银行从业考试真题-公益策划书

行成于思，学止于行------Teacher Wang！
专题：2019高考数学（文科）17题汇编
1（2007-课标卷）、如图，测量河对岸的 塔高
AB
时，可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个测点
C
与
D
．现测得
BCD

，BDC

，CD s
，并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为

，求塔高< br>AB
．

【解析】在
△BCD
中，
CBDπ



．由正弦定理得
所以
BC
BCCD
．

sinBDCsinCBD
CDsinBDCs·sin
< br>
．
sinCBDsin(



)
s ·tan

sin

在
Rt△ABC
中，
ABB CtanACB
．
sin(



)


2（2008-课标卷）、如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠A CB=90°，BD交AC于E，AB=2。
（1）求cos∠CBE的值； （2）求AE。
000
D
【解析】(1)因为
BCD906015 0,CBACCD

0
所以
CBE15
，
cos CBEcos4530

00


62

4
E
C
(2)在
ABE
中，
AB2
，故由正弦 定理得
2sin30
AE2
,故
AE

0
0 000
cos15
sin

4515

sin

9015

0
2
1
2
62
4
62

AB
3（2009-课标卷）、如图，为了解某海域海底构造，在海平面 内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知
AB50m
，
BC120m
，于A处测得水深
AD80m
，于B处测得水深
BE200m
，于C处 测得水深
CF110m
，求∠DEF的
余弦值。 【解析】作
DMAC
交BE于N，交CF于M．
DFMF
2
D M
2
30
2
170
2
10198
，
DEDN
2
EN
2
50
2
120
2
130
，
EF(BEFC)
2
BC
2
90< br>2
120
2
150
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

.s.5.u.c.o.m ，
在
DEF
中，由余弦定理， < br>DE
2
EF
2
DF
2
130
2
150
2
10
2
29816
cosDEF
.
2DEEF213015065

22
3（2009-全国卷I）、在
ABC
中，内角A、B、C的对边长分别为
a
、
b
、c
，已知
ac2b
，且
求b
sinAcosC3cosAsCin
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
a
2
b
2
c
2
b
2
c
2
a
2
3c,
解法一：在
ABC
中
sinA cosC3cosAsinC,
则由正弦定理及余弦定理有:
a
2ab2bc
222
222
化简并整理得：
2(ac)b
.又由已知
ac 2b4bb
.解得
b4或b0(舍）
.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解法二:由余弦定理得:
acb2bccosA
.又
ac2b
,
b0
。
所以
b2ccosA2
…………………………………①
又
si nAcosC3cosAsinC
，
sinAcosCcosAsinC4cosAs inC

sin(AC)4cosAsinC
，即
sinB4cosAsinC

由正弦定理得
sinB
22222
b
sinC
，故
b4ccosA
………………………②
c
3
2
，
b ac
，
2
由①，②解得
b4
。
3（2009-全国卷I I）、设
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对 边长分别为
a
、
b
、
c
，
cos(AC)co sB
求
B
。
【解析】
念终史典，其必由学！-！
1

行成于思，学止于行------Teacher Wang！
2

13
时，由
cosBcos(AC)
，进而得
cos( AC)cos(AC)21
，矛盾，应舍去。
322
2
2
也可利用若
bac
则
ba或bc
从而舍去
B
。
3
当
B
4（2010-课标卷）、设等差数列
a
n

满足
a
3
5
，
a
1 0
9
。
（Ⅰ）求

a
n

的通项公式； （Ⅱ）求

a
n

的前
n
项和
S
n
及使得
S
n
最大的序号
n
的值。
【解析】（1）由a
m
= a
1
+（n-1）d及a
1
=5，a
w
=-9得
(2)由(1) 知S
m
=na
1
+

