补习学校-成都信息工程学院银杏

第一章-集合
（一）、集合：集合元素的特征：确定性、互异性、无序性.

1、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为
②空集是任何集合的子集，记为

AA
；

A
；

③空集是任何非空集合的真子集；

①
n
个元素的子集有2
n
个.
n
个元素的真子集有2
n
－1个.
n
个元素的非空真子集有2
n
－2
个.

[注]①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题

逆命题.

②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题

逆否命题.

交：A
I
B{x|xA,且x B}
2、集合运算：交、并、补.
并：A
U
B{x|xA或xB}
补：C
U
A{xU,且xA}
（三）简易逻辑

构成复合命题的形式：p或q(记作“p∨q” )；p且q(记作“p∧q” )；非p(记
作“┑q” ) 。

1、“或”、 “且”、 “非”的真假判断

4、四种命题的形式及相互关系：

原命题：若P则q； 逆命题：若q则p；

否命题：若┑P则┑q；逆否命题：若┑q则┑p。

①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

②、原命题为真，它的否命题不一定为真。

③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知p

q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若p

q且q

p,则称p是q的充要条件，记为p?q.

第二章-函数

一、函数的性质

（1）定义域： （2）值域：

（3）奇偶性：（在整个定义域内考虑）

①定义 ：?偶函数：
f(x)f(x)
，?
奇函数：
f(x)f(x)< br>
②判断方法步骤：a.求出定义域；b.判断定义域是否关于原点对称；c.求d.比较
f(x)
；
f(x)与f(x)
或
f(x)与 f(x)
的关系。

（4）函数的单调性

定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自 变量的值x
1
,x
2,

⑴若当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
),则说f(x)在这个区间上是 增函数；

⑵若当x
1
2
时，都有f( x
1
)>f(x
2
),则说f(x) 在这个区间上是减函数.

二、指数函数与对数函数

指数函数
ya
x
(a0且a1)
的图象和性质


a>1

0
图

象


性

质

(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

(4)x>0时，y>1;x<0时，0
(4)x>0时，01.

（5）在 R上是增函数

（5）在R上是减函数

对数函数y=log
ax（a>0且a

1）的图象和性质:

⑴对数、指数运算：

x
ya
⑵（
a0 ,a1
）与
ylog
a
x
（
a0,a1
）
互为反函数.

第三章 数列

1. ⑴等差、等比数列：


图

象
定义



等差数列

等比数列


递推公
式

a
n
a
n1
d
；

（1）定义域：（0，+∞）

a
n
a
n1
q
；


通项公
式

性

（2）值域：R

an
a
1
q
n1
（
a
1
,q0< br>）

（3）过点（1，0），即当x=1时，y=0


质
中

项公
式

（4）

x(0,1)
时
y0

x(0,1)
时
y0


前
n
项
和


x(1,)
时 y>0


x(1,)
时
y0

在（0，+∞）上是减函数

（5）在（0，+∞）上是增函数

重要性
质

nmpq
则



s
1
a
1
(n1)
a
（2）数列{
a
n
}的前
n< br>项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
n

