。。。。。，
a
n
，。。。。，简记为：
a
n


（4）数列的分类：
①项数有限的数列，称为有穷数列；项数无限的数列，称为无穷数列；
②从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；即：
a
n1
>
a
n

③从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列； 即：
a
n1
<
a
n

④各项都相等的数列，叫做常数数列；
a
n
=c (c为常数)
⑤从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，叫摆动数列；
（二）求数列的通项：
（1）概念：
如果数列
a
n
< br>的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式
（2）理解：
①一个数列的通项公式并不唯一；
②数列是一个特殊的函数：即以正 整数集
N
或其有限子集
1,2,3,....,n,...

为定义 域的函数的表达式。




③可用函数表达式：
an
=f(n)
（3）数列的表示：
①图像法：数列的图象是以（n,f(n)）为坐标的无限或有限的孤立的点构成；
②列表法：
③通项公式法：即
a
n
=f(n)
（4）数列的递推公式：
如果已知数列
a
n

的第一项 （或前几项），且任一项
a
n
与它的前一项
a
n1
（或前 几项）间的关系可以用一
个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
（三）数列的求和：
（1）概念：一般地，我们把
a
1
+< br>a
2
+
a
3
。。。。。。+
a
n
称 为数列
a
n

的前n项和，用“
S
n
”表示，即：

S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
。。。。。。+
a
n




s
n
a
1
a
2< br>a
3
......a
n

（2）
a
n
与
s
n
的关系：

注意：条件---：
n
2


s
1
,(n1)

an


ss

nn1,(n2)

< br>a
n
a
n1

a
n
a
n1
aa
（四）
数列中的最值：
设
n
最大，则

设
n
最小，则


aaaa
n1n1

n

n
（五）求数列的通项的常用方法：
①观察法 ②累差法 ③累商法 ④转化法 ⑤归纳递推法 ⑥配比法 ⑦公式法
三。
精典例题：
1.（bx5P73）用观察法写出下列数列的通项公式：
(1)数列 -1,1，-1,1，。。。。。。的通项公式：
（2）数列 1,2，3,4，。。。。。。的通项公式：
（3）数列 1,3，5,7，。。。。。。的通项公式：
（4）数列 2,4，6,8，。。。。。。的通项公式：
（5）数列 1,2，4,8，。。。。。。的通项公式：
（6）数列 1,4，9,16，。。。。。。的通项公式：
（7）数列1，
111
，，。。。。。。的通项公式：
234

491625m
2
,......
2
(m7,且mN

)
; 2. （bxP74）已知有限数列
,,,
5101726m1
(1)写出这个数列的通项公式 （2）判断0.98是否为这个数列中的项？若是，是第几项？


n
2
3. （bx5P75）已知数列

a
n
< br>的通项公式为
a
n
=
2
，写出它的前五项，并判断该数列的增 减性。
n1



4若数列

a
n< br>}
的通项
a
n
=cn+

5.已知数列
< br>a
n
}
，
a
1
=1，
a
n1

6.数列

a
n
}
中，
a
n1


7.如果f(a+b)=f(a)·f(b)且f(1)=2,则


315
d
,又知
a
1
=，
a
4
=，则
a
10
=_________.

24
n
2
a
n
1
，求
a
n
=_____
3
a
n
,a
1
2,则a
4
_____

1 3a
n
f(2)f(4)f(6)f(2012)
.......___ _

f(1)f(3)f(5)f(2011)
gga
n
n
2
,则a
3
a
5
_____
8. 数列

a
n
}
中，
a
1
=1，对于所有的n
< br>2,都有
a
1
•a
2
•a
3
•g



9.已知数列

a
n
}
中，
a
n
=
n
+kn+2,n

N
,都有
a< br>n1
>
a
n
成立，则实数k的取值范围_____________
2


10.若数列

a
n
}
的前n项和
s
n
=
n
-10n,则此数列的通项公式为______ _________;
2
数列

na
n
}
中数值 最小的项是第_______项


11. 数列

a
n
}
满足
a
1
=




12（bx5P76）若函数f(x)=
22
, 数列

a
n
}
满足f(
log
2
n
)=-2n.
xx
a
1
gga
n
n
2< br>•a
n
,则数列{a
n
}的通项公式a
n
____ _
，
a
1
a
2
a
3
g
2
(1)求该数列

