我心中的春天-业务员职责

2017
年山东省高考数学试卷（理科）


< br>一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项 是符号题目要求的.

1．（5分）设函数y=
A∩B=（ ）

A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）

2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+
A．1或﹣1 B．或﹣ C．﹣ D．

的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则
i，z•=4，则a=（ ）

3．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2
＞b
2
，
下列命题为真命题的是（ ）

A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q

，则z=x+2y的最大值是（ ）

4．（5分）已知x，y满足约束条件
A．0 B．2 C．5 D．6

5 ．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）
的关系，从该班随机抽取 10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之
间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+， 已知x
i
=22.5，y
i
=160，
=4，该班某学生的脚长为2 4，据此估计其身高为（ ）

A．160 B．163 C．166 D．170

6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输
入的x值为9 ，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）

第1页（共26页）

A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0

7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）

A．a+＜＜log
2
（a+b）） B．＜log
2
（a+b）＜a+


C．a+＜log
2
（a+b）＜ D．log
2
（a+b））＜a +＜
8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次
抽取1 张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）

A． B． C． D．

9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角
形， 且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）

A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A

+m的图象10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）
2
的图象与y=
有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）

A．（0，1]∪[2



二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

第2页（共26页）

，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，
]∪[3，+∞）

）∪[2，+∞）
D．（0，

11．（5分）已知（1+3 x）
n
的展开式中含有x
2
的系数是54，则n= ．

12．（5分）已知， 是互相垂直的单位向量，若﹣ 与+λ的
夹角为60°，则实数λ的值是 ．

13．（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几
何体的体积为 ．


14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的 右支
与焦点为F的抛物线x
2
=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|B F|=4|OF|，则
该双曲线的渐近线方程为 ．

15．（5分）若函数 e
x
f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域
上单调 递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数
的序号为 ．

①f（x）=2
﹣
x
②f（x）=3
﹣
x
③f（x ）=x
3
④f（x）=x
2
+2．



三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣
知f（）=0．

）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已
（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数y =f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移
，]上的最小值．

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣
第3页（共26页）

17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其 内部）以
AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是
（Ⅰ）设P是
的中点．< br>
上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；

（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．


18． （12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的
影响，具体方法如下：将参 加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗
示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿 者接受心理暗示后的结果来
评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A
1
，A2
，A
3
，A
4
，A
5
，A
6
和4名女
志愿者B
1
，B
2
，B
3
，B
4
，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种
心理暗示．

（Ⅰ ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A
1
但不包含B
1
的概率．

（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望
EX．

19．（12分）已知{x
n
}是各项均为正数的等比数列，且x
1
+x
2
=3，x
3
﹣x
2
=2．

（Ⅰ）求数列{x
n
}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标 系xOy中，依次连接点P
1
（x
1
，1），P
2
（x2
，2）…P
n
+
1
（x
n
+
1，n+1）得到折线P
1
P
2
…P
n
+
1< br>，求由该折线与直线y=0，x=x
1
，x=x
n
+
1
所围成
的区域的面积T
n
．


20．（13分）已知函 数f（x）=x
2
+2cosx，g（x）=e
x
（cosx﹣sinx+2 x﹣2），其中e
≈2.71828…是自然对数的底数．

第4页（共26页）

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极
值，有极值时求出极值．

21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
率为，焦距为2．

=1（a＞b＞0）的离心
（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，动直线l ：y=k
1
x﹣
直线OC的斜率为k
2
，且k
1
k
2
=
交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，
，M是线段OC延长线上 一点，且|MC|：|AB|=2：
3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分 别为S，T，求∠SOT
的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．




第5页（共26页）

2017年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个
选项 中，只有一项是符号题目要求的.

1．（5分）设函数y=
A∩B=（ ）

A．（1，2） B．（1，2] C．（﹣2，1） D．[﹣2，1）

【分析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A和B，即可求得A∩
B．

【解答】解：由4﹣x
2
≥0，解得：﹣2≤x≤2，则函数y=
2]，
由对数函数的定义域可知：1﹣x＞0，解得：x＜1，则函数y=ln（1﹣x）的定义
域（﹣∞，1），

则A∩B=[﹣2，1），

故选：D．

【点评】本题考查函数定义的求法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．



2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+
A．1或﹣1 B．或﹣ C．﹣ D．

的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则
的定义域[ ﹣2，
i，z•=4，则a=（ ）

【分析】求得z的共轭复数，根据复数的运算，即可求得a的值．

【解答】解：由z =a+
由z•=（a+i）（a﹣
i，则z的共轭复数=a﹣i，

i）=a
2
+3=4，则a
2
=1，解得：a=±1，

∴a的值为1或﹣1，

故选：A．

【点评】本题考查共轭复数的求法，复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础
题．



第6页（共26页）

3．（5分 ）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a
2
＞b
2< br>，
下列命题为真命题的是（ ）

