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绝密★启用前

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号
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考
订
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：< br>…
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外内
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2007~2017全国 卷数学（理）17题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

题号

一

总分

得分


注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上



第Ⅰ卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

评卷人

得 分





一．解答题（共18小题，满分216分，每小题12分）

1．（12分）△ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面
积为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

2．（12分）△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）
=8sin
2
．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

3．（12分）△ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，
a=2，b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

4．（12分）△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）
=c．

（Ⅰ）求C；

试卷第1页，总4页

（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

5．（12分）S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且a
1
=1，S
7=28，记b
n
=[lga
n
]，
其中[x]表示不超过x的最 大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．

（Ⅰ）求b
1
，b
11
，b
101
；

（Ⅱ）求数列{b
n
}的前1000项和．

6．（12分）已知数 列{a
n
}的前n项和S
n
=1+λa
n
，其中λ≠0．< br>
（1）证明{a
n
}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S
5
=，求λ．

7．（12分）S
n
为 数列{a
n
}的前n项和，己知a
n
＞0，a
n
2
+2a
n
=4S
n
+3

（I）求{a
n
}的通项公式：

（Ⅱ）设b
n
=，求数列{b
n
}的前n项和．

8．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC
面积的2倍 ．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

9．（12分）已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
=1，a
n
≠0，a
n
a
n
+
1
=λS
n
﹣1，其
中λ为常数．

（Ⅰ）证明：a
n
+
2
﹣a
n
=λ

（Ⅱ）是否存在λ，使得{a
n
}为等差数列？并说明理由．

10 ．（12分）已知数列{a
n
}满足a
1
=1，a
n
+1
=3a
n
+1．

（Ⅰ）证明{a
n
+}是 等比数列，并求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

11．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内
一点，∠BPC=90°．

（1）若PB=，求PA；

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

试卷第2页，总4页

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要
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请
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12．（12分）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b， c，已知a=bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

13．（12分）已知a，b，c分别 为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC
﹣ccosA．

（1）求A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

14．（12分）等比数列{a
n
}的各项均为正数，且2a
1
+3a
2
=1，a
3
2
=9a
2
a
6
，

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）设b
n< br>=log
3
a
1
+log
3
a
2
+ …+log
3
a
n
，求数列{}的前n项和．

15．（1 2分）设数列满足a
1
=2，a
n
﹣
+
1
﹣an
=3•2
2n1

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）令b
n
=na
n
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

16．（12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点
进行测量，A ，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的
数据有俯角和A，B间的距离，请设计 一个方案，包括：①指出需要测量的
数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M， N间的
距离的步骤．


17．（12分）已知{a
n
}是 一个等差数列，且a
2
=1，a
5
=﹣5．

（Ⅰ）求{a
n
}的通项a
n
；

（Ⅱ）求{a
n
}前n项和S
n
的最大值．

试卷第3页，总4页

18．（12分）如图，测量河对岸的塔高A B时，可以选与塔底B在同一水平面
内的两个测点C与D．现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD= s，并在点C测得塔顶
A的仰角为θ，求塔高AB．





试卷第4页，总4页

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本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答 案仅供参考。
2007~2017全国卷数学（理）17题

参考答案与试题解析



一．解答题（共18小题，满分216分，每小题12分）

1．（12分）（201 7•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知△ABC的面积为
（ 1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．

．

【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求
值；58 ：解三角形．

【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，

（2）根据两角余弦公式 可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可
得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得 以解决．

【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S
△
ABC
=acsinB=
∴3csinBsinA=2a，

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，

∵sinA≠0，

∴sinBsinC=；

（2）∵6cosBcosC=1，

∴cosBcosC=，

∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，

∴cos（B+C）=﹣，

∴cosA=，

∵0＜A＜π，

∴A=
∵
，

===2R==2，

，

1

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
∴sinBsinC=
∴bc=8，

•===，

∵a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，

∴b
2
+c
2
﹣bc=9，

∴（b+c）
2
=9+3cb=9+24=33，

∴b+c=

∴周长a+b+c=3+．

【点评】本题考查了三角 形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正
弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题 ．