a
n
}
的通项公式
a
n
(2)求证：该数列

a
n
}
是递减数列

姓名____________ 20XX年____月_____日 第___次课 等差数列
一．知识要点归纳：

（一）重点：①.等差数列的定义:
a
n1
-
a
n
=d,
a
n2-
a
n1
=
a
n1
-
a
n
, ( n

N
)
②掌握求等差数列的通项：
a
n=
a
1
+（n-1）d ( n

N
)

a
n
=nd+(
a
1
-d) 同学们仔细瞧一瞧，这是不是一个一次函数啊！
n(a
1
a
n
)
③掌握等差数列的求和：
s
n
=,
2
1
s
n< br>=
na
1
+
n(n1)d

2
11
s
n
=
n
2
+（
a
1
-d）n
同学们仔细瞧一瞧，这是不是一个二次函数啊！

22
aa
n2
④等差中项：
a
n1
=
n

2
（二）难点 ：等差数列的性质
①若公差d>0,则此数列为递增数列；若公差d<0,此数列为递减数列；公差d=0,为常数数列

②若m,n,p,k

N
,且m+n=p+k,则
a
m
a
n
a
p
a
k
(口诀 ：脚码相加相等，项值相加相等)
③在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的数列仍然是等差数列
④等差数列

a
n
}
的连续m项的和
s
m
,s
2m
s
m
,s
3m
s
2m
,.. ..
仍为等差数列
随堂练习：（一）
1.已知数列

a
n
}
为等差数列，
a
3
=-3，前4项的和
s
4< br>=-16，则
a
2
=_________


2. 若数列

a
n
}
的通项公式为
a
n
=2n +3，则
a
1
a
3
a
5
.....a
99
____



3.在数列

a
n
}
中，
a
1
=2，
2a
n1
2a< br>n
1,则a
101
的值为_______


< br>4.设
s
n
是等差数列

a
n
}
的 前n项和，若


5. 已知数列

a
n
}
为等差数列，
a
1
a
2
a
3
24,a< br>18
a
19
a
20
78
，则此数列前20项和 为___________


6.已知方程（
x
-2x+m）(
x
-2x+n)=0的四根组成一个首项为


7.在等差数列
a
n
}
中，
a
1
3a
8
a
15
120,则2a
9
a
10
_____




8. 在等差数列

a
n
}< br>中，
s
n
是其前n项和，
a
1
=-2010，


随堂练习：（二）
22
a
5
5
s

，则
5
_____

a
6
9s
61
的等差数列，则|m-n|=_________
4
s
2009s

2007
2,则s
2010
____

20092007

1．设
S
n
是等差数列

a
n

的前
n
项和，若
S
7
35，则
a
4

（ ）
A．
8
B．
7
C．
6
D．
5

2．已知等差数列

a
n

中,
a
2
a
8
8
,则该数列前9项和
S
9
等于( )
A.18 B.27 C.36 D.45
3．设
S
n
是等差数 列

a
n

的前n项和，若
S
3
1
S

，则
6
＝（ ）
S
6
3S
12
3111
（
A
） （
B
） （
C
） （
D
）
10389
4．设

a
n
是等差数列，
a
1
a
3
a
5
9
，
a
6
9
，则这个数列的前6项和等于（ ）
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.5 B.4 C. 3 D. 2
一．填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。
6．设
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，若
S
5
10,S
10
5
,则公差为 . < br>7．在等差数列

a
n

中，已知
a
1a
2
a
3
a
4
a
5
20< br>，那么
a
3
等于 .
8．正项等差数列

a
n

中，
a
7
a
9
a7
a
6
a
8
a
9
a
8
a
6
16,
则
S
14

_________． < br>9．等差数列

a
n

前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
13,S
3
S
11< br>,n
为______时，
S
n
最大. ．
二．解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1 0．已知
{a
n
}
是等差数列，其前n项和为
S
n
，已知
a
3
11,S
9
153,
求数列
{a< br>n
}
的通项公式．（12分）


11．等差数列

a
n

中，已知
a
1




12．已知公差大于零的等差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，且满足
a
1
a
6
21,S
6
66.

