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第一章 解三角形
正弦定理：
1.正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，
abc
2R
sin AsinBsinC
即 （其中R是三角形外接圆的半径）
abcabc
 
2.变形：1）
sinsinsinCsinsinsinC
．
2）化边为角：
a:b:csinA:sinB:sinC
；
asinAbsinBasinA
;;;

bsinB

csinC

csinC

3）化边为角：
a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC

sinA asinBbsinAa
;;;
sinBbsinCcsinCc
4）化角为边：
sinA
5）化角为边：
二.三角形面积
abc
,sinB,sinC
2R2R2R

1.
S< br>ABC

111
absinCbcsinAacsinB
222

三.余弦定理
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦
的积的2倍，即

abc2bccosA


bac2accosB

222
cab2abcosC

222
222
b
2
c
2
a
2
cosA
2bc
2.变形：
a
2
c
2
b< br>2
cosB
2ac

a
2
b2
c
2
cosC
2ab


1

a
2
c
2
b
2
accosB
注意整体代入，如：
利用余弦定理判断三角形形状：
1
2

设
a
、
b
、
c
是
C
的角

、

、
C
的对边，则：
①若，
222
cbaA为直角
②若
，所以为锐角
③若
角三角形
三角形中常见的结论
三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
三角形三边关系：
两边之和大于第三边：
两边之差小于第三边：
，
，
，
，
， 所以为钝角，则是钝
；
；
在同一个三角形中大边对大角：
ABabsinAsinB

4) 三角形内的诱导公式：

sin(AB)sinC,cos (AB)cosC,tan(AB)tanC,



CC
sin()cos()
AB

C
22< br>
2
tantan()

CC
222
cos( )sin()
222

7) 三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点







2

解三角形

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝1，则最小角为( )
ππππ
A. B. C. D.
12643< br>2．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝
(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
πππ2π
A. B. C. D.
6323
→→→
3.在△A BC中，已知|
AB
|＝4，|AC|＝1，S
△
ABC
＝3，则A B·AC等于( )
A．－2 B．2 C．±4 D．±2
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝2，b＝6，B＝120° ，则a
等于( )
A.6 B．2 C.3 D.2
sin B
5．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
sin C
8553
A. B. C. D.
5835
6．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x，则x的取值范围是( )
A．17．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于( )
222266
A．－ B. C．－ D.
3333
8．下列判断中正确的是( )
A．△ABC中，a＝7，b＝14，A＝30°，有两解
B．△ABC中，a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
C．△ABC中，a＝6，b＝9，A＝45°，有两解
D．△ABC中，b＝9，c＝10，B＝60°，无解
9．在△ABC中，B＝30°，AB＝3，AC＝1，则△ABC的面积是( )
33333
A. B. C.3或 D.或
42224
π
3
10．在△ABC中，BC＝2，B＝，若△ABC 的面积为，则tan C为( )
32
33
A.3 B．1 C. D.
32
11．在△ABC中，如果sin Asin B＋sin Acos B＋cos Asin B＋cos Acos B＝2，则△ABC是
( )
A．等边三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形
12．△ABC中，若a
4
＋b
4
＋c
4
＝2c
2
(a
2
＋b
2
)，则角C的度数是( )
A．60° B．45°或135°C．120° D．30°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
sin Acos B
13．在△ABC中，若＝，则B＝________.
ab
14．在△ABC中 ，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．
15．一船自西向东匀 速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M
处，下午2时到达这座灯塔的东南 方向的N处，则这只船的航行速度为________海里小时．
16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cos A＝acos C，则
cos A＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC

3

(1)求cosA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝
23
，求边c的值．
3













18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsin A.
(1)求B的大小．
(2)若a＝33，c＝5，求b.
















19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b ，c，且acosC＋
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长
l
的取值范围.
1
c＝b.
2



















4

20．
在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a， b，c，已知
2acosAccosBbcosC.

