山东省水利学院-放飞希望

2020高考最后冲刺必刷
2020高考最后冲刺30天高考押题猜题全真十套（5）
数学

第I卷（必做题，共160分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选 择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一 、填空题：本题共
14
个小题，每题
5
分，满分
70
分.
1
．设集合
Pxlnx0
，
Qx1x2
，则
PIQ
__________
．

【答案】

1,2


【解析】
Q
Px lnx0xx1
，
Qx1x2
，

PQx1x 2

1,2

.



rrrr
rr
rr
2
．已知向量
a
，
b< br>满足
ab1
，
b2
，则
3a2bb
__ ________
．


【答案】
-5
rrrrrr< br>2
【解析】根据题意可得：
3a2bb3ab2b385
.

3
．已知复数
2ai
1bi
，其中
a< br>，
bR
，
i
是虚数单位，则
abi
_____ _____
．

i
【答案】
5

【解析】由
2ai
1bi
,
得
2aii

1bi

bi,a1,b2
,
则
i
abi12i, abi12i

1

2
2
2
5
.
4
．已知抛物线
C:y
2
2px(p0)
的焦点为
F
，直线
l:yx1
经过点
F
，且分别交C
于
A
、
B
两点，
则
AB
____ _____
．

【答案】
8
【解析】因为直线
l:yx 1
经过点
F
，所以
F

1,0

，故< br>p
1
即
p2
，所以
C:y
2
4x.
2
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷 < br>
y
2
4x
设
A

x
1
,y
1

,B

x
2
,y
2
< br>，由

可得
x
2
6x10
，故
x1
x
2
6
，故

yx1
ABx1
1x
2
1x
1
x
2
28.
5
．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各
3
名同学在期末考试中的数学 成绩，则方差较小的那组同学成绩的方
差为
________
．


【答案】
14

3
【解析】因为方差越小成绩越稳定，所以方差较小 为乙组同学，方差为
(2)
2
(1)
2
(3)
2< br>14
x92,s
.
33
2
6
．秦九韶是我国 南宋时期的数学家，普州
(
现四川省安岳县
)
人，他在所著的《数书九章》中 提出的多项式
求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算 法求某多项式
值的一个实例，若输入
x
的值为
2
，则输出
v
的值为
_________
．


【答案】
192
【解析】初始：
v=1
，
k=1
；

第一步：< br>v=1×2+2
1
=4
，
k=2
；

第二步 ：
v=4×2+2
2
=12
，
k=3
；

坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
第三步：v=12×2+2
3
=32
，
k=4
；

第四 步：
v=32×2+2
4
=80
，
k=5
；
第五步：
v=80×2+2
5
=192
，
k=6
；
因为此时
k5
,
故停止循环
,
输出
v的值为
192.
7
．已知函数
f(x)
是定义在
R< br>上的周期为
2
的奇函数，当
0x1
时，
f(x)2x
，则
f(1)f()
_______.
【答案】
2

【解析】因为函数
f(x)
是定义在
R
上的周期为
2
的奇函数，故
f

1

f

1

且
f

1

 f

1

，

1
3111
所以
f

1

f

1

即
f< br>
1

0
.
又
f()f(2)f() f()2
2
2
，所以
2222
3
2
3< br>f(1)f()2
.
2
*
8
．设数列
< br>a
n

的前
n
项和为
S
n
，若S
2
4,a
n1
S
n
1,nN
，则
S
5

___________.
【答案】
39
【解析】因为
a
n1
S
n
1
，所以
Sn1
S
n
S
n
1
即
S
n1
2S
n
1
，所以
S
3
2S
2
19,S
4
2S
3
119,S
5
2S
4
139
.
9
．某兴趣小组有
2
名女生和
3
名男生，现从中任选
2
名学生去参加活动，则至多有一名男生的概率为
__ _____.
【答案】
7

10
211
C
2< br>C
3
167
2
【解析】从
5
名同学中任选2
名学生，共有
C
5
10
种选法，至多有一名男生的情况有< br>C
2
种选法，

