国定假日-请假条

三角函数：

知识点一：锐角三角函数的定义：
一、 锐角三角函数定义：
在Rt△ABC中，∠C=90, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
则∠A的正弦可表示为：sinA= ，
∠A的余弦可表示为cosA=
∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数

【特别提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示 的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比
值只与 有关，与直角三角形的 无关
2、取值范围 】

例1．如图所示，在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°．
0

第1题图
①
sinA
②
c osA
③
tanA
(
斜边
(
斜边
)
)
＝______，
＝______，
sinB
cosB
ta nB
(
斜边
(
斜边
)
)
＝______；
＝______；
()
＝______，
A的邻边
B的对边
＝______．
()
例2. 锐角三角函数求值：
在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，若
a
＝9，
b
＝12，则
c
＝______，
sinA
＝______，cos
A
＝______，tan
A
＝__ ____，
sin
B
＝______，cos
B
＝______， tan
B
＝______．

例3． 已知：如图，Rt△
TNM
中，∠
TMN
＝90°，
MR
⊥
TN
于
R
点，
TN
＝4，
MN
＝3． < br>求：sin∠
TMR
、cos∠
TMR
、tan∠
TMR．

典型例题：
类型一：直角三角形求值
3
1．已知Rt △
ABC
中，
C90,tanA,BC12,
求
AC、
AB
和cos
B
．
4




2．已知：如图，⊙
O
的半径
OA
＝16cm，
OC
⊥
AB
于
C
点，
sinAOC
求：
AB
及
OC
的长．
3


4

3
3．已知：⊙
O
中，
OC
⊥
AB
于
C
点，
AB
＝16cm，
sinAOC

5
( 1)求⊙
O
的半径
OA
的长及弦心距
OC
；
(2)求cos∠
AOC
及tan∠
AOC
．



4. 已知
A
是锐角，
sinA



对应训练：
8
，求
cosA
，
tanA
的值
17

（西城北）3．在Rt△
ABC
中，∠
C＝90°，若
BC
＝1，
AB
=
5
，则tan
A
的值为
A．
5
1
25
B． C． D．2
5
5
2
3
(房山)5．在△< br>ABC
中，∠
C
=90°，
sin
A=，那么
tan
A的值等于（ ）.
5
3
434
A
．
B
.
C
.
D
.
5
543

类型二. 利用角度转化求值：
1．已知：如图，Rt △
ABC
中，∠
C
＝90°．
D
是
AC
边 上一点，
DE
⊥
AB
于
E
点．
DE
∶
AE
＝1∶2．
求：sin
B
、cos
B
、tan
B
．

2． 如图，直径为10的⊙
A
经过点
C(0，5)
和点
O (0，0)
，与
x
轴的正半轴交于点
D
，
B
是y
轴右侧圆弧上一点，则cos∠
OBC
的值为（ ）
A．






3
3
1
4
B． C． D．
2
5
5
2
y
C< br>O
A
B
D
x
第8题图
3.（2009·孝感中考）如 图，角

的顶点为
O
，它的一边在
x
轴的正半轴上，另一边
OA
上
有一点
P
（3，4），则
sin


．

4.（2009·庆阳 中考）如图，菱形
ABCD
的边长为10cm，
DE
⊥
AB
，
sinA
3
，则这个菱形
5

的面积= cm．

5.（2009·齐齐哈尔中考）如图，
⊙O
是
△ABC
的外接圆，
AD
是
⊙O
的直径，若
⊙O
的
半径为
2
3
，
AC2
，则
sinB
的值是（ ）
2

A．
2334
B． C． D．
3243
6. 如图4，沿
AE
折叠 矩形纸片
ABCD
，使点
D
落在
BC
边的点
F处．已知
AB8
，
BC10
，AB=8,则
tan∠EFC
的值为 ( )

