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课堂导学
三点剖析
1.两角和与差的正弦公式应用初步
【例1】求值.
（1）sin
(2)sin

;
12
722

πcosπ-sin
sin
π.
1899
9



解：（1）sin=sin(-)
12
34


=sincos-cossin
3434
=
62
32
1
2
×-×=.
4
22
2
2
722


πcosπ- cos(
-)sin
π
1899
29
7272
=sin
πcosπ-cosπsinπ < br>189189
72

1
=sin(
π-π)=sin
=.
189
6
2
(2)原式=sin
温馨提示
解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角
和或差的正余弦公 式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.
2.两角和与差的正弦公式的综合应用
【例2】已知
125

3< br>＜β＜α＜

，cos（α-β）=，sin（α+β）=

，求si n2α的值.
133
24
思路分析：如果发现2α=（α-β）+（α+β）的关系 ，便可迅速获得该题的解答；否则，若采
用将cos（α-β）和sin（α+β）展开的做法，解答过 程不仅要用不少三角函数公式，而且大大
增加了运算量.

3
＜β＜α＜

，得
24

3
α-β∈（0，
），α+β∈（π，

）.
42
解：由
∴sin（α-β）=
1cos(



)1(
co s（α+β）=
1sin(



)

=1()
2
2
12
2
5
)
.
1313
3
5
2
4
.
5
故sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]
=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）

=
5125
456
×（

）+×（

）=-.
13133
565
温馨提示
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角 的三角函数值，解这类问题应认真分析已知
式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免 盲目地处理相关角的三角函数
式，以免造成解题时不必要的麻烦.
（2）要注意观察和分析问 题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关
角的三角函数值.
（3）许多 问题都给出了角的范围，解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，
从而恰当、准确地求出三 角函数值.
3.变形或逆用两角和与差的正弦公式
【例3】化简下列各三角函数式.
（1）
3
sinα-cosα;
(2)sin(x+60°)+2sin(x-60°)-3cos(120°-x).
思路分析：采取配系数的方法，构造和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化简.
解析：（1）
3
sinα- cosα=2(
3
1
sinα-
cosα)
2
2
=2(sinαcos
=2sin(α-

-cosαsin)
66

).
6
(2)解法1：原式=sinxcos60°+co sxsin60°+2sinxcos60°-2cosxsin60°-
3
cos120°c osx-
3
·sin120°
sinx
=（cos60°+2cos60 °-
3
sin120°）sinx+(sin60°-2sin60°-
3
c os120°)cosx
=(
333
111
+2×-
3
× )sinx+(-2×+
3
×)cosx=0;
222
222
解法 2：原式=sin(x+60°)+
3
cos(x+60°)+2sin(x-60°)
=2［
3
1
sin(x+60°)+ cos(x+60°)］+2sin(x-60°)
2
2
=2［cos60°·si n(x+60°)+sin60°·cos(x+60°)］+2sin(x-60°)
=2sin［60°+(x+60°)］+2sin(x-60°)
=2sin(x+120°)+2sin(x-60°)
=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)=0.
温馨提示
（2）中 解法1是顺用两角和差的正弦、余弦公式计算.解法2的关键在于构造能逆用两角和
差的正弦公式的式子 .观察到（x+

2
）和（

-x）互补是顺利解决问题的前提条件 ，这种
33

技巧在三角函数解题中经常用到.而这往往又是容易忽略的地方.
各个击破
类题演练1
求下列各式的值.
（1）sin75°；
（2）sin15°；
（3）sin13°cos17°+cos13°sin17°.
解：（1）sin75°=sin（45°+30°）
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=
62
232
1
·-·=；
4
222
2
（2）sin15°=sin（45°-30°）
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
=
62
232
1
·-·=；
4
222
2
（3）原式=sin（13°+17°）=sin30°=
变式提升1
已知cosφ=
1
.
2
3

，φ∈（0，），求sin（φ-）.
5
26
思路分析：先求出sinφ的值，再代入公式运算.
34

，φ∈（0，），∴sinφ=.
55
2



∴sin（φ-）=sinφcos- cosφsin
666
解：∵cosφ=
=
3
51
43 3
4
×.

×=
10
5
2
32
类题演练2
45< br>
，sin（α-β）=

，且α、β∈（0，），求sinβ的值.
53
2
4

解：∵cosα=，α∈（0，），
5
2
3

∴sinα=.又∵α，β∈（0，），
52
5


∴α-β∈（-，）∵sin（α-β）=

，
3
22
4
∴cos（α-β）=.∴sinβ=sin[α-（α-β）]
5
已知cosα=
=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=
34
4
524
×

×（

）=.
55
5
325

变式提升2
已知cos（α+β）=

15
，cos2α=-，α、β均为钝角，求sin（α-β）.
313
思路分析：将已知条件整体使用，并且发现α-β=2α-（α+β），因此要求sin（α-β）的值 ，关
键是求出sin（α+β）及sin2α.
解：∵α、β∈（90°，180°），∴α+β，2α∈（180°，360°）.
∵cos（α+β）=

15
＜0，cos2α=-＜0，
313
1
3
22
.
3
∴α+β，2α∈（180°，270°）.
∴sin（α+β）=
1 cos(



)1()
22
sin2α=
1cos2

1(
2
5
2
12
)
.
1313
∴sin（α-β）=sin[2α-（α+β）]
=sin2αcos（α+β）-cos2αsin（α+β）
=（-
22
1215
）（

）-（-）（

）
3
13313
=
12102
.
39
类题演练3
求值：［2sin50°+sin10°(1+
3
tan10°)］·
2si n
2
80
.
解析：原式=（2sin50°+sin10°·
c os103sin10
）·
2
sin80°
cos10
1 3
cos10sin10
2
=(2sin50°+2sin10°·
2
)·
2
cos10°=2
cos10
（60°-10°）］=22
sin（50°+10°）=
22
sin60°=
22
×< br>变式提升3
（1）若sin（α+β）=
思路分析：
欲求
2
［sin50°cos10°+sin10°cos
3
6
.
2
tan

11
,sin(α-β)=
,则=_______________ __.
tan

210
tan

tan

sin

cos


切化弦

=,从而转化 为由条件求出sinαcosβ、cosαsinβ.
tan

tan
< br>cos

sin


1

sin(


),


2
解析：由


sin(



)
1
,

10

1

sin

cos

cos

sin

,


2
得

1

sin

cos

cos

sin

.

10

解得，sinα cosβ=
31
,cosαsinβ=
.
105
则有
ta n

sin

cos

33
==×5=.
tan

cos

sin

102
（2） 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且lgsinA-lgsinB- lgsinC=lg2.试判断此三角形的
形状.
解析：由lgsinA-lgsinB- lgcosC=lg2可得，
lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC=lg2sinBcosC，
即sinA=2sinBcosC.
∵A=π-(B+C),
∴sin［π-(B+C)］=2sinBcosC,
即sin（B+C）=2sinBcosC，
sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
移项：sinBcosC- cosBsinC=0，
即sin（B-C）=0.
∴B=C.
∴△ABC为等腰三角形.