中国地震局地震预测研究所-控辍保学工作总结

《解三角形》测试题
一、选择题：
1．(2014·沈阳二中期中)△ABC
的三个内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
a
sin
B
cos
C
＋
c
sin
B
·cos
A
＝< br>1
2
b
，且
a
>
b
，则∠
B
＝( )
A．
ππ2π5π
6
B．
3
C．
3
D．
6

[答案] A
[解析] 因为< br>a
sin
B
cos
C
＋
c
sin
B
cos
A
＝
1
2
b
，
所以sin
A
sin
B
cos
C
＋sin
C
sin
B
cos
A
＝
1
2
sin
B
，
即sin(
A
＋
C
)＝
15ππ
2
，
a< br>>
b
，所以
A
＋
C
＝
6
，
B
＝
6
，故选A．
2．(文)(2013·呼和浩特第一次统考)在△ABC
中，如果sin
A
＝3sin
C
，
B
＝ 30°，
角
B
所对的边长
b
＝2，则△
ABC
的面 积为( )
A．4 B．1 C．3 D．2
[答案] C
[解析] 据正弦定理将角化边得
a
＝3
c
，再由余弦定理得
c
2
＋(3
c
)
2
－23
c
2
cos30°＝4，解得
c
＝2，故
S
＝
1
△
AB C
2
×2×23×sin30°＝3.
3．(文)(2013·合肥二检)△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若
c
b
A
，则△
ABC
为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形
[答案] A
[解析] 依题意得
sin
C
sin
B
A
，sin
C
B
cos
A
，所以sin(
A
＋
B
)B
cos
A
，即
sin
B
cos
A
＋cos
B
sin
A
－sin
B
cos
A
<0，所以cos
B
sin
A
<0.又sin
A
>0，于 是有cos
B
<0，
B
为钝角，△
ABC
是钝角三角形，选 A．
4.(理)在△
ABC
中，角
A
、
B
、C
的对边长分别为
a
、
b
、
c
，已知
A
＝
π
3
，
a
＝3，
b
＝1，则
c
等于( )
A．1 B．2
C．3－1 D．3
[答案] B
[解析] 解法1：由正弦定理
ab
3
sin
A
＝
sin
B
得，＝
1
，
sin
πsi n
B

3
∴sin
B
＝
1
2
，故
B
＝30°或150°.
由
a
>
b
得
A
>
B
，∴
B
＝30°.
故
C
＝90°，由勾股定理得
c
＝2，选B．
解法2：由 余弦定理知，3＝
c
2
＋1－2
c
cos
π
3，
即
c
2
－
c
－2＝0，∴
c
＝2 或－1(舍去)．
5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形
ABC
的面积是< br>1
2
，
AB
＝1，
BC
＝2，则
AC
＝( )
A．5
C．2 D．1
[解析] 由题意知
S＝
1
△
ABC
2
AB
·
BC
·sin
B
，

即
1
2
＝
1
2×1×2sin
B
，解得sin
B
＝
2
2
.
∴
B
＝45°或
B
＝135°.
当
B
＝ 45°时，
AC
2
＝
AB
2
＋
BC
2－2
AB
·
BC
·cos
B
＝1
2
＋ (2)
2
－2×1×2×
2
2
＝
1.
此时
AC
2
＋
AB
2
＝
BC
2
，△
ABC
为直角三角形，不符合题意；
当
B
＝135°时，
AC2
＝
AB
2
＋
BC
2
－2
AB
·
BC
·cos
B
＝1
2
＋(2)
2
－ 2×1×2
×


2


－
2


＝5，解得
AC
＝5.符合题意．故选B.
[答案] B 6．△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对 边分别为
a
，
b
，
c
，已知
b
＝2，∠< br>B
＝
π
6
，∠
C
＝
π
4
， 则△
ABC
的面积为( )
A．23＋2 ＋1
C．23－2 －1
[解析] ∠
A
＝π－(∠
B
＋∠
C
)＝π －


π

6
＋
π

4


＝
7π
12
，
由正弦定理得
ab
sin
A
＝
sin
B
，
2sin
7π
则
a
＝
b
sin
A
12
sin
B
＝＝6＋2，
sin
π
6
∴
S
112
△
ABC
＝
2
ab
sin
C< br>＝
2
×2×(6＋2)×
2
＝3＋1.
答案：B
7．在三角形
ABC
中，角
A
，
B
，
C
的 对边分别是
a
，
b
，
c
，且
a
＞
b
＞
c
，
a
2
＜
b
2
＋
c
2
，则角
A
的取值范围是( )