至多有一名男生的概率
p
7
.
10
10
．已知直线
ykx1
与抛物线
x
2
8y
相切，则双曲线
x
2
k
2
y
2
1
的离心率为
_________
．

【答案】
3

【解析】由


ykx1
1
22
2
Q
64k320,k
，得，直线与抛物线相 切，，

x8kx80
2
x8y
2

2< br>2
c
y

双曲线方程为
x1
，可得
a 1,c3
，所以离心率
e3
.
a
2
11
． 如图，五边形
ABCDE
由两部分组成，
△ABE
是以角
B
为直角的直角三角形，四边形
BCDE
为正方形，
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
现将该图形以
AC
为轴旋转一周 ，构成一个新的几何体
.
若形成的圆锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱
的体积之比 为
_________.

【答案】
3

3
【解 析】设正方形
BCDE
的边长为
r
，
AB
长为
h< br>，则圆锥的侧面积
S
1


rr
2
h< br>2
，圆柱的侧面积
S
2
2

r
2
，由
S
1
=S
2
得：

rr
2
h
2
2

r
2
，解得：
h3r
，< br>
1
2

rh

圆锥和圆柱的体积之比为
3
3
.


r
3
3
12
．将函 数
f(x)sin2x
的图象向右平移

个单位后得到函数
g(x )
的图象，若
x
1
,x
2
满足
6
f(x< br>1
)g(x
2
)2
，则
x
1
x
2
的最小值为
_________
．

【答案】


3




g (x)sin2x2sin2x
【解析】

，故
g(x)< br>的值域为

1,1

.
6

3

又
f(x)
的值域为

1,1

，而f(x
1
)g(x
2
)2
，所以
f
x
1

1,g

x
2

1或
f

x
1

1,g

x
2

1
.
若
f

x
1
< br>1,g

x
2

1
，则
2x
1
2k


同理
x
2
l



2
,kZ
即
x
1
k

< br>
4
,kZ
.

12
,lZ
，因此< br>x
1
x
2
n



3
,nZ
，此时
x
1
x
2
min

< br>3
.
若
f

x
1

1,g< br>
x
2

1
，则
2x
1
2k< br>

同理
x
2
l



2
,kZ
即
x
1
k



4
,kZ
.
2


5

,nZ
，此时
x
1
x
2
min

.
,l Z
，因此
x
1
x
2
n


3
123
13
．当
x

1,4

时，不等 式
0ax
3
bx
2
4a4x
2
恒成立，则
7ab
的取值范围是
__________
．

【答案】
4,8

坚持就是胜利！



2020高考最后冲刺必刷
【解析】因为
0ax3
bx
2
4a4x
2
对
x

1,4

恒成立，两边同除以
x
2
得
0
a

x


4

b
4
对
2

x

x

1,4

恒成立，故令tx
48
x1,4



t1
， ，不等式转化为，，令
t

0
得
x2
，
0atb4
23
xx
所以
x

1,2

，
t

0
，
t
单调递减，
x

2,4

，
t

0
，
t
单调 递增，所以
x2
时，
t
取最小值为
3
，当
x1
时，
t5
；当
x4
时，
t

03 ab4
17
,
所以
t
的值域为

3,5

，根据一次函数保号性可知
,


05ab4
4


3m5n7

m1
，解得

，所以
4
7ab8
.
mn1
n2



令
m

3ab

n

5ab

7ab
，得

14
．已知圆
O: x
2
y
2
4
点
A

2,2

，直线
l
与圆
O
交于
P，Q
两点，点
E< br>在直线
l
上且满足
PQ2QE
.
若
AE
2
2AP
2
48
，则弦
PQ
中点
M
的横 坐标的取值范围为
_____________.


