拾金不昧作文-五年级寒假生活答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试（I）卷

理科数学 < br>一．选择题
：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1．设集合
Ax|x4x30
，
B< br>
x|2x30

，则
AIB
（ ）
2

（A）

3,

（B）

3,

（C）

1,

（D）

2．设

1i

x1yi
，其中
x,y
是实数，则
|xyi|
（ ）
（A）1 （B）
2
（C）
3
（D）2


3

2



3

2


3


2


3

,3



2

3．已知等差数列

a
n

前9项的和为27，
a
10
8
，则
a
100

（ ）
（A）100 （B）99 （C）98 （D）97
4．某公司的 班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，
且到 达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
（A）
1123
（B） （C） （D）
3234
x
2
y
2
1
表示双曲线，且 该双曲线两焦点间的距离为4，则
n
的 5．已知方程
2
mn3m
2
n
取值范围是（ ）
（A）

1,3

（B）
1,3
（C）

0,3

（D）
0,3

6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条

28
，则它的表面积是（ ）
3
（A）
17

（B）
18

（C）
20

（D）
28


互相垂直的半径。若该几何体的体积是
7．函数
y2xe
在

2,2

的图像大致为（ ）
2|x|

8．若
ab1
，
0c1
，则（ ）
cc
（A）
ab
（B）
abba
（C）
alog
b
cblog
a
c
（D）
log
a
clog
b
c

cc
第

1 页 共 8 页

9．执行右面的程序框图，如果输入的
x0
，
y1
，
n1，
则输出
x,y
的值满足（ ）
（A）
y2x
（B）
y3x

（C）
y4x
（D）
y5x

10．以抛物线
C
的顶点为圆心的圆交
C
于
A,B
两点，交
C
的准线于
D,E
两点。已知
|AB|42，
|DE|25
，则
C
的焦点到准线的距离为（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
11．平面

过正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的顶点
A
，


平面
CB
1
D
1
，
αI
平面
ABCD m
，
αI
平面
ABB
1
A
1
n
，则
m,n
所成角的正弦值为（ ）
（A）
1
323
（B） （C） （D）
3
23
2


12．已知函数
f

x

sin


x

< br>

0,|

|


2

，
x

4
为
f

x

的零点，
x

4
为


5
< br>
yf

x

图像的对称轴，且
f
x

在

,

单调，则

的最大值为 （ ）

1836

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
二．填空题
：本题共4小题，每小题5分。
rr
rr
2
r
2
r
2
13．设向 量
a

m,1

，
b

1,2

，且
|ab||a||b|
，则
m
。
14．
2x

（用数字填写答案）
x
的展开式中，
x
3
的系数是 。

5
15．设等比数列

a
n

满足
a
1
a
3
10
，
a
2
a
4
5
，则
a
1
a
2
a
n
的最大值为 。
16．某高科技企业生产产品
A
和 产品
B
需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品
A
需要甲
材料
1.5kg
，乙材料
1kg
，用5个工时；生产一件产品
B
需要甲 材料
0.5kg
，乙材料
0.3kg
，
用3个工时，生产一件产品< br>A
的利润为2100元，生产一件产品
B
的利润为900元.该企业现
有甲材料
150kg
，乙材料
90kg
，则在不超过600个工时的条件下， 生产产品
A
、产品
B
的
利润之和的最大值为 元。
三．解答题
：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（ 本小题满分12分）
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b ,c
，已知
第

2 页 共 8 页

2

acosB+bcosA

cosCc
。⑴求
C；⑵若
c7
，
ABC
的面积为
周长。
1 8．（本小题满分12分）如图，在以
33
，求
ABC
的
2
A,B,C,D,E,F
为顶点的五面体中，面
ABEF
为
正方形，
AF2FD
，
AFD90
，且二面角
0
DAFE
与二面角
CBEF
都是
60
0
。
⑴证明：平面ABEF

