台账模板-小白狗

高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

如 ：集合A

x|ylgx

，B

y|ylgx< br>
，C

(x,y)|ylgx

，A、B、C

中元素各表示什么？

2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合Ax|x
2
2x30，B

x|ax1



若BA，则实数a的值构成的集合为

（答：

1，0，

）

3. 注意下列性质：

（1）集合a
1
，a
2
，……， a
n
的所有子集的个数是2
n
；


（2）若ABABA，ABB；

（3）德摩根定律：





1

3
< br>
C
U

AB



C
U
A



C
U
B

，
C
U

AB



C
U
A< br>


C
U
B


ax5
0的解集为M，若3M且5M，求实数a

2
xa
4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于x的不等式
的取值范围。
（∵3M，∴

a ·35
0
2
3a
a·55
0
5
2
a
5

a

1，



9，25

）

3


∵5M，∴

5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”()，“且”()和

“非”().


若pq为真，当且仅当p、q均为真


若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若p为真，当且仅当p为假

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗？映射f： A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应
元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）
8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数y
x

4x

lg

x3

2
的定义域是


（答：0，22，33，4）

10. 如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是a，b，ba0，则 函数F(x)f(x)f(x)的定

义域是_____________。

（答：a，a）

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

如：f

令t



< br>2
x1e
x
x，求f(x).

x1，则t0



∴xt1


∴f(t)e
t
2
1
t
2
1

x
2
1

x0


∴f(x)e
x
2
1
12. 反函数存在的条件是什么？
（一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）


1x
如：求函数f(x)


2< br>

x
1

x0

的反函数


x0



x1

x1

）

（答：f(x)



x< br>
x0


13. 反函数的性质有哪些？
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设yf(x)的定义域为A，值域为C，aA，bC，则f(a)=bf(b)a


f
1

f(a)

f
1
(b)a，ff
1
(b)f(a)b

14. 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？

1

（yf(u)，u( x)，则yf

(x)

（外层）（内层）


当内、外层函数单调性相同时f

(x)

为增函数，否则f
(x)

为减函数。）


如：求ylog
1
x2x的单调区间

2

2


（设ux2x，由u0则0x2


且log
1
u，u

x1

1，如图：

2
2
2
u




O 1 2 x



当x(0，1]时，u，又log
1
u，∴y

2

当x[1，2)时，u，又log
1
u，∴y

2
∴……）
15. 如何利用导数判断函数的单调性？

在区间a，b内，若总有f'(x)0则f(x)为增函数。（在个别点上导数等于


零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'(x)0呢？


如：已知a0，函数f(x)xax在1，上是单调增函数，则a的最大

值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3



（令f'(x)3x a3

x
2


a

a


x

0

3

3


则x
a
或x
3
a

3
a
1，即a3

3

由已知f(x)在[1，)上为增函数，则
∴a的最大值为3）
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称


若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶 函数；一
个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（2）若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。

a·2
x
a2
为奇函数，则实数a

如：若f(x)
x
21

（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0


a·2
0
a2
0，∴a1）

即
2
0
1
2
x
，

又 如：f(x)为定义在(1，1)上的奇函数，当x(0，1)时，f(x)
x
41< br>求f(x)在

1，1

上的解析式。

2
x

（令x

1，0

， 则x

0，1

，f(x)
x

41
2
x
2
x


又f(x)为奇函数，∴f(x)
x

x
4114


2
x


x

41

又f(0)0，∴f(x)

x

2

4
x
1
17. 你熟悉周期函数的定义吗？
x(1，0)< br>x0
x

0，1

）


（若存在实数T（T0），在定义域内总有f

xT

f(x)，则 f(x)为周期

函数，T是一个周期。）

如：若f

xa

f(x)，则


（答：f(x)是周期函数，T2a为f(x)的一个周期）


又如：若f(x)图象有两条对称轴xa，xb





即f(ax)f(ax)，f(bx)f(bx)


则f(x)是周期函数，2ab为一个周期

如：

18. 你掌握常用的图象变换了吗？

f(x)与f(x)的图象关于y轴对称


f(x)与f(x)的图象关于x轴对称


f(x)与f(x)的图象关于原点对称


f(x)与f
1
(x)的图象关于直线yx对称


f(x)与f(2ax)的图象关于直线xa对称


f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称

yf(xa)
左移a(a0)个单位

将yf(x)图象


yf(xa)
右移a(a0)个单位


注意如下“翻折”变换：

上移b(b0)个单位
下移b(b0)个单位
yf(xa)b

yf(xa)b
f(x)f(x)
f(x)f(|x|)