1717< br>
,

【答案】



22

【解析】设
M

x
M
,y
M

，

①当直线
l
斜率不存在时，直线方程为
l:x0
，此时
P

0,2

，
Q

0,2

，

E

0,4

，
AE
2
448
，
AP
2
41620
，满足
A E
2
2AP
2
48
，此时
x
M
0< br>；

QPQ2QE
，

②当直线
l
斜率 存在时，设其方程为：
ykxm
，

Ql
与圆
O
有两个不同交点，

m
k1
2
2
，即
m2
4k
2
4



，


ykxm
222
由

2
得：

1 k

x2kmxm40
，设
P

x
1,y
1

，
Q

x
2
,y
2

，
E

x
0
,y
0


2

xy4
2m
2km
m
2
4yykxmkxmkxx2m
则
x
1
x
2

，，，

xx

121212
122
2
1k
2
1k
1k
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
m
2
4k
2
.
y
1
y
2

kx
1
m

kx
2
m
kx
1
x
2
km

x
1
x
2

m
2
1k
22
3x
2< br>x
1

x


0

2
，

QPQ2QE
，


x
2
x< br>1
,y
2
y
1

2

x
0
x
2
,y
0
y
2

，解得：
3yy

y
21
0

2
22

3xx
1

3yy

由
AE
2
2AP
2
48
得：

2
2< br>


21
2

2

x
1
2

2

y
1
2

 48
，

2

2

22
整理得：9

x
1
x
2

9

y
1
y
2

24x
1
x
2
2 4y
1
y
2
24

x
1
x
2
y
1
y
2

96
，

22
4m
2
2m
2
44k
2
2m2km
2
，整理得：
38832
m4km4m
，

2 22
1k1k1k
当
m0
时，
x
M
x
1
x
2
0
；

2
2
当
m0
时，
m4k4
，代入



式 得：

4k4

4k
2
4
，

解得：
4747
，

k
33
x
1
x
2
km4k4k
2
1k
，

x
M
44
222
21k1k1k
1
 x
M
44
47
2
，

Q1
，
1k2

3
1k
当
2
4747< br>y1k
时，单调递增，


k
1k
3 3
y4

4747

,
2
在
 

上单调递减，

2


1k
< br>
33

1k
4


1717

x
M


,


，

22

综上所述：弦
PQ
中点
M
的横坐标的 取值范围为



1717

,


.
22

二、解答题：本大题共
6
小题，共
90
分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
15
．如图，四棱 锥
PABCD
中，
PA
平面
ABCD
，
ADB C
，
ABAD
，
AD2BC
，
M
点在线
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
段
PD
上，且满足
MD2PM
.

（
1
）求证
:
ABPD
；

（
2
）求证
:
PB
平面
MAC
.
【解析】（
1
）∵四棱锥
PABCD
中，

PA
平面
ABCD
，


ABÌ
平面< br>ABCD
，∴
ABPA
，又
ABAD
，

PA,AD
平面
PAD
，

PAADA
，

∴
AB
面
PAD
.
PD
面
PAD
，∴
ABPD
.
（
2
）连结
BDACO
，∵
ADBC
，

AD 2BC
，
DO2BO
，在
PBD
中，连结
MO
，

∵
DM2MP
，∴
PBMO
，

又
PB
面
MAC
，
MO
面
MAC
，∴
PB
面
MAC
.

2
1
a
16
．在
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别是
a,b,c< br>，
ABC
的面积为
，且
cosBcosC
.
6
3sinA
（
1
）求角
A
的值；

（
2
）若
bc33
，求
a
的值
.
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
1a
2
【解析】（
1
）由题意得：
bcsinA
，由正弦定理得：
23sinA
1(2R)
2
sin
2
A
2< br>（
R
为
ABC
外接圆的半径）

