上海第二工业大学吧-长征胜利80周年手抄报

9.1.1正弦定理（2）
【基础练习】
一、单选题
1
．△
ABC
中，若
cosC

A
．
4π
【答案】
C
【解析】

2
2
，
c
＝
2
，则△
ABC
外接圆面积为（

）

3
C
．
9π D
．
36π B
．
8π < br>1
2
由于
C
是三角形的内角，所以
sinC1cosC
.
3
设三角形
ABC
外接圆的半径为
R
，由正弦 定理得
所以三角形
ABC
外接圆的面积为
9

.
故选：
C
2
．在
VABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，若
c
的外接圆的面积为（

）

A< br>．
2R
c2
6
，所以
R3
，
sinC
1
3
3
，
A75
，
B45< br>，则
VABC


4
B
．

C
．
2

D
．
4


【答案】
B
【解析】

在
VABC
中，
A75
，
B45
，

所以
C180AB60
.
设
VABC
的外接圆的半径为
R
，

则由正弦定理 ，可得
2R
c

sinC
3
2
，解得
R1

3
2
故
VABC
的外接圆的面积
S
R
2


，

故选：
B.
3
．若
A,B
是
ABC
的内角，且
sinAsinB
，则
A
与
B
的关系正确的是
( )
A
．
AB
B
．
AB
C
．
AB


2
D
．无法确定

【答案】
B
【解析】

ab
ab
abAB
，因此本题选
B.
2R
,
sinAsinB

2R2R
sinAsinB
4．在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对 的边分别为
a
，
b
，
c
，
asin
2BbcosAcosB
，则
ABC
的形状是
由正弦定理可知：
（

）

A
．锐角三角形

C
．钝角三角形

【答案】
B
【解析】

B
．直角三角形

D
．不确定

asin
2
BbcosAcosB
，所以
sinAsin
2
BsinBc osAcosB
，

所以
sinB

sinAsinBc osAcosB

0
，即
sinBcos

AB
0
.
因为
0A

，
0B

，所以
AB
故选：
B

二、填空题
5
．在
ABC
中，
A
【答案】
83

【解析】

设
ABC
外接圆半径为
R
,
则根据正弦定理有


，故
ABC
是直角三角形
.
2

3
，
a12
，则
a+b+c
=
______.
sinA+sinB+sinC

2R
(
sinA+sinB+si nC
)
a+b+c
==2R

sinA+sinB+sinCsin A+sinB+sinC
=
a122
==12?
sinA
sinπ
3
3
83
.
故答案为：
83

6
．在
ABC
中，
A,B,C
所对的边长分别为
a,b,c
，若
sinA:sinB:sinC1:3:2
，则
a:b:c
= __________
．

【答案】
1：3：2

【解析】

在
ABC
中，
sinA:si nB:sinC1:3:2
，

所以
a:b:c1：3：2
.
故答案为：
1：3：2

7
．甲同学碰到一道缺失条件的问题
:“
在
VABC
中，已知
a4,A30
，试判断此三角形解 的个数
.
查看
标准答案发现该三角形有一解
.
若条件中缺失边
c
，那么根据答案可得所有可能的
c
的取值范围是
_______.
【答案】

0,4



8


【解析】

a4
ac
csinCsinC8sinC
,
则
, < br>
1
由题
,
由正弦定理可得
sinA
sinAsin C
2
因为三角形有一解
,
则
C90
或
C30 
,
则
c8
或
c8sin304

故答案为

0,4



8


8
．在
ABC
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，给出下列结论：

①若
ABC
，则
sinAsinBsinC
；
< br>②若
sinAcosBcosC

，则
ABC
为等边三角 形；

abc
③必存在
A,B,C
，使
tanAtanBt anCtanAtanBtanC
成立；

o
④若
a40, b20,B25
，则
△ABC
必有两解．

其中，结论正确的编 号为
______________
（写出所有正确结论的编号）．

【答案】①④

【解析】

①在三角形中，
ABC
，得
a＞b＞c
．，由正弦定理

所以①正确．

②由正弦定理

abc
＝＝
，可知
sinAsinBsinC
，
sinAsinBsinC
abccosB sinB
＝＝＝
，由条件知，

，即
sinBcosCcosBsinC

，所以
sinAsin BsinCcosCsinC
sinBcosCcosBsinCsin（BC）0
，

解得
BC

．

所以
ABC
为等腰三角形，所以②错误．

③若
A,B,C
有一个为直角时不成立，

若
A,B,C
都不为直角


所以
tan

即

因为
AB
C，（AB）tan（

C）
tanAtanB

tanC，
1tanAtanB
则
tanAtanBtanCtanA tanBtanC
，所以
tanAtanBtanCtanAtanBtanC,

即③错误．

④因为
asinB＝40sin25＜40sin30＝40＝20

，即
asinB＜b＜a

，所以，
ABC
必有两解．所以④
正确．

故答案为：①④．

三
.
解答题

9
．已 知在
ABC
中，内角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，且满足
a2acosBc
.
（
Ⅰ
）求证：
B2A
；

