小学生安全小报-阜阳红旗中学

历届高考中的“解三角形”试题精选（自我测试）
一、选择题：（每小题5分，计40分）
1．（2008北京文）已知△ABC中，a=2
,b=
3
,B=60°,那么角A等于（ ）
（A）135° (B)90° (C)45° (D)30°
2.（2007重庆理）在
ABC
中，
AB3,A45
0
,C75
0
,
则BC =（ ）
A.
33
B.
2
C.2 D.
33

3.(2006山东文、理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c,A=
（A）1 （B）2 （C）
3
—1 （D）
3

4．(2008福建文)在中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c, 若
acb3ac
，则角B的值
为（ ）
Ａ．
222

,a=
3
,b=1，则c=( )
3


6
Ｂ．

5

Ｃ．或
6
36
Ｄ．

2

或
3
3
abc
，则△
ABC
是（ ）

cosAcosBcosC
（A）直角三角形. （B）等边三角形. （C）钝角三角形. （D）等腰直角三角形.
6.（2006全国Ⅰ卷文、理）
AB C
的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等
比数列，且
c2a
，则
cosB
（ ）
5．（2005春招上海）在△
ABC
中，若
22
13
B． C． D．
43
44
7．（2005北京春招文、理）在
ABC
中，已知
2sinAcosBsinC
，那么
ABC
一定是（ ）
A．
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形
8．（2004全国Ⅳ卷文、理）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对 边.如果a、b、
c
成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为
A．
13
B．
13
C．
2
2
2
3
，那么b=（ ）
2
3
D．
23

。
二.填空题: （每小题5分，计30分）
9.（2007重庆文）在△ABC中，AB=1, BC=2, B=60°，则AC＝
10. (2008湖北文)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C 所对的边，已知
a3,b3,c30,

则A＝ . < br>11.（2006北京理）在
ABC
中，若
sinA:sinB:sinC 5:7:8
，则
B
的大小是___ __.
12.（2007北京文、理) 在
△ABC
中，若
tanA
1< br>o
，
C150
，
BC1
，则
AB
__ ______．
3
13．(2008湖北理)在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分 别为a=3,b=4,c=6,则bc cosA+ca
cosB+ab cosC的值为 .
14．（2005上海理）在
ABC
中，若
A120
，则
ABC
的面积S=_______
AB5
，
BC7
，
三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，计80分）
o
53
，
cosB
．
135
（Ⅰ）求
sinC
的值； （Ⅱ）设
BC5
，求
△ABC
的面积．
tanC37
． 16.（2007山东文）在
△ABC
中，角
A ，B，C
的对边分别为
a，b，c，
5
（1）求
cosC
； （2）若
CB•CA
，且
ab9
，求
c
．
2
15．(2008全国Ⅱ卷文) 在
△ABC
中，
cosA< /p>

17、(2008海南、宁夏文)如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角 形，∠ACB=90°，
BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。
25
18.（2006全国Ⅱ卷文）在
ABC中，B45,AC10,co sC
,求
5
（1）
BC?
(2)若点
D是AB的中点，求中线CD的长度。

D
C
E
19.（2007全国Ⅰ理）设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, a=2bsinA
(Ⅰ)求B的大小; (Ⅱ)求
cosAsinC
的取值范围.
A
20.（2003全国文、理 ，广东）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于
城市O（如图）的东偏南

(cos


2
)
方向300km的海面P处，并以20 kmh的速度向西偏北
10
台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10kmh 的速度不断增大，
45
方向移动，
问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
y
历届高考中的“解三角形”试题
B
北
东
精选（自我测试）
参考答案
一、选择题：（每小题5分，计40分）
二.填空题: （每小题5分，计30分）
9.
3
； 10. 30° ； .11. __ 60 _. 12.
13．
O
O
海
岸
线

x
10
；
2
Q
r(t
P
153
61
； 14．
4
2
三.解答题: （15、16小题每题12分，其余各题每题14分，
计80分）
15．解：（Ⅰ）由
cosA
得
sinB
5123
，得
sinA
，由
cosB
，
13135
4
．
5
16
．
65
所以
sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB4
BCsinB
5

13
． （Ⅱ）由正弦定理得
A C
12
sinA3
13
1113168
所以
△ABC< br>的面积
SBCACsinC5
．
223653
sinC
37
16.解：（1）
QtanC37，
cosC
1
22
又
QsinCcosC1
解得
cosC
．
8
1

QtanC0
，
C
是锐角．
cosC
．
8
51
5
（2）∵
CB•CA
，即abcosC= ，又cosC=
ab20
．
28
2
a
2
2abb
2
81
．
a
2
b
2
41
． 又
Qab9

5

c
2
a
2
b
2
2abcosC36
．
c6
． < br>oooo
17．解：（Ⅰ）因为
∠BCD9060150
，
CB ACCD
，所以
∠CBE15
．
62
oo
所以
cos∠CBEcos(4530)
．
4
D
（Ⅱ）在
△ABE
中，
AB2
，

由正弦定理
AE2
．

oooo
sin(4515)s in(9015)
C
2sin30
o
故
AE
cos15
o

18
．解：（
1
）由
cosC
2
1
2
E
62

AB
62
4
255

得sinC
55
AC10310
BCsinA32
< br>由正弦定理知
sinB10
2
2
AC105
ABsinC 2
1
（
2
），

BDAB1

sinB
2
5
2
2
2
13

2
1
19.解：（Ⅰ）由
a2bsinA
，根据正弦定理得
sinA 2sinBsinA
，所以
sinB
，
2
π
由
△ABC
为锐角三角形得
B
．
6




（Ⅱ）
cosAsinCcosAs in

A

cosAsin

A
< br>


6

13


co sAcosAsinA
3sin

A

．
22< br>3



由
△ABC
为锐角三角形知，
0A
，
A

．
226

2

5

解得
A
所以，
A
32336
1



33

3
所以
sin

A


．由此有
3sin< br>
A

3
，
2

3
2232

由余弦定理知
CDBD
2
BC
22BDBCcosB1182132

33

所以，< br>cosAsinC
的取值范围为


2
，
．
2

20.解：设在t时刻台风中心位于点Q，此时|OP|=300，< br>|PQ|=20t，
台风侵袭范围的圆形区域半径为r(t)=10t+60，
由
cos


O
海
岸
线
y
北
东

x
272
2
，可知
sin

1cos


，
1010
ooo
cos∠OPQ=cos(θ-45)= cosθcos45+ sinθsin45
Q
r(t
P

=
227224


1021025
2
在 △OPQ中，由余弦定理，得
=
300(20t)230020t
2
2
4

5
=
400t9600t90000

若城市O受到台风的侵袭，则有|OQ|≤r(t)，即
400t
2
9600t90000(10t60)
2
，
整理，得
t36t2880
，解得12≤t≤24,
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
1．正弦定理：
2
abc
2R
外

sinAsinB sinC
222
b
2
c
2
a
2
2．余弦定理：a=b+c-2bccosA,
cosA
；
2bc
3 .射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA
4.（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,
ABAB
CC
=sin, sin=cos
2222
111
（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB
222
cos
5．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：
bsinA6．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
A
C
b
a
H
c
B
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
7．熟练掌握实际问 题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标
出已知量、未知量，确定解三角形的 方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力