平面
EFDC
；⑵求二面角
EBCA
的 余弦值。
19．（本小题满分12分）某公司计
划购买2台机器，该种机器使用三年 后
即被淘汰。机器有一易损零件，在购进
机器时，可以额外购买这种零件作为备
件，每 个200元。在机器使用期间，如
果备件不足再购买，则每个500元。现
需决策在购买机器时 应同时购买几个易
损零件，为此搜集并整理了100台这种
机器在三年使用期内更换的易损零件
数，得下面柱状图。以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件
数 发生的概率，记
X
表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，
n
表示购买2 台机器的同
时购买的易损零件数。⑴求
X
的分布列；⑵若要求
P
< br>Xn

0.5
，确定
n
的最小值；⑶以
购买易损 零件所需费用的期望值为决策依据，在
n19
与
n20
之中选其一，应选 用哪个？
20．（本小题满分12分）设圆
xy2x150
的圆心 为
A
，直线
l
过点
B

1,0

且与
x
22
轴不重合，
l
交圆
A
于
C,D
两点，过
B
作
AC
的平行线交
AD
于点
E
。⑴证明
|EA||EB|
为
定值，并写出点
E
的轨迹方 程；⑵设点
E
的轨迹为曲线
C
1
，直线
l
交
C
1
于
M,N
两点，过
B
且与
l
垂直的 直线与圆
A
交于
P,Q
两点，求四边形
MPNQ
面积的取值 范围。
21．（本小题满分12分）已知
f

x



x2

ea

x1

有两个 零点。⑴求
a
的取值
x
2
范围；⑵设
x
1
,x
2
是
f

x

的两个零点，证明：
x
1
x
2
2
。
请考生在第（22）、（23）、（24 ）题中任选一题作答。如果多
做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10 分）（选修4
-
1：几何证明选讲）
如图，
AOB
是等腰三角形，
AOB120
。以
O
为圆心，
0
第

3 页 共 8 页

1
OA
为半径作圆。⑴证明：直线< br>AB
与⊙
O
相切；⑵点
C,D
在⊙
O
上，且
A,B,C,D
四点
2
共圆，证明：
ABCD
。
23．（本小题满分10分）（选修4
-
4：坐标系与参数方程）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
1

xacost
的参数方程为
< br>错误!未找到引用源。（
t
为参数，
a0
）。在以坐标原点为极点，
y1asint

x
轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C2
：

4cos

。⑴说明
C
1
是 哪种曲线，并将
C
1
的
方程化为极坐标方程；⑵直线
C
3< br>的极坐标方程为



0
，其中

0
满足
tan

0
2
，若曲线
C
1
与< br>C
2
的公共点都在
C
3
上，求
a
。
24．（本小题满分10分）（选修4
-
5：不等式选讲）
已知函数
f

x

|x1||2x3|
。⑴在答题卡第（2 4）
题图中画出
yf

x

的图像；⑵求不等式
|f

x

|1
的
解集。
























第

4 页 共 8 页

2016年普通高等学校招生全国统一考试（I）卷理科数学解答


一．DBCBA ADCCB AB
二．13．
2
；14．10；15．64；16．216000
17．解：⑴由已知及正弦定理得，
2cosC

sinAcosBsinBcos A

sinC
，
1

2cosCsin
AB

sinC
。故
2sinCcosCsinC
，可得
cosC
，所以
C
；
3
2
⑵由已知 ，
133

absinC
，又
C
，故
ab6
。由已知及余弦定理得，
22
3
a
2
b
2
2abcosC7
，故
a
2
b
2
13
， 从而

ab

2
25
。故
ABC
的 周长为
57
。
18．解：⑴由已知可得
AFDF
，< br>AFFE
，所以
AF

平面
EFDC
。又
AF

平
面
ABEF
，故平面
ABEF

平面
EFDC
；
⑵过
D
作
DGEF
， 垂足为
G
，由⑴知
uuur
以
G
为坐标原点，
GF
的方
DG
平面
ABEF
。
uuur
向为
x
轴正方向，
|GF|
为单位长，建立如图所示
空间直角坐标系
G xyz
。由⑴知
DFE
为二面
角
DAFE
的平面角， 故
DFE60
，则
0
|DF|2
，
|DG|3，可得
A