2．（12分）（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
已知sin（A+C）=8sin
2
．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

【考点】HP：正弦定理；GS：二倍角的正弦．

【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；58 ：解三角形．

【分析】（1）利用三角形的内角和定理可 知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简
sin（A+C），利用降幂公式化简8sin
2，结合sin
2
B+cos
2
B=1，求出cosB，

（2）由（1）可知sinB=
求出b．

【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin
2
，

∴sinB=4（1﹣cosB），

∵sin
2
B+cos
2
B=1，

∴16（1﹣cosB）
2
+cos
2
B=1，

∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，

∴cosB=；

，

，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可
（2）由（1）可知s inB=
∵S
△
ABC
=ac•sinB=2，

2

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
∴ac=，

×

∴b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB=a
2
+c
2
﹣2×
=a
2
+c
2
﹣15=（a+c）
2
﹣2ac﹣15=36﹣1 7﹣15=4，

∴b=2．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三 角形的面积公式，二倍角公式
和同角的三角函数的关系，属于中档题


< br>3．（12分）（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已 知sinA+
（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

cosA=0，a=2，b=2．

【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；58 ：解三角形．

【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求
出，
< br>（2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到S
△
ABD
=S
△
ABC
．

【解答】解：（1）∵sinA+
∴tanA=，

cosA=0，

∵0＜A＜π，

∴A=，

由余弦定理可得a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，

即28=4+c
2
﹣2×2c×（﹣），

即c
2
+2c﹣24=0，

解得c=﹣6（舍去）或c=4，

故c=4．

（2）∵c
2
=b
2
+a
2
﹣2abcosC，

∴16=28+4﹣2×2
∴cosC=
∴CD=
，

==

×2×cosC，

3

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
∴CD=BC

∵S
△
ABC
=AB•AC•sin∠BA C=×4×2×
∴S
△
ABD
=S
△
ABC
=
=2，


【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及解三角形的问题，
属于中档题



4．（12分）（2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，
已知2cosC（acosB+bcosA）=c．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

【考点】HX：解三角形．

【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；49 ：综合法；58 ：解三角形．

【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角 和与差的正弦
函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C
的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b< br>的值，即可求△ABC的周长．

【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0

已知等式利用正 弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，

整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，

即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC

2cosCsinC=sinC

∴cosC=，

∴C=；

（Ⅱ）由余弦定理得7=a
2
+b
2
﹣2ab•，

4

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
∴（a+b）
2
﹣3ab=7，

∵S=absinC=
∴ab=6，

∴（a+b）
2
﹣18=7，

∴a+b=5，

∴△ABC的周长为5+．

ab=，

【点评】此题考查了正弦、 余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的
恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．



5．（12分）（2016•新课标Ⅱ）S
n
为等差数列{ a
n
}的前n项和，且a
1
=1，S
7
=28，
记 b
n
=[lga
n
]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]= 0，[lg99]=1．

（Ⅰ）求b
1
，b
11
，b
101
；

（Ⅱ）求数列{b
n
}的前1000项和．

【考点】8E：数列的求和；8F：等差数列的性质．

【专题】11 ：计算题；29 ：规律型；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等
比数列．

【 分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求
解b
1
，b< br>11
，b
101
；

（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b
n
}的前1000项和．

【解答】解：（Ⅰ）S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且a
1< br>=1，S
7
=28，7a
4
=28．

可得a
4
=4，则公差d=1．

a
n
=n，

b
n
=[lgn]，则b
1
=[lg1]=0，

b
11
=[lg11]=1，

b
101
=[lg101]=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b
1
=b
2
=b
3
=…=b
9
=0，b
1 0
=b
11
=b
12
=…=b
99
=1．

b
100
=b
101
=b
102
=b
10 3
=…=b
999
=2，b
10
，
00
=3．
数列{b
n
}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=18 93．