如：f(x)log
2

x1



作出ylog
2

x1

及ylo g
2
x1的图象

y

y=log
2
x


O 1 x


19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k<0) y

(k>0)


y=b
O’(a,b)

O x

x=a

（1）一次函数：ykxb

k0



（2）反比例函数：y
的双曲线。

kk

k0
推广为yb

k0

是中心O'(a，b)

xxa
2
b

4acb
2

2

（3）二次函数yaxbxc

a0

a
x图象为抛物线




2a

4a


b4acb
2

b

顶点坐标为

，

，对称轴x

4a

2a

2a

开口方向：a0，向上，函数y
min
4acb
2


4a

a0，向下，y
max
4acb
2


4a
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
ax
2
bxc0，0时，两根x
1
、x
2
为二次函数yax
2
bxc的图象与x轴

的两个交点，也是二次不等式ax
2
bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。

0


b
2

如：二次方程axbxc0的两根都大于k

k


2a


f(k)0
y


(a>0)


O k x
1
x
2
x



一根大于k，一根小于kf(k)0


（4）指数函数：ya
x

a0，a1




（5）对数函数ylog
a
xa0，a1

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

y
y=a
x
(a>1)
(0a
x(a>1)
1

O 1 x

(0

（6）“对勾函数”yx
k

k0


x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
y



k


O
k


x



20. 你在基本运算上常出现错误吗？

指数运算：a1(a0)，a

a
m
n
0p


1
(a0)

a
p

n
a
m
(a0)，a

m
n

1
n
a
m
(a0)


对数运算：log
a
M·Nlog
a
Mlog
a
NM0，N0


log
a

M1
log
a
Mlog
a
N，log
a
n
Mlo g
a
M

Nn
log
a
x

对数恒等式：ax


对数换底公式：log
a
b
21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
log
c
b
n
log
a
m
b
n
log
a
b

log
c
am

如：（1）xR，f(x)满足f(xy )f(x)f(y)，证明f(x)为奇函数。


（先令xy0f(0)0再令yx，……）

（2）xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，证明f(x)是偶函数。


（先令xytf

(t)(t)

 f(t·t)


∴f(t)f(t)f(t)f(t)


∴f(t)f(t)……）


（3）证明单调 性：f(x
2
)f

x
2
x
1
x
2
……

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？
（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调
性法，导数法等。）
如求下列函数的最值：

（1）y2x3134x


（2）y

2x4

x3
2x
2

（3）x3，y

x3

（4）yx49x

（5）y4x
2

设x3cos，

0，



9
，x(0，1]

x
11
l·R·R
2
）

22


R


1弧度
O R
23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（l·R，S
扇


24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义

sinMP，cosOM，tanAT

y
T
B S

P


α

O





M
A x





如：若

0， 则sin，cos，tan的大小顺序是
8


又如：求函数y 12cos




x

的定义域和值域。


2


（∵12cos




x

）12sinx0


2


∴sinx
2
，如图：

2


∴2k
5
x2k

kZ

，0y12

44
25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对
称轴吗？

sinx1，cosx1

y
ytgx




x







O


2
2





对称点为

k




，0

，kZ


2


ysinx的增区间为

2k 




，2k


kZ

22

3


减区间为

2k，2k

kZ



22


图象的对称点为k，0，对称轴为xk

ycosx的增区间为2k，2k

kZ



减区间为2k，2k2

图象的对称点为

k 




kZ


2



kZ



< br>

，0

，对称轴为xk

kZ



2

，k
2


kZ

2


ytanx的增区间为

k



26. 正弦型函数y=Asin

x+

的图象和性质要熟记。或yAcos

x



（1）振幅|A|，周期T

2

||
< br>若f

x
0

A，则xx
0
为对称轴 。


若f

x
0

0，则x< br>0
，0为对称点，反之也对。



（2）五点作图：令x依次为0，
（x，y）作图象。
3
，，，2，求出x与y，依点

22

（3）根据图象求解析式。（求A、、值）



(x
1
)0


如图列出



(x
2
)