A

D

E

34
Ａ． Ｂ．
43
3
Ｃ．
5
4
B

Ｄ．
5
F

C


7. 如图6，在等腰直角三角形
ABC
中，
C90，
AC6
，
D
为
AC
上一点，若
tanD BA
1
，则
AD
的长为( )
5
A．
2
B．
2

C．
1
D．
22


8. 如图6，在Rt△
ABC
中，∠
C
=90°，
AC
=8，∠
A
的平分线
数及边
BC
、
AB
的长.
AD
=
163
求 ∠
B
的度
3

A
C
D
B

图6




类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 （2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=4 5°，AC=2
3
，求AB的长．


例2．已知：如图，△ABC
中，
AC
＝12cm，
AB
＝16cm，
sin A
(1)求
AB
边上的高
CD
；
(2)求△
ABC
的面积
S
；
(3)求tan
B
．
例3．已知：如图，在△
ABC
中， ∠
BAC
＝120°，
AB
＝10，
AC
＝5．
求：sin∠
ABC
的值．
1


3


对应训练
1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， 点D在BC边上，且△ABD是等边三
角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△
ABC
中，
AB< br>＝9，
BC
＝6，△
ABC
的面积等于9，求sin
B
．

3. ABC
中，∠
A
=60°，
AB
=6 cm，
AC
=4 cm，则△
ABC
的面积是
3
cm
2

3
cm
2










3
cm
2

2
cm

类型四：利用网格构造直角三角形

例1 （2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）
A．
1
51025

B． C． D．
2
5105


对应练习：
1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.




2．如图，
A
、
B
、
C< br>三点在正方形网络线的交点处，若将
ABC
绕着点
A
逆时针旋转得到
AC'B'
，则
tanB'
的值为
A.



3．正方形网格中，
∠AOB
如图放置，则tan
∠AOB
的值是（ ）
5
A．
5
25 1
B. C. D. 2
52
A
AB
C
1
1
1
B. C. D.

1

3
42
O
B

特殊角的三角函数值

锐角
sin
cos
tan
30°



45°



60°









当 时，正弦和正切值随着角度的增大
而 余弦值随着角度的增大而

例1．求下列各式的值．

（昌平）1）.计算：
2cos302sin45tan60
．


（朝阳）2）计算：
tan60sin452cos30
.


（2009·黄石中考）计算：3+(2π－1)－



－10

2
3
tan30°－tan45°
3

3

1

2cos60sin45

tan30

(石景山)4．计算：

．
22



(通县)5．计算：


0
tan45sin30
；
1cos60

例2．求适合下列条件的锐角
(1)
cos





(3)
sin2




（5）已知< br>


（6）在
ABC
中，若
cosA
数.



例3. 三角函数的增减性
1．已知∠A为锐角，且sin A <
0
为锐角，且
tan(

30)
．
(2)
tan


1

2

3

3
2

2
(4)
6cos(

16

)33

3
，求
tan

的值
12
2
(sinB)0
，
A，B
都是锐角，求
C
的度
22
1
，那 么∠A的取值范围是
2
A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°
2. 已知A为锐角，且
cosAsin30
，则 （ ）
A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°


例4. 三角函数在几何中的应用
1．已 知：如图，在菱形
ABCD
中，
DE
⊥
AB
于
E< br>，
BE
＝16cm，
sinA
求此菱形的周长．
0
12


13

2． 已知：如图，Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
ACBC3，作∠
DAC
＝30°，
AD
交
CB
于
D点，求：
(1)∠
BAD
；
(2)sin∠
BAD
、cos∠
BAD
和tan∠
BAD
．




3. 已知：如图△
ABC
中，
D
为
BC
中点，且∠
BAD
＝90°，
tanB
1
，求：sin∠CAD
、cos∠
3
CAD
、tan∠
CAD
．

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
sinB
的值．



3
，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD
5
A

5.（本小题5分）如图，△
ABC
中，∠ A=30°，
tanB
B
D
C
3
，
2
C
A
B
AC43
．求AB的长.