(2R)sinB sinCsinA
23sinA
sinBsinC
2
，

3
1
，

2
cosAcos(BC)cosB cosCsinBsinC
Q
A

0,


，
A

.
3
2R
a
sin
（2
）由正弦定理可得

3

23
a
3
，

3339
a
2
1
22
又
bcsin A
，故
abcsinAbcbc
.
2248
3sin A2
由余弦定理得：
abc2bccos
222

3
88
a
2
333bc333a
2
33a
2
，
a3
.
93
b
2
c
2
bc(bc)
2
3bc

222
17
．已知m0
，
n0
且
mn
，圆
M:(xm)y4 n
，点
N

m,0

，
P
是圆
M
上的动点，线段
PN
的垂直平分线交直线
PM
于点
Q
，点
Q
的轨迹为曲线
C
.
（
1
）讨论曲线
C
的形状，并求其方程；

（2
）若
m1
，且
QMN
面积的最大值为
3
，直线
l
过点
N
且不垂直于坐标轴，
l
与曲线
C< br>交于
A,B
，
点
B
关于
x
轴的对称点为D
．求证：直线
AD
过定点，并求出该定点的坐标
.
【解析】 当
mn
时，点
N
在圆
M
内，
QNQMQP QM2nMN2m
，

x
2
y
2
故曲线C
是以
M,N
为焦点，以
2n
为长轴长的椭圆，其方程为
2

2
1
.
2
nnm
当
mn< br>时，点
N
在圆
M
外，
QMQNQMQP2nMN 2m
，

x
2
y
2
曲线
C
是以< br>M,N
为焦点，以
2n
为实轴长的双曲线，其方程为
2
2
1
.
2
nmn
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
22
xy
综上，当
m n
时，曲线
C
是椭圆
,
其方程为
2

2< br>1
；当
mn
时曲线
C
是双曲线
,
其方程 为
2
nnm
x
2
y
2

2
1
；

22
nmn

（
2
）由
QMN
面积有最大值为
3
知，曲线
C
只可能是椭圆，
< br>由椭圆几何性质知，当
Q
位于短轴端点时其面积有最大值，因
MN2m2< br>，

x
2
y
2
故其短半轴长为
3
， 又因焦距为
2
，故曲线
C
的方程为
1
.
43
设
l:xty1,(t0)
，
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
D(x
2< br>,y
2
)
，


x
2
y
2
1


22
联立

4
，消去
x
得：
(3t4)y6ty90
，

3

xty1

y
1
y
2

6t9
,yy
，

12
3t
2
43t
2
 4
y
1
y
2
(xx
1
)
，

x
1
x
2
直线
AD:yy
1

由椭圆的对称性知，若直线
AD
过定点
M
，则该定点
M
必 在
x
轴上，

故令
y0
得：
x
M

x
2
y
1
x
1
y
2
2ty
1
y
2
14
，所以直线
AD
过定点
(4,0)
.
y
1
y
2
y
1
y2
18
．如图，某公园有三条观光大道
AB
、
BC
、< br>AC
围成直角三角形，其中直角边
BC200m
，斜边
AB400 m
，现有甲、乙、丙三位小朋友分别在
AB
、
BC
、
AC< br>大道上嬉戏，所在位置分别记为点
D
、
E
、
F
. < br>（
1
）若甲乙都以每分钟
100
m
的速度从点
B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟
2
分钟出发，当乙出发
1
分钟后，求此时甲乙两人之间的距离；

（
2
）设
C EF

，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的
2
倍，且
DEF< br>示为

的函数，并求甲乙之间的最小距离
.

3
，请将甲乙之间的距离
y
表
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷

【解析】
(1)
依题 意得
BD=300
，
BE=100
，在三角形
ABC
中cosB
由余弦定理得

BC1

B
在三角形
BDE
中，
AB23
DE
2
BD
2
B E
2
2BDBEcosB
300
2
100
22300100
70000,DE1007
（
2
）由题意 得
EF2DE2y,BDECEF

，在直角三角形
CEF中，
1
2

CEEFcosCEF2ycos

，

在三角形
B DE
中由正弦定理得
BEDE2002ycos

y
,

sinBDEsinDBEsin

sin60
o
y< br>1003503

,0


2

3c os

sin

sin






3

π
时，
y
有最小值
503
.
即甲乙之间的最小距离为
503m
.
6
所以当


19
．已知函数
f(x)xln(ax
2
b)
，其中
a0
．

（
1
）若
b1
时，函数
f(x)
有两个极值点
x
1
,x
2
(x
1
x
2
)
，求
a
的取值范围，并证明
f (x
1
)f(x
2
)22ln2
；