{
a
1
2d5
a
1
9d9
，解得
{
d 2
，数列{a}的通项公式为a=11-2n。
mn
a1
9
n(n1)
。
d=10n-n
2
因为S
m
=-(n-5)
2
+25. 所以n=5时，S
m
取得最大值。
2
4（2010- 全国I卷）、（17）记等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，设
S
3
12
，且
2a1
,a
2
,a
3
1
成等比数列，求
S
n
.
【解析】
由
a
m
=a
1
+（n- 1）d及a
1
=5，
a
w
=9得





a
1
+2d=5
a
1
+9d=-9
解得 a
1
=9
d=-2
数列{a
m
}的通项 公式为a
n
=11-2n。因为Sm=(n-5)
2
+25. 所以n=5时, Sm取得最大值。

（18）已知
VABC
的内角A
，
B
及其对边
a
，
b
满足
ab acotAbcotB
，求内角
C
．
【解析】由a+b=acotA+bcotB及正弦定理得 sinA+sinB=cosA+cosB，sinA-cosA=cosB-sinB
从而
又0＜A+B＜π，故，，所以
，
。

4（2010 -全国II卷）、（17）△ABC中，D为边BC上的一点，BD=33,
sinB
53< br> ,
cosADC
.求AD.
135
3

124
,sinADC
， 【解析】 由
cosADC0知B
由已知得
cosB
52135
从而
sinBADsin(ADCB)

=sinADCcosBcosADCsinB



4123533



.
51351365
由正弦定理得
ADBDBDsinB

, 所以
AD

=sinBsinBADsinBAD
33
5
13
=25
.
33
65

念终史典，其必由学！-！
2

行成于思，学止于行------Teacher Wang！
（18）已 知
{a
n
}
是各项均为正数的等比例数列，且
a
1
a
2
2(
11111
)
，
a
3
a
4
a
5
64()

a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
.
1
2
)
,求数列
{b
n
}
的前
n
项和
Tn
.

a
n
(Ⅰ) 求
{a
n
}
的通项公式； （Ⅱ）设
b
n
(a
n



11

aaq2

11

,
2
aaq

aq2，

11


1
n1
a q
1
【解析】（Ⅰ）设公比为q，则
a
n

.由已知有
化简得

26


aq
2
aq< br>3
aq
4
64

1

1
1

.

a
1
q64.

2
11
34


1
aqaqaq

111


n1
又
a
1
0
，故
q2,a< br>1
1
，所以
a
n
2
。

1

11
2n1
a242
（Ⅱ ）由（Ⅰ）知
b
n


a
n


n
2n1
a
n

a
n
4

2< br>1
n
1

411

1
n1
4< br> 因此
T
n


14...4
< br>

1...
n1

2n2n

4
n
4
1n

2n1
。
4
41
1
1
3

4
4
1
5（2011-课标卷）、已知等比数列
{a}
中，，公比
q
。
3
1a
n
log
3
a
n
，求数列
bn
的通项。（I）
S
n
为
{a}
的前
n
项和，证明：
S
n

（II）设
b
n
log< br>3
a
1
log
3
a

2

2
，
n
1
【解析】（1）
6(2012-课标卷)、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c = 3asinC－ccosA
(1) 求A 若a=2，△ABC的面积为3，求b,c

【解析】（1）由正弦定理得：
aco sC3asinCbc0sinAcosC3sinAsinCsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCsin(aC)sinC

3sinAcosA1sin(A30

)
1
2

A30

30

A60

1
222
（2）
SbcsinA3bc4
，
abc2bccosAbc4
， 解得：
bc2
。
2
7（2013-I）、已知等差数列
{a
n
}
的前
n< br>项和
S
n
满足
S
3
0
，
S
5
5
。
1
}
的前
n
项和。 （Ⅰ）求
{a
n
}
的通项公式； （Ⅱ）求数列
{
a
2n1
a
2n1
念终史典，其必由学 ！-！
3