【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，
以 及计算能力．



5

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
6．（12分）（ 2016•新课标Ⅲ）已知数列{a
n
}的前n项和S
n
=1+λa
n
，其中λ≠0．

（1）证明{a
n
}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S
5
=，求λ．

【考点】8H：数列递推式；8D：等比关系的确定．

【专题】34 ：方程思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．

【分析】（1）根据数列通项公 式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合
等比数列的定义进行证明求解即可．

（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．

【解答】解：（1）∵S
n
=1+λa
n
，λ≠0．

∴a
n
≠0．

当n≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
=1+λa
n
﹣1﹣λa
n< br>﹣
1
=λa
n
﹣λa
n
﹣
1
，
即（λ﹣1）a
n
=λa
n
﹣
1
，

∵λ≠0，a
n
≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，

即=，（n≥2），

，

∴{a
n
}是等比数列 ，公比q=
当n=1时，S
1
=1+λa
1
=a
1
，

即a
1
=
∴a
n
=
，

•（
，

•（
﹣1=﹣
）
4
]=
，

）
n
﹣
1
．

（2）若S
5
=< br>则若S
5
=1+λ[
即（
则
）
5
=
，

=﹣，得λ=﹣1．

【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据 n≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．



7 ．（12分）（2015•新课标Ⅰ）S
n
为数列{a
n
}的前n项和，己知 a
n
＞0，
a
n
2
+2a
n
=4S
n
+3

（I）求{a
n
}的通项公式：

6

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
（Ⅱ）设b
n
=，求数列{b
n
}的前n项和．

【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【专题】54 ：等差数列与等比数列．

【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a
n
}的通项公式：

（Ⅱ）求出b
n
=，利用裂项法即可求数列{ b
n
}的前n项和．

【解答】解：（I）由a
n
2
+2a
n
=4S
n
+3，可知a
n
+
1
2
+2a
n
+
1
=4S
n
+
1
+ 3

两式相减得a
n
+
1
2
﹣a
n
2
+2（a
n
+
1
﹣a
n
）=4a
n< br>+
1
，

即2（a
n
+
1
+an
）=a
n
+
1
2
﹣a
n
2
=（a
n
+
1
+a
n
）（a
n
+
1
﹣a
n
），

∵a
n
＞0，∴a
n+
1
﹣a
n
=2，

∵a
1
2
+2a
1
=4a
1
+3，

∴a
1
=﹣1（舍）或a
1
=3，

则{a
n
}是首项为3，公差d=2的等差数列，

∴{a
n
}的通项公式a
n
=3+2（n﹣1）=2n+1：

（Ⅱ）∵a
n
=2n+1，

∴b
n
===（﹣
+…+
），

﹣）=（﹣）∴数 列{b
n
}的前n项和T
n
=（﹣
=．

【点评】 本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是
解决本题的关键．



8．（12分）（2015•新课标Ⅱ）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，
△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

，求BD和AC的长．

（2）若AD=1，DC=
【考点】HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算．

【专题】58 ：解三角形．

【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知 及面积公式可得BD=2DC，
由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=
，从而得解．

7
，sin∠C=

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 < br>（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD
平分∠BAC， 可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD
和AC的长．

【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，

∵==2

∴BD=2DC，

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠DAC

在△ABD中，
在△ADC中，
∴=
=
=
=．…6分

=．

，∴sin∠B=
，∴sin∠C=

；

（2）由（1）知，BD=2DC=2×
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∴==2，

∴AB=2AC，

令AC=x，则AB=2x，

∵∠BAD=∠DAC，

∴cos∠BAD=cos∠DAC，

∴由余弦定理可得：
∴x=1，

∴AC=1，

∴BD的长为，AC的长为1．

=，

8

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

【点评 】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应
用，属于基本知识的考查．



9．（12分）（2014•新课标Ⅰ）已知数列{a
n
}的前 n项和为S
n
，a
1
=1，a
n
≠0，
a
n
a
n
+
1
=λS
n
﹣1，其中λ为常数．