求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
.（16分）



13．已知数列
{a
n
}
满足
a
1
1
，
a
n
a
n1





n
27．数列< br>{a
n
}
满足递推式
a
n
3a
n131(n2),其中a
4
365

1
（13分） ,a
2
a
5
4,a
n
33
，试求n的值 ．
3
1
(n2)
，求数列
{a
n
}
的通 项公式.

n(n1)


（1）求a
1
，a
2
，a
3
；
（2）若 存在一个实数

，使得


a
n



为等差数列，求

值;
n

3

（3）求数列{
a
n
}的前n项之和.





参考答案：

随堂练习：（一）
1)-5 2)5150 3)52 4)52 5)180 6)12 7)24 8)-2010
随堂练习：（二）
一．选择题：
1．D 分析：
S
n
是等差数列

a
n

的前
n
项和，若
S
7
7a
4
35,
∴
a
4

5
．
2．C 分析：在等差数列

a
n

中，
a
2
a
8
8
， ∴
a
1
a
9
8
，则该数列前9项和
S
9

3．A 分析：:由等差数列的求和公式可得
所以
9(a
1a
9
)
36
.
2
S
3
3a< br>1
3d
1
,可得a
1
2d
且
d0

S
6
6a
1
15d3
S
6
6 a
1
15d
27d3

,故选A.
S
12
12a
1
66d90d10
4．B 分析：
a
n

是等差数列，
a
1
a
3< br>a
5
3a
3
9,a
3
3,a
69.
∴
d2,a
1
1
，则这个数列的前6项
6(a
1
a
6
)
24
，选B.
2

5a
1
20d15
5．C 分析：

d3
，故选C.
5a25d30

1
和等于
二．填空题：
6．
1
分析: 设首项为
a
1
，公差为
d
，由题得

5a
1
10d10

a
1
2d2
9d4d 14d1



10a
1
45d5

2a
1
9d1
7．4 分析: 略.
8．28 分析: 略．
9．7, 49 分析: 略．
三．解答题：

a
1
2d11

10．解：（1）

解得:
d3,a
1
5,a
n
3n2
.
98
9a
1
d153

2
11.解: < br>121221
a
2
a
5
a
1
d4d 2a
1
5d4,又a
1


d,a
n
(n1)

n
333333

21
a
n
33,

n33
得
n50
33
12．解:
6a a
16
66.

aa22.Q

a
n

为等差数列
.

S
6

16
2
又a
g
a21，

a 、a
是二次方程
x
2< br>22x210
的两根
1616

又公差
d0.
a
6
a
1
.

a
1
1 ,a
6
21.
由
a
6
a
1


61

g
d21
得
d

21-1
4,
5

通项公式
a
n
4n3
1< br>
n
n4
14. （1）由
a
n
3a
n 1
31,及a
4
365知a
4
3a
3
 31365,则a
3
95

13．
a
n
2
同理求得a
2
=23, a
1
=5

a
n


a
n


}为一个等差数列,于是设xny

3
n3
n

a
n
(xny)3
n


,又由a
1
5,a
2
23,a
3
95(2)Q{


5a
1
(xy)3



知

23a
2
(2xy)9
< br>
11

95a
3
(3xy)27
求得

,x1,y
22

1111

a
n
(n)3
n
,而a
n
(n)3
n
满足递推式
2222

1
因此


2
111
(3)a
n
(n)3
n
先求b
n
(n)3
n
的前n项和,
222
111
记Tn( 1)3
n
(2)3
2
(n)3
n
< br>222
111
则3Tn(1)3
2
(2)3
3< br>(n)3
n1
222
由上两式相减
11
T
n
3T
n
(1)33
2
3
3
L3
n
(n)3
n1
22
93
2
3
n1
1911
2T
n
(n)3
n1
( 3
n1
9)(n)3
n1
2132222

n3
n1
T
n

1
n3
n1
2
nn
n1
nn
n1
3(31).
2222
因此{a
n
}前n项和为T
n