1,4,0

，
B

3 ,4,0

，
E

3,0,0

，
D0 ,0,3
。由已知，

ABEF
，所以
AB
平面
EFDC
。又平面
ABCD
平面
EFDCDC
，故
AB CD
，
CDEF
。由
BEAF
，可得
BE
平面< br>EFDC
，所以
CEF
为二面角
CBEF
的平
uuur
uuur
0
面角，
CEF60
，从而
C2, 0,3
。所以
EC1,0,3
，
EB

0,4,0
，


ruuur
uuur
uuurr


nEC0
AC3,4,3
，
AB

4,0,0

。设
n

x,y,z

是平面
BCE
的法向量，则

ruuu
，
r


nEB0
uruuur
ur
r


x3z 0

mAC0
即

，所以可取
n3,0,3
。设
m
是平面
ABCD
的法向量，则

u
，ruuur


4y0

mAB0
rur
ur
rur
nm
219
r


同理可取
m0,3,4
。则
cosn,m
ru
，所以二面角
EBC A
的余弦
19
|n||m|



值为
219
。
19
第

5 页 共 8 页

19．解：⑴由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需 更换的易损零件数为
8,9,10,11
的概率分别是
0.2,0.4,0.2,0. 2
，从而
P

X16

0.20.20.04，
P

X17

20.20.40.16
，
P

X18

20.20.20.40.40.24
，
P

X19

20.20.220.40 .20.24
，
P

X20

20.20.4 0.20.20.2
，
P

X21

20.2 0.20.08
，
P

X22

0.20.20 .04
。因此
X
的分布列如下表所示；
17 18 19
X

16
P

0.04

0.16

0.24

0.24

20 21 22
0.2

0.08

0.04

⑵ 由⑴知
P

X18

0.44
，
P

X19

0.68
，故
n
的最小值为19；
⑶记
Y
表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）。当
n19
时，
EY

192000.68

19200500< br>
0.2

192002500

0.08< br>
192003500



0.044040，当
n20
时，
EY202000.88

202 00500

0.08


202002500

0.04=4080
。可知当
n19
时所需费用的期望值小于
n20
时所需费
用的期望值，所以应选
n19
。
20．解： ⑴因
|AD||AC|
，
EBAC
，故
EBDACDA DC
，
|EB||ED|
，
故
|EA||EB||EA|| ED||AD|
。又圆
A
的方程为

x1

 y
2
16
，故
|AD|4
，所
2
以
| EA||EB|4
。由题设得
A

1,0

，
B

1,0

，
|AB|2
，由椭圆定义可得点
E
的轨迹方
x
2
y
2
1

y0< br>
； 程为：
43

yk

x1

M

x
1
,y
1

，
N< br>
x
2
,y
2

，
⑵当
l
与
x
轴不垂直时，设
l
：
yk

x1

k0

，
由

x
2
y
2< br>1


3

4
8k
2
4k
2
12
得

4k3

x8kx4k120< br>，故
x
1
x
2

，
x
1
x
2

，所以
22
4k34k3
2222
12 k
2
1
1

B1,0
|MN|1k|x
1
x
2
|

x1

，点
y
。过点且与垂直的直线：
l
m
4k
2
3
k
2< br>
第

6 页 共 8 页

44k< br>2
3
，故
|PQ|24
2
，从而四边形
MPN Q
A
到直线
m
的距离为
4
2
2
k1k 1
k1
2
2
面积
S
11
|MN||PQ| 121
2
。可知当
l
与
x
轴不垂直时，四边形
M PNQ
面积的
24k3
取值范围是
12,83
。当
l与
x
轴垂直时，其方程为
x1
，
|MN|3
，|PQ|8
，四边形