（Ⅰ）证明：a
n
+
2
﹣a
n
=λ

（Ⅱ）是否存在λ，使得{a
n
}为等差数列？并说明理由．

【考点】8H：数列递推式；8C：等差关系的确定．

【专题】54 ：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）利用a
n
a
n
+
1
=λS
n
﹣1，a
n
+
1
a
n
+
2
=λS
n
+
1
﹣1，相减即可得出；

（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a
n
}为等
差数列，设公差为d．可得λ=a
n
+
2
﹣a
n
= （a
n
+
2
﹣a
n
+
1
）+（a
n
+
1
﹣a
n
）=2d，
到λS
n
=，解得λ即可．

【解答】（Ⅰ）证明：∵a
n
a
n
+
1
=λS
n
﹣1，a
n
+
1
a
n
+
2
=λS
n
+
1
﹣1，

∴a
n
+
1
（a
n
+
2
﹣a
n
）=λa
n
+
1

∵a
n
+
1
≠0，

∴a
n
+
2
﹣a
n
=λ．

（Ⅱ ）解：①当λ=0时，a
n
a
n
+
1
=﹣1，假设{an
}为等差数列，设公差为d．

则a
n
+
2
﹣a
n
=0，∴2d=0，解得d=0，

∴a
n
=a
n
+
1
=1，

∴1
2
=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a
n
}不为等差数列．

②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a
n
}为等差数列，设公差为d．
则λ=a
n
+
2
﹣a
n
=（a
n
+< br>2
﹣a
n
+
1
）+（a
n
+
1﹣a
n
）=2d，

∴．

．得
，根据{a
n
}为等差数列的充要条件是
9

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
∴
∴λS
n
=1+
，，

=
，解得λ=4．

，

根据{a
n
}为 等差数列的充要条件是
此时可得，a
n
=2n﹣1．

因此存在λ=4，使得{a
n
}为等差数列．

【点评】本题考查了 递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、
等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法 ，考查了推理能力和计算能
力、分类讨论的思想方法，属于难题．


10．（12分）（2014•新课标Ⅱ）已知数列{a
n
}满足a
1
= 1，a
n
+
1
=3a
n
+1．

（Ⅰ）证 明{a
n
+}是等比数列，并求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

【考点】8E：数列的求和；8G：等比数列的性质．

【专题】14 ：证明题；54 ：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前 一项的比是常数，即
常数，又首项不为0，所以为等比数列；

再根据等比数列的通项化式，求出{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，
=
证明不等式．

【解答】证明（Ⅰ）==3，

∵≠0，

∴数列{a
n
+}是以首项为，公比为3的等比数列；

∴a
n
+==，即
，

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
10

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
当n≥2时，∵3
n
﹣1＞3
n
﹣3
n
﹣
1
，∴
∴ 当n=1时，成立，

＜=，

当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．

∴对n∈N
+
时，++…+＜．

【点评】本题考查的是等比数列， 用放缩法证明不等式，证明数列为等比数
列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一 起考，放缩
法是常用的方法之一，

通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或 可以用裂项相消法求和的
新数列．属于中档题．



11．（12 分）（2013•新课标Ⅰ）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=
P为△ABC内一点，∠ BPC=90°．

（1）若PB=，求PA；

（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．

，BC=1，

【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．

【专题】58 ：解三角形．

【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在
△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．

（II）设∠PBA=α，在Rt△PB C中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理
得，即，化简即可求出．

