胜利学院-交友的名言

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项 ：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将
试卷类 型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题 时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|
3
x
1
}，则
A．
A
C．
A
B{x|x0}

B{x|x1}





B．
A
D．
A
BR

B

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形< br>的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A．
C．
1

4
1

2










B．
D．
π

8
π

4
3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z满足
R
，则
zR
；
z
p
2
：若 复数
z
满足
z
2
R
，则
zR
； p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；

p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

4．记
S
n
为 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4< br>a
5
24
，
S
6
48
，则
{ a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8 < br>5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围
是
A．
[2,2]

6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
)(1x)
6
展开式中
x
2
的系数为
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
7．某 多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为
2， 俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10 B．12 C．14 D．16
和两个空白框中，可以分别填入 8 ．右面程序框图是为了求出满足3
n
−2
n
>1000的最小偶数n，那么在

A．A>1 000和n=n+1
B．A>1 000和n=n+2
C．A

1 000和n=n+1
D．A

1 000和n=n+2
9．已知曲线C
1
：y=cos x，C
2
：y=sin (2x+
2π
)，则下面结论正确的是
3

A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍， 纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
到曲线C
2
B．把C
1
上各 点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
到曲线C
2
C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
到曲线C
2
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
得到曲线C
2
< br>π
个单位长度，得
6
π
个单位长度，得
12
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得
26
1
π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，
212
10．已知F为抛物线C： y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，直线l
1
与C交于A、B两点，
直线l
2
与C交于D、E两点，则 |AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10 11．设xyz为正数，且
2
x
3
y
5
z
，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习 数学的兴趣，他们推出了“解数
学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案 ：已知数列1，1，2，1，2，4，
1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2< br>0
，接下来的两项是2
0
，2
1
，再接下来的三项是2
0
，
2
1
，2
2
，依此类推.求满足如下条件的学科网& 最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么
该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

x2y1

14．设x，y满足约束条件

2x y1
，则
z3x2y
的最小值为 .

xy0

x
2
y
2
15．已知双曲线C：
2< br>
2
1
（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆 A与双曲线
ab
C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为___ _____。
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中 心为O。D、E、F为圆O
上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的 等腰三角形。沿虚线剪开后，分别
以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的
边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm
3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22 、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
a
2
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，且
BAPCDP90
.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，
APD90
，求二面角A-PB- C的余弦值.
19
．（
12
分）

为了监控某种零件的一 条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个零件，并测量其
尺寸（ 单位：
cm
）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态 分布
N(

,

2
)
．

（1
）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其 尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，
求
P(X1)
及
X
的数学期望；

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3
,

3

)
之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：

9.95
10.26
10.12
9.91
9.96 9.96 10.01
9.22
9.92 9.98 10.04
9.95 10.13 10.02 10.04 10.05

1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
，
s
经计算 得
x
(x
i
x)(

x
i
16x
2
)
2
0.212
，其中
x
i
为抽取< br>

16
i1
16
i1
16
i1的第
i
个零件的尺寸，
i1,2,,16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为

的估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需对当用样本平均数
x
作为

的估计值
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的学科网数据，用剩下的数据估计

和

（精确到天 的生产过程进行检查？剔除
(

0.01
）．

附：若随机 变量
Z
服从正态分布
N(

,

2
)，则
P(

3

Z

3
< br>)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．

20.（12分）
33< br>x
2
y
2
已知椭圆C：
2

2
=1
（a>b>0），四点P
1
（1,1），P
2
（0,1），P
3
（–1，），P
4
（1，）中恰有
22
ab
三点在椭圆 C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A ，B两点.若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为–1，证明：l过
定点.
21.（12分）
x
2
x
ae+(a2) e
已知函数
（
﹣﹣
x.
fx)
（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2
）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围
.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线 l的参数方程为
ysin

,


xa4t,（t为参数）
.

y1t,

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为
17
，求a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x
2
+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.