(1）求
cosA
的值；
(2）若
a1,cosBcosC
3
，求边c的值.
2












π
21．(12分)在△ABC中，内角A、B、C对边的边 长分别是a、b、c.已知c＝2，C＝.
3
(1)若△ABC的面积等于3，求a，b.
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．












22．
如图，在
ABC
中，点
D
在
BC
边上，
AD 33
，
sinBAD
(1）求
sinABD
的值；
(2）求
BD
的长．
53
，
cosADC
．
135















5

解三角形 答案
1．B 2．B 3.D4．D 5．D 6．D 7．D 8．B 9．D 10．C 11．C 12．B
3
13．45° 14．103 15．86 16.
3
222
17．
【答案】(1)由余弦定理
b
＝
a
＋
c
－2
ac
cos
B
，
c
2
＝
a
2
＋b
2
－2
ab
cos
C

1
有
c
cos
B
＋
b
cos
C
＝
a
，代入已知条件得3
a
cos
A
＝
a
，即cos
A
＝
3
122122
(2)由cos
A
＝得sin
A
＝,则cos
B
＝－cos(
A
＋
C
)＝－co s
C
＋sin
C
，
3333
代入cos
B
＋cos
C
＝
其中sin
φ
＝
＝
3
．
2
23
得cos
C
＋2sin
C
＝3，从而得si n(
C
＋
φ
)＝1，
3
36ππ6
a
sin
C
，cos
φ
＝ (0<
φ
<)则
C
＋
φ
＝，于是sin
C
＝，由正弦定理得
c
＝
33223sin
A

1
π
18．解 (1)∵a＝2bsin A，∴sin A＝2sin B·sin A，∴sin B＝.∵0，∴B＝30°.
22
(2)∵a＝33，c＝5，B＝30°.
由余弦定理b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝(33)
2
＋5
2
－2×33×5×cos 30°＝7.
∴b＝7.
19．
【答案】(1)由acosC＋
sinAcosC＋1
c＝b和正弦定理得，
2
11
sinC＝sinB，又sinB＝s in(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinC＝cosAsinC，
22
1
∵sinC≠0，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝.
23< br>asinB2
asinC2
＝
sinB
，c＝
＝
(2 )由正弦定理得，b＝
sinC，
sinA
sinA
3
3
22
则
l
＝a＋b＋c＝1＋(sinB＋sinC)＝1＋［sinB＋sin(A ＋B)］
33
3
1
sinB＋cosB)＝1＋2sin(B＋). < br>2
26
251
∵A＝，∴B∈(0，)，∴B＋∈(，)，∴si n(B＋)∈(，1］，
3366662
＝1＋2(
∴△ABC的周长
l< br>的取值范围为(2,3］.

20
【答案】（1）由
2acosAccosBbcosC
及正弦定理得

2sinAcosAsinCcosBsinBcosC,
即
2sinAcosAsin
又
BC

A,
所以有
2sinAcosAsin


而
sinA0
，所以
cosA
(2）由
cosA
< br>BC

.

A

,
即
2sinAcosAsinA.

1
.

2
12


及0＜A＜

，得A＝
.
因此
BC

A.

23
3

6

3
3
< br>2


,
得
cosBcos

B

,

2
32

133


3

sinB
即
cosBcosB
，即得
sin

B

.

222
6
2




5



< br>
2

由
A,
知
B

,
.


.
于是
B,
或
B
6

66

36363
由
cosBcosC
所以
B
若
B

6
，或
B

2

.

23
1
;
，解得
c

3
623c
3


1
.
若
B ,
在直角△ABC中，
tan,
解得
c
3
23c

,
则
C

.
在直角△ABC中，
sin


21．解 (1)由余弦定理及已知条件得
a
2
＋b
2
－ab＝4.
又因为△ABC的面积等于3，
1
所以
absin C＝3，由此得ab＝4.
2
22
 

a
＋b－ab＝4，

a＝2，
联立方程组

解得




ab＝4，

b＝2.



(2)由正弦定理及已知条件得b＝2a.


联立方程组

b＝2a，

a
2
＋b
2
－ab＝4，
a＝
2
3
3
，
解得

43
b＝

3
.


123
所以△ABC的面积S＝
absin C＝.
23
3
，
5
4
2
所以
sinADC1cosADC
． < br>5
512
2
因为
sinBAD
，所以
cosB AD1sinBAD
．
1313
因为
ABDADCBAD
，
所以
sinABDsin

ADCBAD

< br>22．
【答案】（1）因为
cosADC
sinADCcosBAD cosADCsinBAD

4123533


．

51351365
BDAD
(2）在△ABD
中，由正弦定理，得，

sinBADsinABD

7

所以
BD
ADsinBAD

sinABD
33
5
13
25
．
33
65


8