MPNQ
的面积为12。综上，四边形
MPNQ
面积的取值范围是


12,83
。
21．解：⑴由题
f'

x



x1

e2a

x1



x1
e2a
。①若
a0
，则
xx


f
x



x2

e
x
，
f

x

只有一个零点；②若
a0
，则当
x1
时，
f'

x

0
；当
x1
时，
f'

x

0
。所以
f

x

在

,1

单调递减，在
1,

单调递增。又
f

1

e，
f

2

a
，
取
b
满足
b0
且
bln
a
a
2

2
3

，则
f

b



b2
a

b1

a

bb
< br>0
，故
f

x

存
22

2

在两个零点；③若
a0
，由
f'

x
0
得
x1
或
xln

2a

。如果
ae2
，则
ln

2a

1
，故当
x1
时，
f'

x

0< br>，因此
f

x

在

1,
< br>单调递增。当
x1
时，
f

x

0，故
f

x

不存在两个零点。如果
ae2
，则
ln

2a

1
，故当
1xln< br>
2a

时，
f'

x

0< br>；当
xln

2a

时，
f'

x

0
。因此
f

x

在

1,ln

2a

单调递减，在

ln

2a

,

单调递增。又当
x1
时，
f

x

0
，故
f

x

不存在两个零点。综上，
a
的取
值范围是

0,< br>
；
⑵不妨设
x
1
x
2
，由⑴ 知
x
1


,1

，
x
2< br>

1,

，
2x
2

< br>,1

，
f

x

在

,1

单调递减，所以
x
1
x
2
2等价于
f

x
1

f

2x2

，即
f

2x
2

0
。由于
f

2x
2



x
2
e
2x
2
a

x
2
1

，而

x
2
2

e
x
2a

x
2
1

0
，故
f

2x
2

x
2
e
2x
2

x
2
2

e
x
2
。< br>22
设
g

x

xe
2x


x2

e
x
，则
g

x



x1

e
2x
ex
。所以当
x1
时，
g


x
< br>0
，故

g

x

g
1

0
，从而
g

x
2

f

2x
2

0
，所以
x
1
x
2
2
。
22．解：⑴设
E
是
A B
的中点，连
OE
。因
OAOB
，
AOB120，故
OEAB
，
0
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AOE60
0
。在
RtAOE
中，
OE
1
AO
，即
O
到直线
2
AB
的距离等于
eO
的半径，所以直线
AB
与⊙
O
相切；
⑵因
OA2OD
，故
O
不是
A,B,C,D四点所在圆的圆
心。设
O

是
A,B,C,D
四点所在 圆的圆心，作直线
OO

。由
题知
O
在线段
AB< br>的中垂线上，又
O

在线段
AB
的中垂线
上，故OO

AB
。同理可证
OO

CD
，所以
ABCD
。
22
23．解：⑴消去参数
t
得到< br>C
1
的普通方程
x

y1

a
，
C
1
是以

0,1

为圆心，
a为
2
半径的圆。将
x

cos

，
y

sin

代入
C
1
的普通方程，即得到C
1
的极坐标方程为

2
2

sin

1a
2
0
；


2
2
sin

1a
2
0
22
⑵由

得
16cos

8sin

cos

1a0
。由已知可得


4cos

。
tan

2
，故
16cos
2

8s in

cos

0
，因此
1a
2
0
，从而
a1
（舍负）

x4

x1


24．解：⑴
f

x



3x2

1x32

，故
yf
x

的图像如图（略）；


x32


4x
⑵由
f

x

的表达式及图像，当
f

x
1
时，可得
x1
或
x3
；当
f

x

1
时，可得
x13
或
x5
。故f

x

1
的解集为

x|1x3
，
f

x

1
的解集为

x|x13或x5

。
所以
|f

x
|1
的解集为
x|x13或1x3或x5
。

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