[解析] 因为
a
2
＜
b
2
＋
c
2
，所以cos
A
＝
b
2
＋
c
2
－
a
2
2
bc
＞0，所以∠
A
为锐角，又因为a
＞
b
＞
c
，所以∠
A
为最大角，所以角A
的取值范围是


π
，
π


32

.
[答案] C
8．(文)(2013·东北三省 四市二联)若满足条件
AB
＝3，
C
＝
π
3
的三角 形
ABC
有两个，则边长
BC
的取值范围是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．(3，2) D．(2，2)
[答案] C
[解析] 解法一：若满足条件的三角形有两个，则
3
2
＝sin
C
A
<1，又因为
BCAB
sin
A
＝
sin
C
＝2，故
BC
＝2sin
A
，
所以3<
BC
<2，故选C．
解法二：由条件知，
BC
s in
π
3
<3<
BC
，∴3<
BC
<2.
9．(2014·长春市调研)△
ABC
各角的对应边分别为
a
，
b
，
c
，满足
b
a
＋
c
＋
ca
＋
b
≥1，
则角
A
的取值范围是( )
A．(0，
π
3
] B．(0，
π
6
] C．[
π
3
，π) D．[
π
6
，π)

[答案] A
[解析] 由
b
a
＋
c＋
c
a
＋
b
≥1得：
b
(
a
＋
b
)＋
c
(
a
＋
c
)≥(
a< br>＋
c
)(
a
＋
b
)，化简得：
b
2
＋
c
2
－
a
2
≥
bc
，同除以 2
bc
得，
b
2
＋
c
2
－
a2
11
2
bc
≥
2
，即cos
A
≥< br>2
，因为0<
A
<π，所以
0<
A
≤
π
3
，故选A．
10．在△
ABC
中，角
A< br>，
B
，
C
所对的边长分别为
a
，
b
，
c
，且满足
c
sin
A
＝3
a
cos< br>C
，
则sin
A
＋sin
B
的最大值是( )
A．1
D．3
[解析] 由
c
sin
A
＝3
a
cos
C
，
所以sin
C
sin
A
＝3sin
A
cos
C< br>，即sin
C
＝3cos
C
，
所以tan
C
＝3，
C
＝
π
3
，
A
＝
2π
3
－
B
，
所以sin
A
＋sin
B
＝si n


2π

3
－
B



＋sin
B

＝3sin


π
< br>
B
＋
6


，
∵0<
B
<
2π
3
，∴
ππ5πππ
6
<
B
＋< br>6
<
6
，∴当
B
＋
6
＝
2
，
即
B
＝
π
3
时，sin
A
＋sin< br>B
的最大值为3.故选C.
[答案] C
二、填空题
11．(文 )(2014·河南名校联考)若△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
所对的边
a
，
b
，
c
满
足(< br>a
＋
b
)
2
－
c
2
＝4，且
C
＝60°，则
ab
的值为________．
[答案]
4
3

[解析] ∵(
a
＋
b
)
2
－
c
2
＝4，∴
a
2
＋
b
2< br>－
c
2
＝4－2
ab
＝2
ab
cos60° ，∴
ab
＝
4
3
.
12．(文)在△
ABC中，
C
＝60°，
a
、
b
、
c
分别为
A
、
B
、
C
的对边，则
a
b
＋< br>c
＋
b
c
＋
a
________.
[答案] 1
[解析] ∵
C
＝60°，∴
a
2
＋
b
2
－
c
2
＝
ab
，
∴(< br>a
2
＋
ac
)＋(
b
2
＋
bc)＝(
b
＋
c
)(
a
＋
c
)， ∴
a
b
＋
c
＋
b
a
＋
c＝1.
13.(理)(2014·吉林九校联合体联考)在△
ABC
中，
C
＝60°，
AB
＝3，
AB
边上
4
3
，则
AC
＋
BC
＝________.
[答案] 11
[解析] 由条件
141
2
×3×
3
＝
2
AC
·
BC
·sin60°，
∴
AC
·
BC
＝
8
3
，
由余弦 定理知
AC
2
＋
BC
2
－3＝2
AC
·< br>BC
·cos60°，
∴
AC
2
＋
BC
2
＝3＋
AC
·
BC
，
∴(
AC
＋
BC
)
2
＝
AC
2
＋
BC
2
＋ 2
AC
·
BC
＝3＋3
AC
·
BC
＝11 ，∴
AC
＋
BC
＝11.
14．设△
ABC
的内 角
A
，
B
，
C
所对边的长分别为
a
，b
，
c
，若
b
＋
c
＝2
a,
3sin
A
5sin
B
，则角
C
＝__________.
[解析] ∵3sin
A
＝5sin
B
，
∴3
a
＝5
b
.①
＝
的高为
＝