写小狗的作文-黄龙峡漂流

2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷一
理科数学
一、选择题 ：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B< br>={
x
|
3
x
1
}，则( )
A．
AIB{x|x0}

D．
AIB

B．
AUBR
C．
AUB{x|x1}

2． 如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概
率是( )

A．
1

4
π
4

B．
π
8

C．

1

2

D．

3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复 数
z
满足
R
，则
zR
；
z
p
2
：若复数
z
满足
z
2
R
，则< br>zR
；
p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
R
，则
z
1< br>z
2
；
p
4
：若复数
zR
，则
zR
.

其中的真命题为( )
A．
p
1
,p
3


B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3

D．
p
2
,p
4

4．记
S
n< br>为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a4
a
5
24
，
S
6
48
，则< br>{a
n
}
的公差为( )
A．1


D．8
B．2 C．4
5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1 f(x2)1
的
x
的取值范围是
A．
[2,2]

D．
[1,3]

B．
[1,1]
C．
[0,4]

6．
(1
1
2
6
x
)(1x)
展开式中的系数为( )
x
2

D．35
B．20 C．30 A．15

7．某多面体的三视图如图所示， 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组
成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形. 该多面体的各个面中有若干个是
梯形，这些梯形的面积之和为( )

A．10 B．12 C．14 D．16

8．右面程序框图是为了求出满足3
n
−2
n
>1000的最小偶数
n
，那么在
白框中，可以分 别填入
和两个空

A．
A
>1 000和
n
=
n
+1

B．
A
>1 000和
n
=
n
+2 C．
A

1 000和
n
=
n
+1
D．
A

1 000和
n
=
n
+2
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+
2π
)，则下面结论正确的是( )
3
π个单位长度，
6
A．
把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
得到曲线
C
2
B．
把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到曲线
C
2
π
12
个单位长度，
C．
把< br>C
1
1
上各点的横坐标缩短到原来的
2
倍，纵坐标不变，再把 得到的曲线向右平移
π
6
个单位长度，
得到曲线
C
2 D．
把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
得到曲线
C< br>2

1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
π
12
个单位长度，

10．已知
F
为抛物线
C
：
y
2
=4
x
的焦点，过
F
作两条互相垂直的直 线
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与C
交于
A
、
B
两点，直线
l
2
与C
交于
D
、
E
两点，则|
AB
|+|
DE
|的最小值为( )
A．16


D．10
B．14 C．12
xyz
11．设
xyz
为正数，且
235
，则( )
A．2
x
<3
y
<5
z


B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x

D．3
y
<2
x
<5
z

12．几位大学 生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的
兴趣，他们推出了“解数学题获取 软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面
数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1 ，2，4，8，1，2，4，8，
16，…，其中第一项是2
，接下来的两项是2，2，再接下 来的三项是2，2，2，
001012
依此类推。求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>100且该数列的前
N
项和为2的整数
幂。那么该款软件的 激活码是( )
A．440

B．330 C．220
D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|= _______ .
< br>x2y1

14．设
x
，
y
满足约束条件

2xy1
，则
z3x2y
的最小值为_________ .

xy0


x
2
y
2
15．已知双曲线
C
：
2

2
1
（
a< br>>0，
b
>0）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做
ab
圆
A
，圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60 °，则
C
的离心
率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB< br>分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的等
腰三 角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起 △
DBC
，△
ECA
，△
FAB
，
使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△
ABC
的边长变 化时，所得三棱锥体积（单位：
cm
3
）的最大值为_______。


三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必< br>考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△
ABC
的内角
A< br>，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，< br>c
，已知△
ABC
的面积为
a
2

3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2） 若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.