ss


nn1
(n2)
第四章-三角函数

一.三角函数

1、角度与弧度的互换关系：360°=2

；180°=

；

1rad＝
180

°≈ 57.30°=57°18ˊ；1°＝

≈0.01745（rad）

180
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

2、弧长公式：
l|

11
slr
|r
. 扇形面积公式：
扇形
22
|

|r
2

x
y
y
cos


3、三角函数：
sin


； ；
tan


；

r
r
x
4、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

sin

tan


sin
2

cos
2

1


5、同角三角函数的基本关系式：
cos

6、诱导公式：

7、两角和与差公式

8、二倍角公式是：

sin2

=
2sin

cos


2
cos2

=
cos
2

 sin
2

=
2cos
2

1
=
12sin


2tan


tan
2

=
1tan
2

。

辅助角公式asinθ+bcosθ=
a
2
b
2
sin( θ+

)，这里辅助角

所在象限由a、
b
b的符号确定，

角的值由tan

=
a
9、特殊角的三角函数值：

确定。


0


sin


0


1

0


cos


1


0


0

tan


0


1


不存在

0

不存在

cot


不存在


1


0

不存在

0

abc
2R
（
R
为外接圆半径）．

10、正弦定理
sinAsinBsinC
余弦定理 c
2
= a
2
+b
2
－2bccosC，

b = a+c－2accosB，

222
a
2
= b
2
+c
2
－2bccosA．

面积公式：

11.
ysin(

x

)
或
ycos(

x

)
（
0
）的周期
T


2
2

.
12.
ysin(

x

)
的对称轴方 程是
xk


（
kZ
），对称中心（
k

,0
）；
1
ycos(

x

)
的对称轴方程是
xk

（
kZ
），对称中心（
k



,0
）；
2
k

yt an(

x

)
的对称中心（
,0
）.

2
第五章-平面向量

(1)向量的基本要素：大小和方向.

(2)向量的长度：即向量的大小，记作｜
a
｜.

r
ax
2
y
2
r
a

x,y


(3)特殊的向量：零向量
a
＝O

｜
a< br>｜＝O.


单位向量
a
为单位向量

｜< br>a
｜＝1.
(4)相等的向量：大小相等，方向相同

x
1< br>x
2
(ｘ，ｙ)＝（ｘ，ｙ）



yy
2

1
1122

(5) 相反向量：a
=-
b

b
=-
a

a
+
b
=
0



(6)平行向量(共线向量)：方向 相同或相反的向量，称为平行向量.记作
a
∥
b
.平行向量
也称为共 线向量.

（7）.向量的运算

运
算
几何方法

类
型

坐标方法

运算性质

向
量
的

1.平行四边


形法则

加
法

2.三角形法则

向
量
的

三角形法则


uuuruuur
ABBA
OBOAAB

,
减
法

r
1.

a
是一个向量,满
rr
数

足:
|

a||

||a|

乘

rr
2.

>0时,

a与a
同
向

向;
量


rr
<0时,

a与a

异向;

rr

=0时,

a0
.

向

量

rr
a•b
是一个数


rrrr

1.
a0或b0
时，
rr
的

a•b0

数

量

积

(8)两个向量平行的充要条件




a
∥
b
(
b
?
0
)

(9)两个向量垂直的充要条件
a

b
或 x
1
y
2
x
2
y
1
0



a
⊥
b

a
·
b
=0

x·x+y·y=0

1212
a·b
x
1x
2
y
1
y
2
(10)两向量的夹角公式：cosθ =
22

|a|·|b|
=
x
1
2
y< br>1
2
•x
2
y
2
0≤θ≤180°,

附：三角形的四个“心”；

1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点

2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点

3、重心：中线的交点

4、垂心：高的交点

(11)△ABC的判定：


cab
△
ABC
为直角△

∠A + ∠B =

2
222

c
＜
ab
△< br>ABC
为钝角△

∠A + ∠B＜

2
2
22

c
＞
ab
△
ABC
为锐角△

∠A + ∠B＞

2
2
22
(11)平行四边形对角线定 理：对角线的平方和等于四边的平方和.

第六章-不等式

1.几个重要不等式

2
aR,a0,a0
当且仅当
a0,取“”
（1），(a－b)≥0(a、b∈R)

2
22
a,bR,则ab2ab

（2）

a,bR
（3），则
ab2ab
；

a
2
b
2
ab
2
()
；

（4）
22
ab
2
)(a,bR)

⑸若a、 b∈R，，则
ab(
2
+
22

2ababa< br>2
b
2
ab(a,bR

)
；

ab22
2、解不等式

（1）一元一次不等式
axb(a0)

b



a

①
a0,

xx

b

a0,

②

xx
a


2
（2）一元二次不等式
axbxc0,(a0)


第七章-直线和圆的方程

一、解析几何中的基本公式

1.两点间距离：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB (x
2
x
1
)
2
(y
2
y
1
)
2