解直角三角形：
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：
在Rt△< br>ABC
中，∠
C
＝90°，
AC
＝
b
，BC
＝
a
，
AB
＝
c
，
①三边之间的等量关系：________________________________．
②两锐角之间的关系：__________________________________．
③边与角之间的关系：
sinAcosB
______；
co sAsinB
_______；
tanA
1
1

_ ____；
tanB
______．
tanA
tanB
④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．
在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
CD
⊥
AB
于
D
．
CD
2
＝_________；
AC
2
＝_________；
BC
2
＝_________；
AC
·
BC
＝__ _______．

类型一
例1．在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°．
(1)已知：
a
＝35，
c352
，求∠
A
、∠
B
，
b
；



(2)已知：
a23
，< br>b2
，求∠
A
、∠
B
，
c
；



(3)已知：
sinA



(4)已知：
tanB


2
，
c6
，求
a
、
b
；
3
3
,b9,
求
a
、
c
；
2

(5)已知：∠
A
＝60°，△ABC
的面积
S123,
求
a
、
b
、
c
及∠
B
．




例2．已知：如 图，△
ABC
中，∠
A
＝30°，∠
B
＝60°，
AC
＝10cm．求
AB
及
BC
的长．




例3．已知：如图，Rt△
ABC
中，∠
D
＝ 90°，∠
B
＝45°，
60°．
BC
＝10cm．求
AD
的长．




例4．已知：如图，△
ABC< br>中，∠
A
＝30°，∠
B
＝135°，
AC
＝10c m．求
AB
及
BC
的长．





类型二：解直角三角形的实际应用
仰角与俯角：
例1．（2012•福 州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如
果此时热气球C处的高度 CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）
∠
ACD
＝

A． 200米

B．
200米
C．
220米
D．
100（）米

例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在
A
点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯 子的
顶端在
B
点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在
D
点．已知 ∠
BAC
＝60°，∠
DAE
＝45°．点
D
到地面的垂直 距离
DE32m
，求点
B
到地面的垂直距离
BC
．

例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高
BD
=30m．
从水平面上一点
C
测得风力发电装置的顶端
A
的仰角∠
DC A
=60°，
测得山顶
B
的仰角∠
DCB
=30°，求风 力发电装置的高
AB
的长．



例4 .如图，小聪用 一块有一个锐角为
30
的直角三角板测量树
高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距
33
米，小聪身高
AB
为米，求这棵树的高度.



例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶
A
处测得河对岸点
C
的俯角为30°，测得岸边
点
D
的俯角为45°，又知河宽
CD为50m．现需从山顶
A
到河对岸点
C
拉一条笔直的缆绳
AC< br>，
求山的高度及缆绳
AC
的长(答案可带根号)．
A
B
D
E
C



例5．（20 12•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物
体AB方向前进2 0米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）

A．
10

例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要 原因之一．上周末，小明和三位同学
尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大 道的距离（AC）为30
米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时 间为8秒，
∠BAC=75°．
（1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米小时的限制速度
（计算时距离精确到1米，参 考数据：sin75°≈，cos75°≈，tan75°≈，
3
≈，60千
米小时≈ 米秒）

米
B． 10米 C．
20米
D．
米



类型四. 坡度与坡角
例．（2012•广安）如图，某水 库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：
3
，堤坝高BC=50m，
则应水坡面AB的长 度是（ ）
A．100m B．100
3
m C．150m D．50
3
m

类型五. 方位角
1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点
A
处测得灯塔
M
在北偏西3 0°，货轮以每
小时20海里的速度航行，1小时后到达
B
处，测得灯塔
M< br>在北偏西45°，问该货轮继续
向北航行时，与灯塔
M
之间的最短距离是多少( 精确到海里，
31.732
)