行成于思，学止于行------Teacher Wang！
aa

8（2013-II）、已知等差数列｛n｝的公差不为零，
a
1
=25，且
1
，
a
11
，
a
13成等比数列。
（Ⅰ）求｛
a
n｝的通项公式； （Ⅱ）求a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n-2.
【解析】(1)设{a}的公差为d.由题意，a
2
a
2
n 11
＝
1
a
13
，即(a
1
＋10d)＝a
1
(a
1
＋12d)，于是d(2a
1
＋25d)＝0.
又a
1
＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.故a
n
＝－2n＋27 .
(2)令S
n
＝a
1
＋a
4
＋a
7< br>＋…＋a
3n－2
.由(1)知a
3n－2
＝－6n＋31，故{a< br>3n－2
}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而S
2
n＝(a
1
＋a
3n－2
)＝·(－6n＋56)＝－3n＋28n. < br>9（2014-I）、已知

a
n

是递增的等差数列，a
2
，
a
4
是方程
x
2
5x6 0
的根。
（I）求

a
n

的通项公式； （II）求数列


a
n


2
n


的前
n
项和.
【解析】（1）方程
x
2< br>5x60
的两根为2,3，由题意得
a
2
2,a
4< br>3
.
d
1
a
31
设数列
{a
n
}
的公差为d，则
a
4
a
2
2d
，故
2
，从而
1
2
a
.所以
{a
n
}
的通项公式为
n

2
n1
.
{
a
n
a
n
n2
（2）设
2
n
}
的 前n项和为
S

n
，由（1）知
2
n
2
n 1
，则
S
34n1n2134n1n2
n

2
2

2
3

2
n

2
n1
S
，
2
n

2
3

2
4

2
n1

2
n2
.
1
S
311

1n2311n2n4
两式相减 得
2
n

2
2
(
2
3

2
4

2
n1
)
2
n2

4

4
(1
2
n1
)
2
n2< br>S
,所以
n
2
2
n1
.

10（2014-II）、 四边形
ABCD
的内角
A
与
C
互补，
AB1,BC3,CDDA2
.
（1）求
C
和
BD
；
（2）求四边形
ABCD
的面积.
【解析】
（I）由题设及余弦定理得
BD
2
BC
2
CD
2
2BCCDcosC

=13
12cosC
， ①

BD
2
AB
2
D2
A2ABcDoAs

A

54coCs
. ②
由① ，②得
cosC
1
2
，故
C60
0
，
BD7
。
（Ⅱ）四边形ABCD的面积
S
11
2
ABDAsinA
2
BCCDsinC


(
11
2
12
2
32)sin60
0


23
.
11（2015- I）、已知
a,b,c
分别是
ABC
内角
A,B,C
的对 边，
sin
2
B2sinAsinC
.
（I）若
ab
，求
cosB;
（II）若
B90
，且
a2,
求
ABC
的面积.


（II）由(1)知
b
2
=2ac
.因为B=
90°，


由勾股定理得

a
2+c
2
=b
2
.故
a
2
+c
2
=2ac
，

得
c=a=2
.所以
D
ABC
的面积为1.
念终史典，其必由学！-！
4

行成于思，学止于行------ Teacher Wang！
12（2015-II）、ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.
sinBDC1
；若∠BAC=60°,求∠B.

( II)
.
sinCBD2
ADBDADDC
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得
,.

sinBsinBADsinCsinCAD
sinB DC1
因为AD平分
BAC,DB2DC,
所以
.

sinCBD2
(I)求
（Ⅱ）因为
C 180
0


BACB

,BAC60
0
,
所以
sinCsin

BACB


31
cosBsinB.

22
由（Ⅰ）知
2sinBsinC,
所以
tanB
3
3
,
即
B30
0
。
13（2016-I）、已知

a1
n

是公差为3的等差数列，数列

b
n

满足
b
1
=1，b
2
=
3
，a
n
b
n1
b
n1
nb
n
.
（I）求

a
n

的通项公式； （II）求

b
n

的前n项和.
14（2016-II）、等差数列{a

n
}中,a
3
+ a
4
=4,a
5
+a
7
=6.
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)设b
n
=[an
],求数列{b
n
}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[ 0.9]=0,[2.6]=2.
解析 (Ⅰ)设数列{a
n
}的公差为d,由题意 有2a
1
+5d=4,a
1
+5d=3.解得a
1
=1,d =.所以{a
n
}的通项公式为a
n
=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b< br>n
=.当n=1,2,3时,1≤<2,b
n
=1;当n=4,5时,2≤<3 ,b
n
=2;当n=6,7,8时,3≤<4,b
n
=3;
当n= 9,10时,4≤<5,b
n
=4.所以数列{b
n
}的前10项和为1×3 +2×2+3×3+4×2=24.
15（2016-III）已知各项都为正数的数列
< br>a