2.平行线间距离：若
l
1
:AxBy C
1
0,
C
1
C
2
AB
22l
2
:AxByC
2
0

则：
d


注意：x，y对应项系数应相等。

3.点 到直线的距离：
P(x

,y

),l:AxByC0

则P到l的距离为：
d
Ax

By

C
AB
22


ykxb
4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

消F(x,y)0

意
0.
若l与曲线交于A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
则：
y：
ax
2
bxc0
，务必注
x
1< br>x
2

x


2
(x,y),B(x, y)
5.若A
11

22
，P（x，y）,P为AB中点，则

yy
2

y
1

2

6 .直线的倾斜角（0°≤

＜180°）、斜率:
ktan


(x
1
x
2
)

y
2
y
1
7.过两点
P
.
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)的直线的斜率公式：k
x
2
x
1
8.直线l1
与直线l
2
的的平行与垂直

（1）若l
1
，l
2
均存在斜率且不重合：①l
1
l
2

k
1
=k
2
②l
1

l
2

k
1
k
2
=－1

（2）若
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0,l
2
: A
2
xB
2
yC
2
0

若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零

A
1
B
1
C
1

?l
1
l
2

； ?
l
1

l
2


A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
；

A
2
B
2
C
2
9.直线方程的五种形式

名称 方程

斜截式： y=kx+b

点斜式：
yy

k(xx

)


两点式：
yy
1
xx
1
y
2
y
1
x
2
x
1
（
x
1
≠x
2 ）

xy
截距式：
1


ab
一般式：
AxByC0
（其中A、B不同时为零）

10.圆的方程

222
(xa)(yb)r
（1）标准方程： ，
(a,b)圆心，r半径
。

22
22
xyDxEyF0
DE4F0)

（2）一般方程：，（
DE
(,)圆心,
半径
r
22
D
2
E
2
4F

2
222
xyr
特例：圆心在坐标原点，半径为
r
的圆的方程 是：.


xarcos

注：圆的参数方程：
ybrsin

（

为参数）.


特别地，以(0，0)为圆心，以r为半径的圆的参数方程为

222
M(x,y)
C:(xa)(yb)r
（3）点和圆的位置关系： 给定点
00
及圆
①
M
在圆
C
内
(x0
a)
2
(y
0
b)
2
r
2

②
M
在圆
C
上
（x
0
a)
2
(y
0
b)
2
r
2

③
M
在圆
C
外
(x
0
a)
2
 (y
0
b)
2
r
2

（4）直线和圆的位置关系：

设圆圆
C
：
(xa)
2
(yb)
2
r
2
(r0)
；

直线
l
：
AxByC0(A
2
 B
2
0)
；

BbC
圆心
C(a,b)
到直线
l
的距离
d
Aa
A
2
B
2
.

①
dr
时，
l
与
C
相切； ②
dr
时，
l
与
C
相交；

③
dr
时，
l
与
C
相离.

第八章- 圆锥曲线方程

一、椭圆

1.定义Ⅰ：若F
1
，F
2
是两定点，P为动点，且
PF
1
PF
2
2aF< br>1
F
2
则P点的轨迹是椭圆。

x
2
y2
y
2
ab
1
x
2
2.标准方程：
2

2


(ab0)
a
2

b
2
1(ab0)

.

a
为常数） （

a
2
长轴长=
2a
，短轴长=2b 焦距：2c 准线方程：
x
，

c
c
(0e1)
焦点：
(c,0)(c,0)
或
(0,c)(0,c)
.

a

离心率：
e
二、双曲线

1、定义：若F
1
，F
2
是两定点，
迹是双曲线。

PF
1
PF
2
2aF
1
F
2
（
a
为常数），则动点P的轨
2.性质

x
2
y
2
y
2
x
2
（1）方程：
2

2
1

(a0,b0)

2

2
1

(a0,b0)

abab
a
2
实轴长=
2a
，虚轴长=2b焦距：2c 准线方程：
x
c


c
e
离心率
a
2
2b
2a
. 准线距（两准线的距离）；通径
a
c
2
.

222
cab,e
参数关系
c
a
.

b
x
2
y
2
1
yx

（ 2）若双曲线方程为
2

渐近线方程：
2
ab
a