（
Ⅰ
）若
ABC
为锐角三角形，且
c2
，求
a
的取值范围< br>.
【答案】（
Ⅰ
）见解析（
Ⅰ
）
(1,2)
.
【解析】

（
Ⅰ
）
a2acosBc
，由正弦定理知

00
1
2
sinA2sinAcosBsinC

s in

AB

sinAcosBcosAsinB
，

即
sinAcosAsinBsinAcosBsin

BA

.
因为
A,B

0,


，

所 以
BA



,


，且
A 

BA

B

0,


，所以
A

BA



，

所以
ABA
，
B2A
.
（
Ⅰ
）由（
Ⅰ
）知
A
B3B
.
，
C

AB


22
B

0

22



由
ABC< br>为锐角三角形得

0B
，

2

3B< br>

0



22

得

3
B

2
.

由
a2a cosB2
得
a
2


1,2

.
12cosB
10
．在
VABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且
2ccosB2ab
．

（
1
）求角
C
的大小；

（
2
） 若函数
f(x)2sin

2x



C
mcos2x(mR)
x
图象的一条对称轴方程为且

6

2



6
f


，求

2

5
cos(2

C)
的值 ．

【答案】（
1
）
C
【解析】

（< br>1
）由题意，根据正弦定理，可得
2sinCcosB2sinAsinB
，

又由
A



BC

，所以

sinAsin

BC

sinBcosCcosBsin C
，

可得
2sinCcosB2sinBcosC2cosBsinC sinB
，即
2sinBcosCsinB0
，

又因为B

0,


，则
sinB0
，

可得
cosC
2

7
（2

C） 

（
2
）
cos
325
12π
，∵C

0,


，∴
C
．

23
（
2
）由（
1
）可得
f

x

2sin

2x1

mcos2x2sin2xcos 2cos2xsinmcos2x

3sin2x

m1

cos2x
，
所以函数
f

x

的图象的一条对称轴方程为
x∴
f

0

f

π
，
< br>3
4π4π

2π

m13sinm1cos
，得，即
m2
，



3
33
 


π


，

6

∴
f

x

3sin2xcos2x2sin
2x
又
f

π

6π

3


α

sinα
2sinα
，∴


，


6
265

5
 


2π

π

π

π< br>
7

2

cos2α-cos2α2sin α1
．


3

36625

∴
cos

2αC

cos
< br>2α
【提升练习】
1
．在
ABC
中，内角
A, B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
ABC
的面积
S
1
sinAsinBsinC
，则
ABC
2

外接圆半径的大小是（ ）

A
．
1
4
B
．
1
2
C
．
1 D
．
2
【答案】
B
【解析】

△
ABC
中，面积为
S=sinAsinBsinC
，

即
absinC=sinAsinBsinC
，

∴
ab=sinAsinB
；

∴
=
；

由正弦定理得
=
，

∴
=
；

设
=t
，则
t
＞
0
，

∴
t=
，解得
t=1
；

设△
ABC外接圆半径为
R
，则
2R=1
，解得
R=
．

故选
B
．

2
．在
ABC
中，
sinB
sinC

3
2
，
BAC60
，< br>D
是
BC
的中点
.
若
u
AE
uur


u
EC
uur
，且
ADBE
，则实 数


（
A
．
7
5
B
．
7
12
C
．
4
3
D
．
4
7

【答案】
A
【解析】
Q
sinB
sinC

3b33
2
,
c,bc
，

D
是
BC
的中点，
u
AD
u
2
ur
2

1
(
u
AB< br>uur

u
AC
uur
)
，
Q
u< br>AE
uur


u
EC
uur
,
u
AE
uur
2



uuur
u
BE
uur

u
AE
uur

u
Au
B
ur
1

AC
，



uuuruuur
1

ACAB
，

QAD BE,
u
AD
uur

u
BE
uur
，


）

uuuruuur
1
uuruuuurruuur

uuu
ADBE(ACAB)(ACAB )

21

r
2
uuuruuuruuur
2< br>1

uuu

[AC(1)ABACAB]0

21

1

b
2
(1)bccos60 c
2
0
，

1

1


77
,


.
整理得
1

125

故选
:A.
3< br>．
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，< br>c
，已知
VABC
的内角
A
，
满足
bcos AacosB2ccosB,
b23
，则
VABC
外接圆的面积为________.
【答案】
4

.
【解析】

因为
bcosAacosB2ccosB,

由正弦定理
abc

可得：
sinBcosAsinAcosB2sinCcosB,

sinAsinBsinC

即
sin(AB)2sinCcosB,

即

sinC2sinCcosB,

又
sinC0
，

即
cosB
1
，

2
又
B

0,


，

所以
sinB
3
，

2
设
VABC
外接圆的半径为
R
，

则
2R
b23
4

，

sinB
3
2
即
R2
，

则
V ABC
外接圆的面积为

R
2


2
2
4

，

故答案为：
4

.