满足
a
2
n
1
1
，
a
n
(2a
n1
1)a
n
2a
n10
.
（I）求
a
2
,a
3
；
（II）求

a
n

的通项公式.



16（2017-I）、记
S
n
为等比数列

a
n

的前
n
项和，已知
S
2
=2
，
S
3
=-6.
念终史典，其必由学！-！
5

行成于思，学止于行------Teacher Wang！
（
1
）求

a
n

的通项公式；

（
2
）求
S
n
，并判断
S
n+1
，
S
n
，
S
n+2
是否成等差数列
。


16（2017-II）、
已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的前n项和为T
n
，a
1< br>=-1，b
1
=1，
a
2
b
2
2
.
（1） 若
a
3
b
3
5
，求{b
n
}的通项公式；
（2）若
T
3
21
，求
S
3
.
【解析】（1）设错误！未找到引用源。的公差为d，错误！未找到引用源。的公比为q，则错误！未找到引用 源。,
错误！未找到引用源。.由错误！未找到引用源。得
d+q=3. ①
（1） 由错误！未找到引用源。得
错误！未找到引用源。 ②
联立① 和②解得错误！未找到引用源。（舍去），错误！未找到引用源。因此错误！未找到引用源。的通项公式错误！< br>未找到引用源。
（2） 由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。.解得错误！未找到引用源。
当错误！未找到引用源 。时，由①得错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。.当错误！未找到引用源。时，
由①得错 误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。.

16（2017-III）、设数列
a
n

满足
a
1
3a
2

（1）求

a
n

的通项公式；
(2n1)a
n
2n
.

a

（2）求数列

n

的前n项和.

2n1

【解析】（1）因为
a
13a
2
(2n1)a
n
2n
，所以
n2
时，
a
1
3a
2
(2n3)a
n
2(n1)

22
， 又
n1
时，
a
1
2
，适合上式， 所以
a
n

。
2n12n1
a
211

（2）由（1），得
n

，
2n1(2n1)(2n1)2n12n1
两式相减，得
( 2n1)a
n
2
，
a
n

所以
Sn

a
1
a
2

35

a
n
111
(1)()
2n1335
(
111 2n
.
)1
2n12n12n12n1
念终史典，其必由学 ！-！
6

行成于思，学止于行------Teacher Wang！
专题：2019高考数学（理科）17题汇编
1（2007-课标卷）、如图，测量河对岸的 塔高
AB
时，可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个测点
C
与
D
．现测得
BCD

，BDC

，CD s
，并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为

，求塔高< br>AB
．
【解析】在
△BCD
中，
CBDπ



．由正弦定理得
所以
BC
BCCD
． 
sinBDCsinCBD
CDsinBDCssin

< br>．在
Rt△ABC
中，
sinCBDsin(



)
stan

sin

．
sin(



)
ABBCtanACB
2（2008-课标卷）、 已知

a
n

是一个等差数列，且
a
2
 1
，
a
5
5
．
（Ⅰ）求

a
n

的通项
a
n
； （Ⅱ）求

a
n

前n项和S
n
的最大值． 
a
1
d1
【解析】（Ⅰ）设

a
n
的公差为
d
，由已知条件，

，解出
a
1< br>3
，
d2
．

a
1
4d5
所以
a
n
a
1
(n1)d2n5
．
（Ⅱ）
S
n
na
1

n(n1)
dn2
4n
4(n2)
2
．所以
n2
时，
S
n
取到最大值
4
．
2
3（2009-课标卷）、为了 测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面
内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据 (用字母表示,并
在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.
【解析】 ①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α
1
,β
1
;B点到M,N的俯 角α
2
,β
2
;A,B的距离d(如图所示).②第一步:
计算AM .由正弦定理
AM
dsin