18.（12分）如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
A BCD
，且
BAPCDP90
.
o

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
APD 90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
o

19
．（
12
分）

为了监控某 种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个
零件，并测 量其尺寸（单位：
cm
）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状
2
态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

)
．

（
1
）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其尺寸在
(

3

,

3< br>
)
之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望 ；

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(
3

,

3

)
之外的零件，就认为这< br>条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的 尺寸：

10.1
2
10.0
1
10.0
4
9.95 9.96 9.96 9.92 9.98
10.2
6
9.91
10.1
3
10.0
2
9.22
10.0
4
10.0
5
9.95
1
16经计算得
x

x
i
9.97
，
16
i1
1
16
1
16
22
s(x
i
 x)(

x
i
16x
2
)
2
0.2 12
，其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺

16
i1
16
i1
寸，
i1,2,,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为

的估计值

ˆ
，利用估用样本平均数
x
作为

的估计值
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
(
< br>下的数据估计

和

（精确到
0.01
）．

2
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(
< br>,

)
，则
P(

3

Z< br>
3

)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．











x
2
y
2
20.（12分）已知椭圆
C
：
2

2
=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–
ab
1，
33
），
P
4
（1，）中恰有三点 在椭圆
C
上.
22
（1）求
C
的方程；
（2） 设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A< br>，
B
两点。若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的
和为–1，证明：
l
过定点.

fx)
a
e
2
x
+(
a
﹣2) e
x
﹣
x
.
21.（12分）已知函数
（
（1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2
）若f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围
.





2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在 每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C
7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
23
14．-5 15．
23

3

3
16．
15cm

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。第17~21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题， 考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，< br>b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
a
2

3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（ 2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
A BC
的周长.
解：（1）
由题意可得
S
ABC
1a
2
bcsinA
，
23sinA
22
化简可得
2a3bcsinA
，
22
根据正弦定理化简可得：
2sinA3sinBsinCsinAsinBsinC2
。
3
（2）

由
2

si nBsinC

12


3
cosAcosAB sinBsinCcosBcosCA

，

1
23

cosBcosC

6

因此可得
B

3
C
，
将之代入
sinBsinC
2
3 1



sinCcosCsin
2
C0
， 中可得：
sin

C

sinC
3
22

3

化简可得
tanC
3

C,B
，
366
a31
sinB3
，
sinA
3
2
2
利用正弦定理可得
b
同理可得
c3
，
故而三角形的周长为
323
。
18.（12分）
如图，在四棱 锥
P-ABCD
中，
ABCD
，且
BAPCDP90
.
o

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
APD 90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
（1）证明：
o

QABCD,CDPDABPD
,
又
ABPA,PAPDP
,
PA
、
PD
都 在平面
PAD
内，
故而可得
ABPAD
。
又
AB
在平面
PAB
内，故而平面
PAB
⊥平面
PAD
。
（2）解：
不妨设
PAPDABCD2a
，
以< br>AD
中点
O
为原点，
OA
为
x
轴，
OP
为
z
轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标：
P0,0, 2a,A


2a,0,0,B

2a,2a,0,C2a ,2a,0
，

uuur
因此可得
PA

uuur
2a,0,2a,PB

uuur
2a,2a,2a,PC 2a,2a,2a
，

uruur
假设平面
PAB
的法向量
n
1


x,y,1

，平面
PBC
的法向量
n
2


m,n,1

，
uruuur

ur

n
1
PA2ax2a 0x1
故而可得

u
，即
n
1


1,0,1

，
ruuur


n
1< br>PB2ax2ay2a0y0
uuruuur

n
2< br>PC2am2an2a0m0
uur


2

同理可得

u
。
0,,1

uruuur2
，即
n
2



2

n
2
PB2am2an2a0n

2
uruur< br>因此法向量的夹角余弦值：
cosn
1
,n
2

1
2
3
2

3
。
3
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为

3
。
3
19
．（
12
分）

为了监控某 种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个零件，并测量其尺寸 （单位：
cm
）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正
2
常状态下生产 的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

)
．
（
1
）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认
为这条 生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检
查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：