2．（2012•恩施州）新闻链接，据 [侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退
2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5 条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔
政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东 经110度45分附近海域护渔，保护100
多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国 目前最先进的渔政船正在疾速驰
救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）


解决问题
如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（ C）位于陆地
指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地 指挥

中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里时． 根据以
上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．





综合题：
三角函数与四边形：
（西城二模）1． 如图，四边形
ABCD
中，∠
BAD=
135°，∠
BCD=
90°，
AB=BC=
2，
tan∠
BDC=
6
．
3
(1) 求
BD
的长；
(2) 求
AD
的长．





（2 011东一）18．如图，在平行四边形
ABCD
中，过点
A
分别作
AE
⊥
BC
于点
E
，
AF
⊥
CD
于点
F
．
（1）求证：∠
BAE
=∠
DAF
；
（2）若
AE
=4，
AF
=

三角函数与圆：
24
3
，
sinBAE
，求
CF
的长． 5
5
5)
和点
O(0，0)
，与
x
轴的正半轴 交于点
D
，
B
是
y
1． 如图，直径为10的⊙
A
经过点
C(0，
轴右侧圆弧上一点，则cos∠
OBC
的值为（ ）
A．





3
3
1
4
B． C． D．
2
5
5
2
y
C< br>O
A
B
D
x
第8题图

（延庆）19. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
C
(1) 求证：∠AOD=2∠C
(2) 若AD=8，tanC=





D
4
，求⊙O 的半径。
3< br>A
O
B
（2013朝阳期末）21.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切 ，E为切点.连接CD交⊙O于
点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.
（1）求证:BF是⊙O的切线;

（2）若
cosC







作业：
（昌平）1．已知
sinA
1
，则锐角
A
的度数是
2
4
,
DE
=9，求BF的长．
5
O
D
B
E
F
C
A．
75
B．
60
C．
45
D．
30

（西城北）2．在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，若
BC
＝1，
AB
=
5
，则tanA
的值为
A．
5
1
25
B． C． D．2
5
5
2
3
(房山)3．在△< br>ABC
中，∠
C
=90°，
sin
A=，那么
tan
A的值等于（ ）.
5
3
434
A
．
B
.
C
.
D
.
5
543

B
3
(大兴)4. 若
sin


，则锐角

＝ .
2
(石景山)1．如图，在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90 °，
BC
＝3，
AC
=2， 则tan
B
的值是
A
C

A．

23
B．
32
C．
25

5
D．
213

13
（丰台）5．将∠
α
放置在正方形网格纸 中，位置如图所示，则tan
α
的值是
A．
1
25
5
B．2 C． D．
2
25
α
(大兴)5. △ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则
sin

的值是
3

5
4
C.
3
A.
3

4
4
D.
5
B.
(通县)4．如图，在直角三角 形
ABC
中，斜边
AB
的长为
m
，
B40，
则直角边
BC
的长是（ ）
A．
msin40

C．
mtan40



（通州期末））1．如图，已知
P
是射线
OB
上的任意一 点，
PM
⊥
OA
于
M
，
且
OM
:
OP
=4 : 5，则cos
α
的值等于（ ）
A．

（西城）6．如图，
AB
为⊙
O
的弦，半径
OC
⊥
AB
于点
D
，若
OB
长为
10，
cosBOD
o
o
o











B．
mcos40

D．
o
m

o< br>tan40
P
α
第1题图
B
4
3
34
B． C． D．
5
3
45
OM
A
3
， 则
AB
的长是
5
A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
4
，那么tanA的值是
5
3534
A． B． C． D．
5343
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=
3
1 1．如图，在△
ABC
中，∠
ACB
=∠
ADC=
90°，若sin
A
=，则cos∠
BCD
的值为 ．
5


C
A
D
B

13.计算：
2cos302sin45tan60



13．计算
2sin602cos453tan30tan45
.