2
;
sin(

1


2
)
dsin

2
; < br>sin(

2


1
)
AM
2AN
2
2AMANcos(

1


2
)
.
第二步:计算AN.由正弦定理
AN
第三步:计算MN.由 余弦定理
MN
2n1
4（2010-课标卷）、设数列

an

满足
a
1
2
，
a
n1
a
n
32

（Ⅰ)求数列

a
n

的通项公式： （Ⅱ）令
b
n
na
n
，求数列

b
n< br>
的前n项和
S
n
.
【解析】(1)由已知得，当
n
≥1时，
a
n
＋1
＝[(
a
n
＋1－
a
n
)＋(
a
n
－
a
n
－ 1
)＋…＋(
a
2
－
a
1
)]＋
a
1
＝3(2
2
n
－1
＋2
2
n
－3< br>＋…＋2)＋2＝2
2
n
－1
2(
n
＋1)－1，而
a
1
＝2，所以数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
＝2
2
n
－1
.
(2)由
bn
＝
na
n
＝
n
·2知

S
n
＝1·2＋2·2
3
＋3·2
5
＋…＋
n
·2
2
n
－1
2357
①
② 从而2·< br>S
n
＝1·2＋2·2＋3·2＋…＋
n
·2
①－②得(1－ 2)
S
n
＝2＋2＋2＋…＋2
2352
n
－1
2
n
＋1
－
n
·2
2
n
＋1
1
2
n
＋1
.即
S
n
＝[(3
n
－1)2＋2]．
9
7
念终史典，其必由学！-！

行成于思，学止于行------Teacher Wang！
2
5（2011-课标卷）、等比数列

a
n

的各项均为正数，且< br>2a
1
3a
2
1,a
3
9a
2
a
6
.

（Ⅰ)求数列

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n
log
3
a
1
log
3
a
2
......log
3
a
n
,
求数列
232
2
【解析】（Ⅰ）设数列{a
n
}的公比为q，由a
3
9a
2
a
6
得
a
3
 9a
4
所以
q

1


的前
n
项和.

b
n

1
。
9
11
由条件可知a>0,故
q
。由
2a
1
3a
2< br>1
得
2a
1
3a
2
q1
，所以
a
1

。
33
(12...n)
1
故数列{a
n
}的通项式为a
n
=
n
。（Ⅱ ）
b
n
log
3
a
1
log
3
a
2
...log
3
a
n

n(n1)

3
2
1211
2()
故
b
n
n(n1)nn1
1
111111112n
2n
...2((1)()...())
,所以数列
{}的前n项和为

.
b
b
1
b
2
b< br>n
223nn1n1
n1
n

6（2012-课标卷） 、已知
a,b,c
分别为
ABC
三个内角
A,B,C
的对 边，
acosC3asinCbc0

（1）求
A
（2）若
a2
，
ABC
的面积为
3
；求
b,c
。
【解析】 （1）由正弦定理得：
acosC3asinCbc0sinAcosC3sinAsin CsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCsin(aC)sinC

3sinAcosA1sin(A30

)
1
2

A30

30

A60

1
222
（2）
SbcsinA3bc4
,
abc

4
, 解得：
bc2
. 2bccosAbc
2
7（2013-I）、如图，在△ABC中，∠ABC＝90 °，AB=3 ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
1
(1)若PB=，求PA； (2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA
2
【解析】（Ⅰ）由已知得，∠PBC=< br>60
，∴∠PBA=30，在△PBA中，由余弦定理得
PA
=
3< br>o
o
2
11
7
23cos30
o
=，
42
4
∴PA=
7
；
2
（Ⅱ）设∠PBA=
，由已知得，PB=
sin