2


解条件组求、值


正切型函数yAtan

x

，T


||
27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的
范围。

如：cos

x

（∵x



23

，x

，

，求 x值。



6

22

37 5513
，∴x，∴x，∴x）

26636412

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？

如：函数ysinxsin|x|的值域是

（x0时，y2sinx2，2，x0时，y0，∴y2，2）

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：



x'xh
a(h，k)

（1）点P（x，y）

P'（x'，y'），则

y'yk
平移至


（2）曲线f(x，y)0沿向量a(h，k)平移后的方程为f(xh，yk)0



如：函数y2sin

2x
图象？

（y2 sin

2x





1的图象经 过怎样的变换才能得到ysinx的

4







1



横坐标伸长到原来的2倍

1y2sin

2

x



1

4



2

4




1个单位
4
2sin< br>
x

1y2sinx1
上平移
y2sinx


4

左平移个单位
1< br>2
ysinx）


纵坐标缩短到原来的倍
30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

如：1sincossec tantan·cotcos·sectan
2222


4

cos0……称为1的代换。

2


“k·”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，

2
sin
“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

如：cos
9

7

tan



 sin

21



6

4


又如：函数y
A. 正值或负值
sintan
，则y的值为
coscot
B. 负值 C. 非负值

D. 正值
sin
sin
2


cos1

cos

（y0，∵0）

cos
cos
2


sin1

cos
sin
sin
31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间的联系：
sin22sincos

sin

< br>
sincoscossin
令

< br>令
cos



coscossins incos2cos
2
sin
2


tan




tantan
22

2cos112sin

1tan·tan
1cos2
2

1cos2
sin
2

2
cos
2
tan2

2tan

1tan
2




asinbcos

sincos
a
2b
2
sin



，tan



4

b

a

2sin




sin 


3cos2sin





3

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函 数种类最少，分母中不含
三角函数，能求值，尽可能求值。）
具体方法：

（1）角的变换：如



，













……


22

2
（2）名的变换：化弦或化切
（3）次数的变换：升、降幂公式
（4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。 < br>sincos2
1，tan



，求tan

2

的值。

1cos23
sincoscos1

（由已知得：

1，∴tan
2sin2
2sin
2

2

又tan





3
21

tan



tan
32

1
）

∴tan

2

tan






1tan



·tan
1
2
·
1
832

如：已知
32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？
b
2
c
2
a
2

余弦定理：abc2bccosAcosA

2bc
222
（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）


a2RsinA
abc


正弦定理：2R

b2RsinB

sinAsinBsinC

c2RsinC


S


1
a·bsinC

2

∵ABC，∴ABC


∴sin

AB

sinC，sin

如ABC中，2sin

（1）求角C；

2
ABC
cos

22
AB
cos2C1

2
c
2
，求cos2Acos2B的值。

（2）若ab
2
22
2

（（1）由已知式得： 1cos

AB

2cosC11


又ABC，∴2cosCcosC10

2
1
或cosC1（舍）

2


又0C，∴C

3
1
222

（2）由正弦定理及abc得：

2
3
2222


2sinA2sinBsinCsin

34
3

1cos2A1cos2B

4
3

∴cos2Acos2B）

4

∴cosC
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。

反正弦：arcsinx





，
< br>，x

1，1


2

2

反余弦：arccosx0，，x1，1


反正切：arc tanx






，
< br>，

xR



22

34. 不等式的性质有哪些？

（1）ab，
c0acbc

c0acbc

（2）ab，cdacbd


（3）ab0，cd0acbd


（4）ab0
1111
，ab0

abab
n
nn

（5）ab0ab，
n
ab


（6）| x|a

a0

axa，|x|axa或xa


如：若
2
11
0，则下列结论不正确的是（
ab
2
）


A.ab
2


C.|a||b||ab|
答案：C
35. 利用均值不等式：
D.
ab
2

ba

ab


ab2aba，bR；a b2ab；ab

求最值时，你是否注


2
22



2
意到“a，bR

”且“等号 成立”时的条件，积(ab)或和(ab)其中之一为定

值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：

a
2
b
2
a b2ab
aba，bR


22ab


当且仅当ab时等号成立。


abcabbccaa，bR


当且仅当abc时取等号。


ab0，m0，n0，则

222

bbmana
1

aambnb
4

如：若x0，23x的最大值为
x

（设y2

3x


4


2212243

x


当且仅 当3x
423
，又x0，∴x时，y
max
243）

x3

又如：x2y1，则2
x
4
y
的最小值为
< br>（∵2
x
2
2y
22
x2y
22
1
，∴最小值为22）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。