（2
）若
a
e
时，不等式
f(x)0
对于任意
x0
总成立，求实数
b
的取值范围．

2
2
【 解析】（
1
）
f(x)xln(ax1)
，
Qa0
，

其定义域为
R
.
2axax
2
2ax1
由已知，
f

(x)1
2
在
R
上有两 个零点，


2
ax1ax1
即方程
ax
2< br>2ax10
有两个不等实根
x
1
,x
2
(x< br>1
x
2
)
，

坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
4a
2
4a0
，结合
a0
得，
a1
.
由二次方程根与系数的关系知，x
1
x
2
2,x
1
x
2

2
f(x
1
)f(x
2
)(x
1
x
2
)ln[(ax
1
2
1)(ax
2
1)]

2
(x
1
x
2
)ln[a
2
( x
1
x
2
)
2
a(x
1
2
x
2
)1]
2ln(4a)
.
1
2
2
2
,x
1
x
2
4
，

aa
又由于
a1
，故
2ln4a2ln422ln2
，

故
f(x
1
)f(x
2
)22ln2
. < br>（
2
）当
a
e
2
e
时，
f(x) xln(xb)
，

2
2
e
2
xb0
总成立，得
b0
.
2
e
2
e
2x
又不等式
f(x)0
等价 于
xln(xb)
，即
bex
对于
x0
总成立< br>.
22
e
2x
x
设

(x)ex,x 0
，则


(x)eex
，

2
注 意到
x0
时
设

(x)


(x)< br>，则


(x)ee
，

x
当
x[0,1)
时


(x)0
，

(x)是减函数；

当
x(1,)
时


(x )0
，

(x)
是增函数
.
所以


(x)

(x)

(1)0
，故

(x)
在
[0,)
是增函数，



(x)< br>min


(0)1
，故
b1
，结合
b 0
，所以
0b1
.
20
．设数列

an

（任意项都不为零）的前
n
项和为
S
n
， 首项为
1
，对于任意
nN

，满足
S
n

（
1
）数列

a
n

的通项公式；
（
2
）是否存在
k,m,nN

a
na
n1
.
2

kmn

使得
a,a
km
42
,a
n
成等比数列，且
16a
k
,a
m
,a
n
成等差数列？若存在，试求
kmn
的值；若不存在，请说明理由；




a
n
, n2k1,kN
（
3
）设数列

b

，b
n


n1
，若由

b
n

的前
r
项依次构成的数列是单调递增数列，

q,n2k,k Nq0



求正整数
r
的最大值
. 【解析】（
1
）
Q
数列

a
n
是非零数列，
a
n
0
.
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
当
n1
时，
a
1
S
1