，在△PBA中，由正弦定理得，
化简得，
3cos

4sin

，∴
tan

=
3sin

，

oo
sin150sin(3 0

)
3
3
，∴
tanPBA
=.
4
4
8（2013-II）、△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
a=bcosC+csinB
。
（Ⅰ）求B； （Ⅱ）若
b=2
，求△ABC面积的最大值。


念终史典，其必由学！-！
8

行成于思，学止于行------ Teacher Wang！

9（2014-I）、已知数列{
a
n< br>}的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=1，
a
n
0
，
a
n
a
n1

S
n
1
，其中

为常数.
(Ⅰ)证明：
a
n2
a
n


； （Ⅱ）是否存在

，使得{
a
n
}为等差数列？并说明理由. 【解析】(Ⅰ)由题设
a
n
a
n1


S< br>n
1
，
a
n1
a
n2

< br>S
n1
1
，两式相减
a
n1

a< br>n2
a
n



a
n1
，由 于
a
n
0
，所以
a
n2
a
n



（Ⅱ）由题设
a
1
=1，
a
1
a
2


S
1
1
，可得
a
2


1
1
，由(Ⅰ)知
a< br>3


1
，假设{
a
n
}为等差数列，则
a
1
,a
2
,a
3
成等
差数列，∴
a
1
a
3
2a
2
，解得

4；证明

4
时，{
a
n
}为等差数列：由
a
n2
a
n
4
知数列奇数项构成的数列
n1
，∴
a
n
2n1
(n2m1)

2
n数列偶数项构成的数列

a
2m

是首项为3，公差为4的等差 数列
a
2m
4m1
，令
n2m,
则
m，∴
2
*
a
n
2n1
(n2m)
∴
a
n
2n1
（
nN
），
a
n1
a
n
2
，因此，存在存在

4
，使得{a
n
}为等差数列.

a
2m1

是 首项为1，公差为4的等差数列
a
2m1
4m3
，令
n2m 1,
则
m
10（2014-II）、已知数列

a
n< br>
满足
a
1
=1，
a
n1
3a
n
1
.
（Ⅰ）证明
a
n

1
是等比数 列，并求

a
n

的通项公式； （Ⅱ）证明：
1

1
…+
1

3
. < br>
2

a
1
a
2
a
n
2< br>1

1113
3

3(a
n
)
。又
a
1

，所以

a
n


是首项为，公比为3的
2

2222
2

13n
3
n
1
等比数列。
a
n

， 因此

a
n

的通项公式为
a
n

.
22
2
12
11
（Ⅱ）由（I）知

n
因为当
n1
时，
3
n
123
n1
，所以
n
。

a
n
31
3123
n1
3
...
于是
...1...
n1
(1
n
)
。所以 .

a
1
a
2
a
n
33232a
1
a
2
a
n
2
【解析】
（I）由
a
n1
3a
n
1
得
a
n1

11 （2015-I）、Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，错误！未找到引用源。
（Ⅰ）求{an}的通项公式： （Ⅱ）设错误！未找到引用源。 ,求数列错误！未找到引用源。}的前n项
和
22
【解析】（Ⅰ）由
an
2a
n
4S
n
3
，可知
a
n 1
2a
n1
4S
n1
3
．
可得a
n1
a
n
2

a
n1
a
n

4a
n1
，即
2

a
n 1
a
n

a
n1
a
n


a
n1
a
n

a
n1
a< br>n


2222
2
由于
a
n
0< br>，可得
a
n1
a
n
2
．又
a
1
2a
1
4a
1
3
，解得
a
11
（舍去），
a
1
3

所以

a
n

是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为
a
n
2n1
．
（Ⅱ）由
a
n
2n1
可知，
b
n

则
T
n
b
1
b
2


1 11

11





．设数列

b
n

的前
n
项和为
T
n
，
a
n
a
n1
(2n1)(2n3)2

2n 12n3

1

11

11

 b
n










2


35

57

1< br>
n

1
．





2n12n33(2n3)


12（2015-II）、∆A BC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD是∆ADC面积的2倍。
2
sinB
(Ⅰ)求
sinC
; (Ⅱ) 若
AD
=1，
DC
=
2
求
BD
和
AC
的长.
念终史典，其必由学！-！
9

行成于思，学止于行------Teacher Wang！
13（2016-I）、
ABC
的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知
2cosC(acosB+bcosA)c.