A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q

【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是 假
命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．

【解答】解：命题p：∀x＞0 ，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假
命题；

取a=﹣1，b=﹣ 2，a＞b，但a
2
＜b
2
，则命题q是假命题，则￢q是真命题．

∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．

故选：B．

【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．



4．（5分）已知x，y满足约束条件
A．0 B．2 C．5 D．6

，则z=x+2y的最大值是（ ）

【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是

由解得的点A的坐标，

代入目标函数求出最大值．

【解答】解：画出约束条件

表示的平面区域，如图所示；

由解得A（﹣3，4），

此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，

所以目标函数z=x+2y的最大值为

z
max
=﹣3+2×4=5．

故选：C．

第7页（共26页）

【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．



5．（ 5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）
的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之
间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知 x
i
=22.5，y
i
=160，
=4，该班某学生的脚长为24， 据此估计其身高为（ ）

A．160 B．163 C．166 D．170
< br>【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求
得，将x=24代 入回归直线方程即可估计其身高．

【解答】解：由线性回归方程为=4x+，

则=x
i
=22.5，=y
i
=160，

则数据的样本中心点（22.5，160），

由回归直线方程样本中心点，则=﹣4x=160﹣4×22.5=70，

∴回归直线方程为=4x+70，

当x=24时，=4×24+70=166，

则估计其身高为166，

故选：C．

第8页（共26页）

【 点评】本题考查回归直线方程的求法及回归直线方程的应用，考查计算能力，
属于基础题．



6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输
入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（ ）


A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0

【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．

【解答】解：当输入的x值为7时，

第一次，不满足b
2
＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；

第二次，满足b
2
＞x，故输出a=1；

当输入的x值为9时，

第一次，不满足b
2
＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；

第二次，不满足b
2
＞x，满足x能被b整数，故输出a=0；

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题．



7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）

第9页（共26页）

A．a+＜＜log
2
（a+b）） B．＜log
2
（a+b）＜a+


C．a+＜log
2
（a+b）＜ D．log
2
（a+b））＜a +＜
【分析】a＞b＞0，且ab=1，可取a=2，b=．代入计算即可得出大小关系．

【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，

∴可取a=2，b=．

则
∴
=4，==，log
2
（a+b）==∈（1，2），

＜log
2
（a+b）＜a+．

故选：B．

【 点评】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计
算能力，属于中档题．


8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2 次，每次
抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（ ）

A． B． C． D．

【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计 算公
式，可得答案．

【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地 随机抽取2次，共
有=36种不同情况，

且这些情况是等可能发生的，
< br>抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有
故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=
故选：C．

【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，难度不大，属于基础
题．



第10页（共26页）

=20种，

=，

9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别 为a，b，c，若△ABC为锐角三角
形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+ cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）

A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A

【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通 过正弦定理推出
结果即可．

【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a ，b，c，满足sinB（1+2cosC）
=2sinAcosC+cosAsinC=sinAco sC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，

可得：2sinBcosC=si nAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，

由正弦定理可得：2b=a．

故选：A．

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力．



10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）
2
的图象与y=
有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（ ）

A．（0，1]∪[2
D．（0，
，+∞） B．（0，1]∪[3，+∞） C．（0，
]∪[3，+∞）

）∪[2，+∞）
+m的图象
【分析 】根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx﹣1）
2
为二次函数，
在区间 （0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0
＜m≤1时，有≥1，②、当m＞ 1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调
性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．

【解答】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx﹣1）
2
为二次函数，在区间（0，
）为减函数，（，+∞）为增函数，

函数y=+m为增函数，

分2种情况讨论：

①、当0＜m≤1时，有≥1，

在区间[0，1]上，y=（mx﹣1）
2
为减函数，且其值域为[（m﹣1）
2
，1]，

函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；

第11页（共26页）

②、当m＞1时，有＜1，

y=（mx﹣1）
2
在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，

函数y=+m为增函数，其值域为[m，1+m]，

若两个函数的图象有1个交点，则有（m﹣1）
2
≥1+m，

解可得m≤0或m≥3，

又由m为正数，则m≥3；

综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；

故选：B．
【点评】本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实
数m的分类讨论．< br>


二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分

11．（5分）已知（1+3x）
n
的展开式中含有x
2
的系数是54，则 n= 4 ．

【分析】利用通项公式即可得出．

【解答】解：（1+3x ）
n
的展开式中通项公式：T
r
+
1
=
∵含有x< br>2
的系数是54，∴r=2．

∴=54，可得=6，∴=6，n∈N
*
．

（3x）
r
=3
r
x
r
．

解得n=4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了二项式定理的 通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．