如：证明1

（1
111
…2

222
23n
111111
……1……

222
1223
23n

n1

n
11 

11111
……
223n1n
2
1
2）
n


37.解分式不等式
f(x)
a

a0

的一般步骤是什么？

g(x)
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始


如：

x1

x1

x2

 0

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

如：对数或指数的底分a1或0a1讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）

例如：解不等式|x3|x11

23

（解集为

x|x


1


）

2


41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题


如：设f(x)xx13，实数a满足|xa|1


求证：f(x)f(a)2(|a|1)

证明：
|f(x)f(a)||(xx13)(aa13)|

22
2
|(xa)(xa1)|(|xa|1)

|xa||xa1||xa1|

|x||a|1

又|x||a||xa|1，∴|x||a|1


∴f(x)f(a)2|a|22

|a|1


（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

如：af(x)恒成立af(x)的最小值


af(x)恒成立af(x)的最大值


af(x)能成立af(x)的最小值


例如：对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是

（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和


u
min
3

2

5，∴5a，即a5

或者：x3x2

x3


x2

5，∴a5）

43. 等差数列的定义与性质

定义：a
n1
a
n
d(d为常数)，a
n
a
1


n1
d


等差中项：x，A，y成等差数列2Axy



前n项和S
n
a
1
a
n
n

na
2
1

n

n1

2
d

性质：

a
n

是等差数列

< br>（1）若mnpq，则a
m
a
n
a
p
a
q
；


（2）数列

a
2n1

，

a
2n

，

ka
n
b

仍为等差数列；


S
n
，S
2n
S
n
，S
3n
S
2n
…… 仍为等差数列；


（3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；


（4） 若a
n
，b
n
是等差数列S
n
，T
n
为前 n项和，则
a
m
S
2m1
；

b
m
T
2m1
2

（5）
a
n

为等差数列S
n
anbn（a，b为常数，是关于 n的常数项为

0的二次函数）
2

S
n
的最值可求二次函数S
n
anbn的最值；或者求出

a
n
中的正、负分界

项，即：

当a
1
0，d0，解不等式组


a
n
0
可得S
n
达到最大值时的n值。


a
n1
0

当a
1
0，d0，由


a
n
0< br>可得S
n
达到最小值时的n值。

a0

n1

如：等差数列

an

，S
n
18，a
n
a
n1
a
n2
3，S
3
1，则n

（由a
n
a
n1
a
n2
33a
n1
3 ，∴a
n1
1


又S
3


a
1
a
3

·33a
2
2
 1，∴a
2

1

3

1

< br>1

n
a
1
a
n

n

a
2
a
n1

·n

3


18

∴S
n

222

n27）

44. 等比数列的定义与性质

定义 ：
a
n1
q（q为常数，q0），a
n
a
1
q
n1

a
n

等比中项：x、G、y成等比数列G
2
xy，或Gxy


na
1
(q1)

前n项和：S

n
n


a

1

1 q

（要注意!）

1q
(q1)


性质：

a
n

是等比数列

< br>（1）若mnpq，则a
m
·a
n
a
p
·a
q


（2）S
n
，S
2n
S< br>n
，S
3n
S
2n
……仍为等比数列


45.由S
n
求a
n
时应注意什么？

< br>（n1时，a
1
S
1
，n2时，a
n
Sn
S
n1
）

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：（1）求差（商）法

如：

a
1
n

满足
2
a
1 1
1
2
2
a
2
……
2
n
a< br>n
2n5
解：
n1时，
1
2
a
1
215，∴a
1
14


n2时，< br>1
2
a
11
1

2
2
a
2
……
2
n1
a
n1
2n15

12得：
1
2
n
a
n
2


∴a
1
n
2
n

< br>∴a


14(n1)
n


2
n1
(n2)