=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．

PA
2
=PB< br>2
+AB
2
﹣2PB•ABcos30°=
【解答】解：（I）在Rt △PBC中，
在△PBA中，由余弦定理得
11

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
=．

∴PA=．

（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．

在△PBA中，由正弦定理得
，

化为．∴．

，即
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关
键．



12．（12分）（2013•新课标Ⅱ）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，
c，已知a=bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．

【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．

【专题】58 ：解三角形．

【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数
公式及诱导公式变形 ，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的
三角函数值即可求出B的度数；
< br>（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，
得到三角形面积 最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不
等式求出ac的最大值，即可得到面积的最 大值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBs inC①，

∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，

∴sinB=cosB，即tanB=1，

∵B为三角形的内角，

∴B=；

ac，

≥2ac﹣2ac×，

（Ⅱ ）S
△
ABC
=acsinB=
由已知及余弦定理得：4=a
2+c
2
﹣2accos
12

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
整理得：ac≤，当且仅当a=c时，等号成立，

×=××（2+）=+1．

则△ABC面积的最大值为×
【点评】此题考查 了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正
弦函数公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握 定理及公式是解本题的关键．



13．（12分）（2012•新课标） 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C
的对边，c=
（1）求A；

（2）若a=2，△ABC的面积为
【考点】HX：解三角形．

asinC﹣ccosA．

，求b，c．

【专题】11 ：计算题．

【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC =0，可以求出A；

（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．

【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：

sinA﹣cosA﹣1）=0，

sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC =0，即sinC•（
又，sinC≠0，

所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣
；

，所以bc=4，

）=1，

所以A=
（2）S
△
ABC
=bcsinA=
a=2，由余弦定理得：a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，即4=b
2
+c
2
﹣bc，

即有
解得b=c=2．

【点评】本题综合考查了三角公 式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积
公式的综合应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的 应用是求解的
基础，解题的关键是熟练掌握基本公式



14．（ 12分）（2011•新课标）等比数列{a
n
}的各项均为正数，且2a
1
+3a
2
=1，
a
3
2
=9a
2
a
6
，

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

13
，

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
（Ⅱ）设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2+…+log
3
a
n
，求数列{}的前n项和．

【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．

【专题】54 ：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a
3
2
=9a
2
a
6
，利用等比数列的通项公
式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题
意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2 a
1
+3a
2
=1，把求出的q的值
代入即可求出等比数列的首项， 根据首项和求出的公比q写出数列的通项公
式即可；

（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{a< br>n
}的通项公式代入设bn=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n
，
利用对数的 运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到b
n
的通
项公式，求出倒数即 为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列
}的前n项和．

的各项，抵消后 即可得到数列{
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a
n
}的公比为q，由a
32
=9a
2
a
6
得a
3
2
=9a4
2
，所以q
2
=
．

由条件可知各项均为正数，故q=．

由2a
1
+3a
2< br>=1得2a
1
+3a
1
q=1，所以a
1
=．

故数列{a
n
}的通项式为a
n
=

．

（Ⅱ）b
n
=
故
则
=﹣
++ …+
++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣
）

，

=﹣2（﹣
=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣
．

）]=﹣，

所以数列{}的前n项和为﹣
【点评】此题考查学生灵活运用等 比数列的通项公式化简求值，掌握对数的
运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算 ，是一道中
档题．



15．（12分）（2010•宁夏）设数 列满足a
1
=2，a
n
+
1
﹣a
n
=3• 2
2n
﹣
1

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

14

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
（2）令b
n
=na
n
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．

【专题】11 ：计算题．

【分析】（Ⅰ）由题意得a
n
+
1
=[（a< br>n
+
1
﹣a
n
）+（a
n
﹣a
n< br>﹣
1
）+…+（a
2
﹣a
1
）]+a
1=3
（2
2n
﹣
1
+2
2n
﹣
3+…+2）+2=2
2
（
n
+
1
）﹣
1
．由此可知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2
2n
﹣< br>1
．