a
1
a
2
，
a< br>2
2
；

2
a
n
a
n1
a
n1
a
n

，
a
n1
an1
22
当
n2
且
nN

时，
a
n
S
n
S
n1

2
，



a
2n1

是首项为
1
，公差为< br>2
的等差数列，

a
2n

是首项为
2，公差为
2
的等差数列，

a
2n1
a
1
2

n1

2n1
，
a
2n< br>a
2
2

n1

2n
，

a
n
n

nN


.
（
2
）设存在
k,m,nN


kmn
，满足题意，

Qa
k
,a
m
,a
n
成等比数列，
m
2
kn
；

42
Q16ak
,a
m
,a
n
成等差数列，
2m
4
16kn
2
，

消去
m
可得：
2k
2
n
2
16kn
2
，
n
2
16k
，

2k
2
1
Qkmn
，
n3
，

16k
13
8
，解得：，

0 k
2k
2
1
2
QkN

，
k1
，
n4
，
m2
，
kmn7
. （
3
）若

b
n

是单调递增数列，则
n
为偶数时，
n1q
n1
n1
恒成立，
ln

n1

ln

n1

两边 取自然对数化简可得：，显然
q1
，

lnq
n1n1< br>设
f

x


lnx1lnx
，则
f


x


，

2
xx
当
x

0,e

时，
f


x

0
；当
x

e,
时，
f


x

0
，

 f

x

在

0,e

上单调递增，在< br>
e,

上单调递减，

f

x

在
xe
处取得极大值，
< br>
当
n4
时，
ln3
ln

n1

ln

n1

ln1ln3

是递减数列， 又，

是的最大值，

13
3
n1n1
lnq
ln3
；

3
x2
ln

x2

ln

x2

1ln

x2

设
g

x


，


x1

，则
g< br>

x


x2x2
0
x
x
2
x
2
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
ln9ln3
ln

n 1

ln7ln3

n8

是递减数列，当时，，当时 ，，

n6

53
73
n1

当2n6
时，存在
q3
3
，使得
n1q
n1
n1
恒成立；

当
n8
时，
q
n 1
1
n1
不成立，


至多前
8
项是 递增数列，即正整数
r
的最大值是
8
.
第II卷（附加题，共40分）理科附加题

ur

7
< br>
43

21
．已知矩阵
M

，向量



5

.
21


（
1
）求矩阵
M
的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；

（
2
）求
M
3

.

【解 析】（
1
）矩阵
M
的特征多项式为
f(

)(< br>
1)(

2)
，令
f(

)0，可求得特征值为

1
1
，

2
2
，

x


1
设
1
对应的一个特征向 量为



，则由

1

M

，得
3x3y0
，可令
x1
，则
y1
，


y


1


1所以矩阵
M
的一个特征值
1
对应的一个特征向量为

，


1

同理可得矩阵
M
的一个特征值

2
2
对应的一个特征向量为

．

2


3

1

3

49

r

7

1

3
r
3（
2
）





2
g

，所以
M



22



．


5

1
2

1

2

33


3

22
．在极坐标系中
,
已知圆
C
经过点P

2,
坐标方程
.




，圆心为直线

sin



3


2
与极轴的交点，求圆
C
的极
4





3


3
133

【解析】由直线

sin





得 ：

sin


，


cos


3

2

222

直线的直角坐标方程 为：
3xy30
，

直线与
x
轴交点为
< br>1,0

，

又
P
的直角坐标为

1,1

，

圆
C
的半径
r1
，

坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷

圆
C
的方程为：

x1

y
2
1
，即
x
2
y
2
2x0
，

2


2
2

cos

0
，


0
或

2cos

，

又

0
表示极点，也在圆上，

圆
C
的 极坐标方程为：

2cos

.
23
．如图，几何体< br>EFABCD
中，平面
ABCD
平面
EFCD
，四边形< br>CDEF
为边长为
2
的正方形，在
等腰梯形
ABCD
中，
ABCD
，
AD2
，
AB4
.

（
1
）求证：
ACFB
；

（
2
）求二面角
EFBD
的余弦值
.
【解析】
(1)
证明：


过点
C
作
CHAB
于
H
.
QABCD
为等腰梯形，则
ABCD
，

又
ADDC2
，
AB4
，

o
< br>BH1
，又
QBC2
，
ABC60，
又
QAB4,BC2
，故
AC1642423
,
故
A C
2
BC
2
AB
2
，
ACBC
.
∵平面
ABCD
平面
EFCD
，
FCCD
，平 面
ABCDI
平面
EFCDCD
，

∴
FC
平面
ABCD
.
∵
AC
平面
ABCD
，
ACFC
，又
QACBC
，
BC FCC

坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
∴
AC
平面
BFC
，∵
FB
平面
BF C
，所以
AC
FB
.

