入党积极分子考察情况-工作规划

三角恒等式及三角不等式
cosAcosBcosC14sin
一、在 △
ABC
中有如下恒等式：
ABC
sinsin
222
；
cos2Acos2Bcos2C14cosAcosBc0sC
；
3A 3B3C
cos3Acos3Bcos3C14sinsinsin
222
；
cos4Acos4Bcos4C14cos2Acos2Bcos2C
；
猜想：
cosnAcosnBcosnC?

n

n AnBnC
cosnAcosnBcosnC14sinsinsinsin
2222
；（
n
为奇数）
n

nAnBnC
cosnA cosnBcosnC14coscoscoscos
2222
；（
n
为偶数）
cos
2
ABCABC

cos
2
cos
2
2

1sinsinsin

22222 2

；

ABCABC
sin
2
sin2
12sinsinsin
222222
；
ABC
sinAsinBsinC4sinsinsin
222
； < br>sin
2
sin
2
Asin
2
Bsin
2
C22cosAcosBcosC)
；
cos
2
Acos
2
Bcos
2
C12cosAcosBcosC

A BCABC
sin
2
sin
2
sin
2
1 2sinsinsin

222222
tanAtanBtanCtanAta nBtanC
；（可以推广到
ABCn

）
tannAta nnBtannCtannAtannBtannC
；
n
为正整数
AB BCCA
tantantantantantan1
222222
；
n AnBnBnCnCnA
tantantantantantan1
222222
；
n
为正整数
n

nAnBnC
sinnAsinn BsinnC4sincoscoscos
2222
；（
n
为奇数） < br>n

nAnBnC
sinnAsinnBsinnC4cossins insin
2222
；（
n
为偶数）
二、三角恒等式；
sin(xyz)sinxcosycoszcosxsinycoszcosxcosysinz sinxsinysinz
cos(xyz)cosxcosycoszcosxsinysi nzsinxcosysinzsinxsinycosz


sinAsinBcosC1cosAcosBcosC

sin3x3sinx4sin
3
x

cos3x4cos
3
x3cosx

tanx tanytanztanxtanytanz
1tanxtanytanytanztan ztanx

3tanxtan
3
x
tan3x
13 tan
2
x

1
sinxsin(60
0
x)s in(60
0
x)sin3x
4
；
1
cosxcos (60
0
x)cos(60
0
x)cos3x
4
；
tan(xyz)
tanxtan(60
0
x)tan(60
0
x)tan3x
；
三、在△
ABC
中有如下不等式： < br>（1）
sinAsinBsinC3sin
ABC33

3 2
；
3
33

sinAsinBsinC

sinAsinBsinC


38
；

（2）< br>ABCABC3
sinsinsin3sin
22232
； （3 ）
ABC

sinsinsin

ABC

222


1
sinsinsin

222
< br>38



（4）；
ABC3
cosAco sBcosC14sinsinsin
2222
； （5）
1
cosAcosBcosC

cosAcosBcosC

< br>38
；

（6）在锐角三角形
ABC
中，
AB C
tanAtanBtanC3tan33
ABC
3
（7）在锐角 三角形中，；
ABC
cotAcotBcotC3cot3
3
（8）； （9）
sinAsinBsinC
3
3
133
sinA(si n
2
Bsin
2
C)

28
133
s inA(cos
2
Bcos
2
C)

28

sinAcosBcosC
四、
Rrs

面积公式：
S
ABC

11abc
ahabsinC
224R
p(pa)(pb)(pc)pr

半角公式：
sin
A

2
(pb)(pc)A
，
cos
bc2
p(pa)

bc
ABCr
;
sinsin
222 4R
ABCr
cosA14sinsinsin1
R2r

222R
r
在直角三角形中，

cosA12
；
R
ABCabcs
(2)

sinA4coscosco s
；
2222RR
(1)
sin
s(sa)(sb)( sc)

abc

222

abbcca
，所以 (3)因为
s4Rrrs

ss

s2
4Rrr
2

sinAsinB
4R
2
，

abs
2
4Rrr
2
；
(4)sinAsinBsinC
2
abc4Rrsrs
，
abc4Rr s
；

332
8R8R2R
s
2
4R
2
r
2
(5)

cosAcosB
；
2
4R
s
2
(2Rr)
2
(6)
cosAcosBcosC
；
4R
2
(7)

sin
2
3
A2Rr


22R
(2Rr)< br>3
3rs
2
4R
3


cosA3
4R
3
s(s
2
6Rr3r
2
)
;

sinA
3
4R
s
2
4Rrr2
2rs
cotA
(8)

tanAtanAtanBtanC
2
;；
2
< br>2rs
s(2Rr)
s
2
4Rrr
2
(9)

tanAtanB
2
；
s(2Rr)
2
rs
2
ABCsinAsinBsinCs
(10)
coscoscos
；

2R

ABCr
22 2
8sinsinsin
4R
8
222R
4R4Rr3rs 16Rr5r
（11）
Gerretsen不等式：
2222

Walker
：
s
2
2R
2
8Rr3r
2

Bludon
:
s2R(334)rs
33R

2
另外：
16Rr5rs4R4Rr3r

2222（12）
FinslerHadwiger
不等式：
22

a 43S(ab)

（13）
GarfunkelBankoff不等式：t an
（14）1967年，Z．Mitrovic：
2
ABCABC
tan
2
tan
2
28sinsinsin

222222
cosA

(cosBcosC)1

2
2
iff0

2,BCarccos

2

(15)
Weitzenbock
不等式：
abc43S

222