（Ⅱ）由b
n
=na
n
=n•22n
﹣
1
知S
n
=1•2+2•2
3
+3•2
5
++n•2
2n
﹣
1
，由此入手可知答案．
< br>【解答】解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，a
n
+
1
=[（a
n
+
1
﹣a
n
）+（a
n
﹣a
n
﹣
1
）+…+
（a
2
﹣a
1
）]+a
1< br>
=3（2
2n
﹣
1
+2
2n
﹣
3
+…+2）+2=3×
而a
1
=2，

所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2
2n
﹣
1
．

（Ⅱ）由b
n
=na
n
=n•2
2n
﹣
1
知S
n
=1•2+2•2
3
+3•2
5
+…+n• 2
2n
﹣
1
①

从而2
2
S
n< br>=1•2
3
+2•2
5
+…+n•2
2n
+
1
②

①﹣②得（1﹣2
2
）•S
n
=2+23
+2
5
+…+2
2n
﹣
1
﹣n•2
2n
+
1
．

即．

+2=2
2
（
n
+
1
）﹣
1
．

【点评】本题主要考 查数列累加法（叠加法）求数列通项、错位相减法求数
列和等知识以及相应运算能力．



16．（12分）（2009•海南）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水 平方
向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），
飞机能够测 量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①
指出需要测量的数据（用字母表示，并在 图中标出）；②用文字和公式写出
计算M，N间的距离的步骤．


【考点】HU：解三角形的实际应用；5D：函数模型的选择与应用．

【专题】22 ：方案型．

【分析】方案一：选择在三角形AMN中，所以要用正弦定理求得AM，AN，
15

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
再用余弦定理求解．

方案二：选择在三角形BMN中，所以要用正弦定理求得BM， BN，再用余弦
定理求解．

【解答】方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点 的俯角α
1
、β
1
；B
点到M、N点的俯角α
2
、 β
2
；A、B的距离d，如图所示：


②第一步：计算AM．由正弦定理AM=

第二步：计算AN．由正弦定理AN=
第三步：计算MN．由余弦定理MN=



方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角 α
1
、β
1
；B点到M、
N点的俯角 α
2
、β
2
；A、B的距离d（如图所示）．

②第一步：计算BM．由正弦定理BM=

第二步：计算BN．由正弦定理BN=
第三步：计算MN．由余弦定理MN=


【点评】本题主要考查解三角形问题，主要涉及了正弦定理和余弦定理的应
用．



17．（12分）（2008•海南）已知{a
n
}是一个等差 数列，且a
2
=1，a
5
=﹣5．

（Ⅰ）求{a
n
}的通项a
n
；

16

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
（Ⅱ）求{a
n
}前n项和S
n
的最大值．

【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．

【分析】（1） 用两个基本量a
1
，d表示a
2
，a
5
，再求出a
1
，d．代入通项公式，
即得．

（2）将S
n
的表达式写 出，是关于n的二次函数，再由二次函数知识可解决
之．

【解答】解：（Ⅰ）设{a
n
}的公差为d，由已知条件，
解出a
1
=3，d=﹣2，所以a< br>n
=a
1
+（n﹣1）d=﹣2n+5．


，

（Ⅱ）
所以n=2时，S
n
取到最大值4．

=4﹣（n﹣2）
2
．

【点评】本题是对等差数列的基本考查，先 求出两个基本量a
1
和d，其他的
各个量均可以用它们表示．



18．（12分）（2007•海南）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，并在
点C测得 塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．


【考点】HU：解三角形的实际应用．

【专题】11 ：计算题．

【分析】先根据三角形内角和为180°得∠CBD=1 80°﹣α﹣β．再根据正弦定理
求得BC，进而在Rt△ABC中，根据AB=BCtan∠ACB求 得AB．

【解答】解：在△BCD中，∠CBD=π﹣α﹣β．

17

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
．

．

．

【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．正弦定理是解三角形问题常
用方法，应熟练记忆．



18