13．计算：
2sin604cos30+sin45tan60
．




14.如图，小聪用一块有一个锐角为
30的直角三角板测量树高，
已知小聪和树都与地面垂直，且相距
33
米，小聪身高< br>AB
为米，
求这棵树的高度.


15．已知在Rt△ABC
中，∠C＝90°，a=
46
，b=
122
.解这个直角 三角形


20. 如图，在Rt△
ABC
中，∠
CAB
=90°，
AD
是∠
CAB
的平分线，tan
B
=






C
D
B
A
B
D
E
C
o
2
ooo

1
CD
，求的值．
2
BD
A
（延庆）19. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,
C
(3) 求证：∠AOD=2∠C
(4) 若AD=8，tanC=

D
4
，求⊙O 的半径。
3
A
O
B
（延 庆期末）19．如图，某同学在楼房的
A
处测得荷塘的一端

< br>B
处的俯角为
30
，荷塘另一端
D
处
C
、
B
在
同一条直线上，已知
AC32
米，
CD16
米，
求荷塘宽
BD
为多少米（结果保留根号）







18.（6分）如图，在△
ABC
中，点
O
在
AB
上，以
O
为圆心的圆
C
经过
A< br>，
C
两点，交
AB
于点
D
，已知2∠
A +∠
B
=
90
．
（1）求证：
BC
是⊙
O
的切线；
A
O
DB
（2）若
OA
=6，
BC
=8，求
BD
的长 ．
（1）证明：
第18题图

（2）解：





（西城） 15．如图，在Rt△
ABC
中，∠C
=90°，点
D
在
AC
边上．若
DB
=6，
AD
=
1
2
CD
，sin∠
CBD
=2
3
，求
AD
的长
和tan
A
的值．







18．如图，一艘海轮位 于灯塔
P
的南偏东45°方向，距离灯塔100
海里的
A
处，它计划 沿正北方向航行，去往位于灯塔
P
的北偏东
30°方向上的
B
处.
（1）
B
处距离灯塔
P
有多远
（2）圆形暗礁区域的圆心 位于
PB
的延长线上，距离灯塔200海

里的
O
处． 已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请
判断若海轮到达
B
处是否有触礁的危险，并说明理由．

22．已知，如图，在△
ADC
中，
ADC90
，以
DC
为直径作半圆
eO
，交边
AC
于点
F
，
点
B
在
CD
的延长线上，连接
BF
，交
AD
于点
E
，
BED 2C
．
（1）求证：
BF
是
eO
的切线；
（2）若
BFFC
，
AE3
，求
eO
的半径．





A

F

E

B

D

O

C

15．如图，为了测量楼
AB
的高度，小明在点
C
处测得楼
AB
的顶端
A
的仰角为30º，又向
前走了20米后到达点
D
，点
B
、
D
、
C
在同一条直线上，并在点
D测得楼
AB
的顶端
A
的仰角
为60º，求楼
AB
的高
．







14.（2009·眉山中考）海船以5海里小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海
船 的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，
求此时灯塔B 到C处的距离。


15.（2009·常德中考）如图，某人在
D
处测得山顶
C
的仰角为30，向前走200米来到山脚
o
A
处，测 得山坡
AC
的坡度为i=1∶，求山的高度（不计测角仪的高度，
3≈1.73
，结
果保留整数）．

16.（2008·广安中考）如图，某幼 儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由
45º降为30º，已知原滑滑板
AB< br>的长为5米，点
D
、
B
、
C
在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少（精确到）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保 证安全，原滑滑板的前方有6米长的
空地，像这样改造是否可行说明理由。
(参考数据：
21.414,31.732,62.449
)


18. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点
A
处观测到河对岸水边有一点
C
，测得
C在
A
北偏西
31
的方向上，沿
河岸向北前行20米到达
B
处，测得
C
在
B
北偏西
45
的方向上，请你 根据以上数据，帮助
该同学计算出这条河的宽度．
（参考数值：tan31°≈
．








3
1
，sin31°≈）
5
2

图13