10.1
2
10.0
1
10.0
4
9.95 9.96 9.96 9.92 9.98
10.2
6
9.91
10.1
3
10.0
2
9.22
10.0
4
10.0
5
9.95
1
16
经计算得
x
x
i
9.97
，
16
i1
1
1 6
1
16
22
s(x
i
x)(

x
i
16x
2
)
2
0.212
，其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺

16
i1
16
i1
寸，
i1,2,,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为

的估计值

ˆ
，利用估用 样本平均数
x
作为

的估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据 ，用剩计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
(

下的数据估计

和

（精确到
0.01
）．

2< br>附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

)
，则
P(

3

Z

3

)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．
解：（1）
P

X1

1P

X0< br>
10.9974
16
10.95920.0408
由题意可得，
X
满足二项分布
X~B

16,0.0016
，
因此可得
EX

16,0.0016

160.00160.0256

（2）
1
由（1）可得
P

X1

0.04085%
，属于小概率事件，
○
故而如果出现
(

3

,

3
)
的零件，需要进行检查。
µ
9.97,

µ< br>0.212

µ
3

µ
9.334,

µ
3

µ
10.606
，
2
由 题意可得

○
故而在

9.334,10.606

范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。
此时：

x
9.97169.22
10.02
，
15
1
15

xx0.09
。

15
i1

20.（12分）
3
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2
= 1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1） ，
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
2
ab
P
4
（1，
3
）中恰有三点在椭圆
C
上.
2
（1）求
C
的方程；

（2）设直线
l< br>不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的
和为–1，证明：
l
过定点.
解：（1）
根据椭圆对 称性可得，
P
1
（1,1）
P
4
（1，
3
）不可能同时在椭圆上，
2
P
3
（–1，
33
），
P
4
（1，）一定同时在椭圆上，
22
33
），
P
4
（1，），
22
因此 可得椭圆经过
P
2
（0,1），
P
3
（–1，
代入 椭圆方程可得：
b1,
13
1a2
，
a
2
4
x
2
y
2
1
。 故而 可得椭圆的标准方程为：
4
（2）由题意可得直线
P
2
A
与 直线
P
2
B
的斜率一定存在，
不妨设直线
P
2< br>A
为：
ykx1
,
P
2
B
为：
y

1k

x1
.

ykx1

联立

x
2


4k
2
1

x
2
8kx0
，
2

y1< br>4
假设
A

x
1
,y
1

，
B

x
2
,y
2

此时可得： 2

8k14k
2


8

1 k

14

1k


A

2
,
2
,

，

,B

22
4k14k1


4

1k
14

1k

1



1 4

1k

此时可求得直线的斜率为：
k
AB

y
2
y
1

x
2
x
114k
2

2
2
4

1k
1
4k1
8

1k

4

1 k

1
2
2

8k
4k
2
 1
，
化简可得
k
AB

1

12k

2
，此时满足
k
1
。
2
1
当
k
○
1
时，
AB
两点重合，不合题意。
2
1
18k

14k
2

2
当
k
x
2
○
时，直线方程为：
y
，
< br>
2
2

2
4k14k1


12k


4k

即
y
2
4k 1x

2

12k

，当
x2
时，
y1
，因此直线恒过定点

2,1

。
21.（12分）
2
xx
已知函数
（fx)
a
e
+(
a
﹣
2) e
﹣
x
.
（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2< br>）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围
.
解：
2xxxx
（1）对函数进行求导可得
f'

x

2ae

a2

e1ae1e1
。
 
1
当
a0
时，
f'

x

 ae1e10
恒成立，故而函数恒递减 ○
xx

2
当
a0
时，
f'

x

ae1e10x ln
○
xx

1
，故而可得函数在
a

1

1

,lnln,
上单调递减，在
上单调递增。
aa

（2）函数有两个零点，故而可得
a0
，此时函数有极小值
f

ln


1

1
lna1
，

a

a
要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，
故 而可得
lna
11
10

a0

，令g

a

lna1
，
aa
a1
0
，故而函数恒递增，
a
2
对函数 进行求导即可得到
g'

a


又
g
< br>1

0
，
g

a

lna
1
10a1
，
a
因此可得函数有两个零点的范围为
a

0,1

。