12．（5分）已知， 是互相垂直的单位向量，若
．

﹣ 与+λ的
夹角为60°，则实数λ的值是
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定 义，列出方程解方程即可求
出λ的值．

【解答】解：【方法一】由题意，设=（1，0），=（0，1），

第12页（共26页）

则
+λ
﹣=（，﹣1），

=（1，λ）；

又夹角为60°，

∴（
即﹣λ=
．

， 是互相垂直的单位向量，

•=0；

的夹角为60°，

+λ）=|
•
﹣|×|+λ
=
|×cos60°，

×
﹣）•（
，

+λ）=﹣λ=2××cos60°，
< br>解得λ=
【方法二】
∴|
又
∴（
即
|=|
﹣
﹣
|=1，且
与+λ
）•（
+（﹣1）
×，

﹣λ
化简得
即﹣λ=
﹣λ=×
，

×，

解得λ=．

．

故答案为：
【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．



13．（5分）由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几
何体的体积为 2+ ．

第13页（共26页）

【分析】由三视图可 知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，
高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公 式，即可求得几何体的体积．

【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体 积V
1
=2×1×1=2，

圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V
2
=×π×1
2
×1=
则该几何体的体积V=V
1
+2V
1
=2+
故答案为：2+．

，

，

【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，< br>考查计算能力，属于基础题．



14．（5分）在平面直角坐标系 xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支
与焦点为F的抛物线x
2
=2py（ p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则
该双曲线的渐近线方程为 y=±x ．

=1（a＞0，b＞0），可得：a
2
y
2
﹣【分析】 把x
2
=2py（p＞0）代入双曲线
2pb
2
y+a
2< br>b
2
=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．

【解答】解：把x
2
=2py（p＞0）代入双曲线
可得：a
2
y< br>2
﹣2pb
2
y+a
2
b
2
=0，

∴y
A
+y
B
=，

=1（a＞0，b＞0），

第14页（共26页）

∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y
A
+y
B
+2×=4×，

∴
∴=
=p，

．

x．

∴该双曲线的渐近线方程为：y=±
故答案为：y=±x．

【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的
根与系数的关系 ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．



15．（5分）若函数e
x
f（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域
上单调递 增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数
的序号为 ①④ ．
< br>①f（x）=2
﹣
x
②f（x）=3
﹣
x
③f（x） =x
3
④f（x）=x
2
+2．

【分析】把①②代入e< br>x
f（x），变形为指数函数判断；把③④代入e
x
f（x），求导
数 判断．

【解答】解：对于①，f（x）=2
﹣
x
，则g（x）=e
x
f（x）=
上的增函数；

对于②，f（x）=3
﹣x
，则g（x）=e
x
f（x）=
对于③，f（x）=x
3，则g（x）=e
x
f（x）=e
x
•x
3
，

g′（x）=e
x
•x
3
+3e
x
•x
2
=e
x
（x
3
+3x
2
）=e
x
•x
2
（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，

∴g（x）=e
x
f（x）在定义域R上先减后增；

对于④，f（ x）=x
2
+2，则g（x）=e
x
f（x）=e
x
（x< br>2
+2），

g′（x）=e
x
（x
2
+2 ）+2xe
x
=e
x
（x
2
+2x+2）＞0在实数集R上 恒成立，

∴g（x）=e
x
f（x）在定义域R上是增函数．

∴具有M性质的函数的序号为①④．

故答案为：①④．

【点评】 本题考查函数单调性的性质，训练了利用导数研究函数的单调性，是中
第15页（共26页）

为实数集
为实数集上的减函数；

档题．



三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣
知f（）=0．

）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已
（Ⅰ）求ω；

（Ⅱ）将函数y =f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移
，]上的最小值．

）=0
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（
求出ω的值；

（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣
]时g（ x）的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣
=sinωxc os
=
=
﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）

）+sin（ωx﹣）

，
sinωx﹣cosωx

sin（ωx﹣
）=
），

sin（ω﹣）=0，

又f（
∴ω﹣=kπ，k∈Z，

解得ω=6k+2，

又0＜ω＜3，

∴ω=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），

将函数y=f（x）的图象上各 点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到
第16页（共26页）