（
2
）解：以
CA
方向为
x
轴，
CB
方向为
y
轴，CF
方向为
z
轴建立空间直角坐标系，

则
A23,0 ,0
，
B

0,2,0

，
F

0,0,2

，
D(3,1,0)
.

uruur< br>设平面
EFB
和平面
DFB
的法向量分别为
n
1

x
1
,y
1
,z
1

和
n
2


x
2
,y
2
,z
2

，

uuuvuv
ur


BF n
1
0


2y
1
2z
1
0
uvuv
则

uu
即

，取
x
1
1
得：
n
1
1,3,3
，

BA n0
23x2y0


1

11

uuuvuuv
uur


BFn

2y
2
2z
2
0
2
0
uuuvuuv
又

即

，取
y
2
1
得：
n
2< br>3,1,1
，

DFn0
3xy2z0

2

222



uruur
则
cosn
1
,n
2

333105
，


35
133311
3105
.
35
∴二面角
EFBD
的余弦值为
24
．设
N
为正整数，区 间
I
k
[a
k
,a
k
1]
（其中a
k
R
，
k1,2,L,N
）同时满足下列两个条件：
①对任意
x[0,100]
，存在
k
使得
xI< br>k
；

②对任意
k

1,2,L,N
< br>，存在
x[0,100]
，使得
xI
i
（其中
i 1,2,L,k1,k1,L,N
）．

（
Ⅰ
）判断
a
k
(k1,2,L,N)
能否等于
k1
或
（
Ⅰ
）求
N
的最小值；

（
Ⅰ
）研究
N是否存在最大值，若存在，求出
N
的最大值；若不在在，说明理由．

【 解析】（
Ⅰ
）
a
k
可以等于
k1
，但
a
k
不能等于
k
1
；

2
k
1
；（结论不需要证明）．

2
（
Ⅰ
）记
ba
为区间

a,b

的长度，则区间< br>
0,100

的长度为
100
，
I
k的长度为
1
．

100
．

由①，得
N≥
坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
又因为
I
1


0,1

，
I
2


1,2

，
L
，
I
100


99,100

显然满足条件①，②．

所以
N
的最小值为
100
；

（
Ⅰ
）
N
的最大值存在，且为
200
．

解答如下：（
1
）首先，证明
N
≤
200
．

由②，得
I
1
、
I
2
、
L
、
I
N
互不相同，且对于任意
k
，
I
k
不妨 设
a
1
a
2
La
n
L
．

如果
a
2
≤0
，那么对于条件②，当
k1
时，不 存在
x

0,100

，使得
xI
i
这与题意不符，故
a
2
0
.
如果
a
k1≤
a
k1
1
，那么
I
k
I
0,100


．


i1,2,L,N

．



I
k1
UI
k1

，

这与条件②中
“
存在
x

0,100

，使得
xI
i
（其中
i1
、
2
、
L< br>、
k1
、
k1
、
L
、
N
）”
矛盾，故
a
k1
a
k1
1
．

所以
a
4
故
a
2
1
，
a
6
a
4
12
，
L
，
a
20 0
a
198
199
，则
a
200
110 0
．


0,100



I
1
UI
2
ULUI
200

．


i1,2,L,200

”
矛盾，

若存在< br>I
201
，这与条件②中
“
存在
x

0, 100

，使得
xI
i
所以
N
≤
200
．

（
2
）给出
N200
存在的例子

．

令
a
k

1100
100



k1

，其中
k1
、
2
、
L
、
200
，即
a
1
、
a
2
、
L
、
a
200
为等差数列，公差
d
．
2199199
由
d1
，知
I
k
II
k1

，则易得
I
1
U
I
2
ULU
I
200


,
，



22

所以
I
1
、
I
2
、
L
、
I
200
满足条件①．

又公差
d
所以
1201

1001

，

1992
1001 00100

k1

I
k
，

k1

I
i

i1,2,L,k1,k1,L,N
< br>．

k1


（注：
199199199
为区间
I
k
的中点对应的数）

坚持就是胜利！

2020高考最后冲刺必刷
所以
I
1
、
I
2
、
L
、
I
200
满足条件②．

综合（
1
）（
2
）可知
N
的最大值存在，且为
2 00
．



坚持就是胜利！