（I）求C； （II）若
c

7,ABC
的面积为
33
，求
ABC
的周长．
2
解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,2cos Csin(A+B)=sin C.
故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=,所以C=.
(Ⅱ)由已知,得absin C=
222
.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a+b-2abcos C=7.
.
22
故a+b=13,从而(a+b)=25.所以△ABC的周长为5+
如

0.9

=0，

lg99

=1
.
（I）求
b
1
，b
11
，b
101
；
（II）求数列

b
n

的前1 000项和.
14（2016-II）、
S
n
为等差数列

a
n

的前n项和，且
a
1
=1,
7
=28.记
bn
=

lga
n

，其中

x

表示不超过x的最大整数，
s
（Ⅰ）设
{a
n
}
的公差为
d
，据已知有
721d28
，解得
d1.

【解析】所以
{a
n
}
的通项公式为
a
n
n.

b
1
[lg1]0,b
11
[lg 11]1,b
101
[lg101]2.

1n10,

0,

1,10n100,

（Ⅱ）因为
b
n


所以数列
{b
n
}
的前
1000项和为
1902900311893.

2,100n1000 ,


n1000.

3,
15（2016-III）、 已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
1

a
n
，其中

0
．
（I）证明
{a
n
}
是等比数列，并求其通项公式；
（II）若
S
5

31
，求

．
32
解析 (Ⅰ)由题意得a
1
=S
1
=1+λa
1
,故λ≠1,a
1
=,a
1
≠0.由S
n
=1+ λa
n
,S
n+1
=1+λa
n+1
得a
n+1< br>=λa
n+1
-λa
n
,即a
n+1
(λ-1)=λ a
n
.
由a
1
≠0,λ≠0得a
n
≠0,所以(Ⅱ)由(Ⅰ)得S
n
=1-
=.因此{a
n
}是首项为,公比 为的等比数列,于是a
n
=
=,即=.解得λ=-1.
.
.由S
5
=得1-
a
2
16（2017-I）、△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.

念终史典，其必由学！-！
10

行成于思，学止于行------ Teacher Wang！

16（2017-II）、
【解析】（1）由题设 及
ABC

得sinB8sin
2


2
，故
sinB（

41-cosB）
上式两边平方，整理得
17cos
2
B-32cosB+15=0
，解得
cosB=1（ 舍去），cosB=
（2）由
cosB=
158
得sinB
，故< br>S
ABC
1717
15
.
17
1417
acsinBac
又
S
ABC
=2，则ac

21 72
b
2
a
2
c
2
2accosB
2
（a+c）2ac(1cosB)
由余弦定理及
ac6
得
1715
362(1)
217
4
所以b=2.
16 （2017-III）、
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
sin A3cosA0
，
a27
，
b2
．

（
1
）求
c
；

（
2
）设
D
为
BC
边上一点，且
ADAC
，求
△ABD
的面积．

π

【解析】（
1
）由
sinA3 cosA0
得
2sin

A

0
，

3

π
即
Ak
π

kZ

，又
A

0,π

，

3
π
2π
.
∴
A
π
，得
A 
33
1
2
由余弦定理
a
2
b
2
c
2
2bccosA
.
又∵
a27,b2,cosA 
代入并整理得

c1

25
，故
c4.
2
（
2
）∵
AC2,BC27,AB4
，

a
2
b
2
c
2
27
.
由余 弦定理
cosC
2ab7
∵
ACAD
，即
△ACD< br>为直角三角形，

则
ACCDcosC
，得
CD7
.
由勾股定理
AD
又
A
CDAC3
.
22
S
△ABD

2π2πππ

，

，则
DAB
3326
1π
ADABsin3
.
26
念终史典，其必由学！-！
11