函数y=sin（x﹣）的图象；

个单位，得到y=
）；

∈[﹣，]，

sin（x+﹣）的图象，

再将得到的图象向左平移
∴函数y=g（x）=
当x∈[﹣
∴sin（x﹣
∴当x=﹣
，
sin（x﹣
]时 ，x﹣
）∈[﹣，1]，

×=﹣．

时，g（x）取得最小值是﹣
【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档
题．



17．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部 ）以
AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是
（Ⅰ）设P是
的中点．

上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；

（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．


【分析 】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结
合∠EBC=120° 求得∠CBP=30°；

（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形B EGH为菱形，取
AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为 所求二
面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．

法二、以B为坐标 原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直
角坐标系．求出A，E，G，C的坐 标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个
法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG ﹣C的大小．

【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP， AB∩AP=A，

第17页（共26页）

∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，

∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，

因此∠CBP=30°；

（Ⅱ）解法一、

取的中点H，连接EH，GH，CH，

∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，

∴AE=GE=AC=GC=．

取AG中点M，连接EM，CM，EC，

则EM⊥AG，CM⊥AG，

∴∠EMC为所求二面角的平面角．

又AM=1，∴EM=CM=
在△BEC中，由于∠EBC=120°，

由 余弦定理得：EC
2
=2
2
+2
2
﹣2×2×2×cos1 20°=12，

∴，因此△EMC为等边三角形，

．

故所求的角为60°．

解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线 为x，y，z轴建立空间
直角坐标系．

由题意得：A（0，0，3），E（2，0， 0），G（1，
故
设
由
设
由，可得
，得
，，
为平面AEG的一个法向量，

，取z
1
=2，得
为平面ACG的一个法向量，

，取z
2
=﹣2，得．

；

，3），C（﹣1，
．

，0），

∴cos＜＞=．

∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．

第18页（共26页）

【点评】 本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角
的求法及利用空间向量求二面角的 大小，是中档题．



18．（12分）在心理学研究中，常采用对比试验 的方法评价不同心理暗示对人的
影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种 心理暗
示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来
评价两种 心理暗示的作用，现有6名男志愿者A
1
，A
2
，A
3
，A
4
，A
5
，A
6
和4名女
志愿者B
1，B
2
，B
3
，B
4
，从中随机抽取5人接受甲种心理 暗示，另5人接受乙种
心理暗示．

（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1
但不包含B
1
的概率．

（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望
EX．

【分析】（1）利用组合数公式计算概率；

（2）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．

【解答 】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A
1
但不包含B
1
的事件为
M，

则P（M）==．

第19页（共26页）

（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，

∴P（X=0）==，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

P（X=4）=
∴X的分布列为

X

P

=．

0



1


+1×

2


+3×

3


=2．


4



X的数 学期望EX=0×+2×+4×
【点评】本题考查了组合数公式与概率计算，超几何分布的分布列与数学 期望，
属于中档题．



19．（12分）已知{x
n< br>}是各项均为正数的等比数列，且x
1
+x
2
=3，x
3﹣x
2
=2．

（Ⅰ）求数列{x
n
}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标 系xOy中，依次连接点P
1
（x
1
，1），P
2
（x2
，2）…P
n
+
1
（x
n
+
1，n+1）得到折线P
1
P
2
…P
n
+
1< br>，求由该折线与直线y=0，x=x
1
，x=x
n
+
1
所围成
的区域的面积T
n
．

第20页（共26页）

【分析】（I）列方程组求出首项和公比即可得出通项公式；

（II）从各点向x轴 作垂线，求出梯形的面积的通项公式，利用错位相减法求和
即可．

【解答】解：（I）设数列{x
n
}的公比为q，则q＞0，

由题意得，

两式相比得：
∴x
1
=1，

∴x
n
=2
n
﹣
1
．

，解得q=2或q=﹣（舍），

（II）过P
1
，P
2< br>，P
3
，…，P
n
向x轴作垂线，垂足为Q
1
，Q< br>2
，Q
3
，…，Q
n
，

记梯形P
n
P
n
+
1
Q
n
+
1
Q
n
的面积为b
n
，

则b
n
==（2n+1）×2
n
﹣
2
，

∴T
n
=3×2
﹣
1
+5×2
0
+7×2
1
+…+（2n+1）×2
n
﹣
2
，①

∴2T
n
=3×2
0
+5×2
1
+7×2
2
+…+（2n+1）×2
n
﹣
1
，②

①﹣②得：﹣T< br>n
=+（2+2
2
+…+2
n
﹣
1
）﹣（2 n+1）×2
n
﹣
1

=+
∴T
n
=﹣（2n+1）×2
n
﹣
1
=﹣+（1﹣2n）×2
n
﹣
1
．

．

【点评】本题考查了等比数列的性质，错位相减法求和，属于中档题．



20．（13分）已知函数f（x）=x
2
+2cosx，g（x）=e
x< br>（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e
≈2.71828…是自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；

（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极
第21页（共26页）

值，有极值时求出极值．

【分析】（I）f（π）=π< br>2
﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜
率，利用 点斜式即可得出切线方程．

（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e
x< br>（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x
2
+2cosx），可得h′
（x ）=2（x﹣sinx）（e
x
﹣a）=2（x﹣sinx）（e
x
﹣elna
）．令u（x）=x﹣sinx，则u′
（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（ x）在R上单调递增．

由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．

对a分 类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数
的单调性极值即可得出．

【解答】解：（I）f（π）=π
2
﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx ，∴f′（π）=2π．

∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（ π
2
﹣2）=2π（x﹣π）．

化为：2πx﹣y﹣π
2
﹣2=0．

（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e
x
（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x
2
+2cosx）

h′（x）=e
x
（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e
x
（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）

=2（x﹣s inx）（e
x
﹣a）=2（x﹣sinx）（e
x
﹣e
lna）．

令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在 R上单调递增．

∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．

（1）a ≤0时，e
x
﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单
调递增；

x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．

∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．

（2）a＞0时， 令h′（x）=2（x﹣sinx）（e
x
﹣e
lna
）=0．

解得x
1
=lna，x
2
=0．

①0＜a＜1时 ，x∈（﹣∞，lna）时，e
x
﹣e
lna
＜0，h′（x）＞0，函数h （x）单调
递增；

x∈（lna，0）时，e
x
﹣e
ln a
＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；

x∈（0，+∞）时，e
x
﹣e
lna
＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．

∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．

当x=lna时 ，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln
2
a﹣2lna+sin（lna）+ cos
第22页（共26页）

（lna）+2]．

②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．

③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e
x
﹣e
lna
＜ 0，h′（x）＞0，函数h（x）
单调递增；

x∈（0，lna）时，e
x
﹣e
lna
＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；

x ∈（lna，+∞）时，e
x
﹣e
lna
＞0，h′（x）＞0，函数h（x ）单调递增．

∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．

当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln
2
a﹣2ln a+sin（lna）+cos
（lna）+2]．

综上所述：a≤0时，函数h（ x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）
在（﹣∞，0）单调递减．

x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．

0＜a＜1时，函数 h（x）在x∈（﹣∞，lna），（0，+∞）是单调递增；函数h（x）
在x∈（lna，0）上单 调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a
﹣1．当x=lna时，函数h（x ）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln
2
a﹣2lna+sin（lna）
+co s（lna）+2]．

当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．

a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，
lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna
时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln
2
a﹣2lna+sin（lna） +cos（lna）+2]．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解 法、不等式的解
法、三角函数求值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．



21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
率为，焦距为2．

=1（a＞b＞0）的离心
（Ⅰ）求椭圆E的方程．

（Ⅱ）如图，动直线l ：y=k
1
x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，
第23页（共26页）

直线OC的斜率为k
2
，且k
1
k
2
=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：
3，⊙M的半径 为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT
的最大值，并求取得最大值 时直线l的斜率．


【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组 得a，b的值，则椭
圆方程可求；

（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数 的
关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半
径r，则 r=．由题意设知．得到直线OC
的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知 ，
sin=．转化为关于k
1
的函数，换元后利用配方法求得∠
SOT的最大 值为，取得最大值时直线l的斜率为．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a=，b=1．

∴椭圆E的方程为；

（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

联立，得．

第24页（共26页）

由题意得△=
，
＞0．

．

∴|AB|=
由题意可知圆M的半径r为

r=．

．

由题意设知，，∴．

因此直线OC的方程为．

联立，得．

因此，|OC|=
由题意可知，sin=
．

．

而=．

令t=
因此，
，则t＞1，∈（0，1），

=≥1．

当且仅当
∴

，即t=2时等式成立，此时
，因此．

第25页（共26页）
．

∴∠SOT的最大值为．

，取得最大值时直线l的斜率为．

综上所述：∠SOT的最大值为

【点评】本题考查直线与圆、圆与椭圆位置关系的应 用，训练了利用配方法求函
数的最值，考查计算能力，是压轴题．



第26页（共26页）