［练习］

数列

a
5
n

满足S
n
S
n1

3
a
n1
，a
1
4，求a
n


（注意到a代入得：
S
n1
n1
S
n1
 S
n
S
4

n

又S
n
1
4，∴

S
n

是等比数列，S
n
 4


n2时，a
n1
n
S
n
S
n1
……3·4

（2）叠乘法
< br>例如：数列

a
a
n1
n

中，a
1
3，
a

n
，求a
n

n
n1

1

2

解：
a
2
aaa
12n11< br>·
3
……
n
·……，∴
n


a
1
a
2
a
n1
23na
1
n

又a
1
3，∴a
n

3

n
（3）等差型递推公式

由a
n
a
n1
f( n)，a
1
a
0
，求a
n
，用迭加法

n2时，a
2
a
1
f(2)


a
3
a
2
f(3)



两边相加，得：

…………

a
n
a
n1
f(n)



a
n
a
1
f(2)f(3)……f(n)


∴a
n
a
0
f(2)f(3)……f(n)

［练习］
n1

数列

a
n

，a
1
1，a
n
3a
n1

n 2

，求a
n


（a
n

1
n
31）

2

（4）等比型递推公式

a
nca
n1
dc、d为常数，c0，c1，d0

< br>可转化为等比数列，设a
n
xc

a
n1
x



a
n
ca
n1

c1

x


令(c1)xd，∴x

∴

a
n


d

c1


d

d
，c为公比的等比数列


是首项为a
1

c1

c1

∴a
n

dd

n1


a
1


·c

c1

c1



d

n1
d


c
c1

c1

∴a
n


a
1

［练习］

数列

a
n

满足a
1
9，3a
n1
a
n
4，求a
n


4


（a
n
8




3

（5）倒数法
n1
1）


例如：a
1
1，an1

2a
n
，求a
n

a
n
2

由已知得：
1
a
n1

a
n
2
11


2a
n
2a
n

∴
1
a
n1

11


a
n
2




1

11

为等差数列，1，公 差为

a
1
2

a
n

111< br>1

n1

·

n1


a
n
22



∴a
n

2

n1
47. 你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
如：

a
n

是公差为d的等差数列，求
1


k1
a
k
a
k1
n
解：< br>由
n
111

11





d0


a
k
·a
k1a
k

a
k
d

d

a< br>k
a
k1

n
11

11





∴



aadaa

k1
kk1
k1
kk1



11


11

11

1< br>








< br>
……




d


a
1
a
2

a
2
a
3
< br>a
n
a
n1



1

11




d

a
1
a
n1


［练习］

求和：1
111
……

12123
123……n

（a
n
…………，S
n
2
（2）错位相减法：
1
）

n1

若

a
n

为等差数列，

b
n

为 等比数列，求数列

a
n
b
n

（差比数列）前n 项

和，可由S
n
qS
n
求S
n
，其中 q为

b
n

的公比。


如：S
n
12x3x4x……nx
23n1
1

2

234n1
nx
n

x·S
n
x2x3x4x……

n1

x
2n1
nx
n

12：

1x

S
n
1xx……x

x1时， S
n
1x

nx


n
n

1x

2
1x


x1时，S
n
123……n
n

n1

2

（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S
n
a
1
a
2
……a
n1
a
n




相加

S
n
a
n
a
n1
……a
2
a
1


2S
n


a
1
an



a
2
a
n1

……

a
1
a
n

……

［练习］
x
2

1

1

1

，则f(1)f(2)ff(3)ff(4)f

已 知f(x)


2

4

2 3
1x

x

1



（由f(x)f



x

1x
2
2
x
2
1
1

222
1x1x

1

1


x


1


x

2

∴原式f(1)

f(2)f




f(3)f




f(4)f



 



1


2


1


3


1


4



11
1113）

22
48. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

S
n
p

1r

p

12r< br>
……p

1nr

p

n

n

n1


r

… …等差问题

2

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款 计算模型（按揭贷款——分期等额归
还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元 ，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）
后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。 如果每期利率为r（按复利），那么每期应还
x元，满足

p(1r)n
x

1r

n1
x

1 r

n2
……x

1r

x

n

1

1r

n

1r

1


x



x
11rr




∴x
pr

1r

n

1r
< br>n
1

p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（1）分类计数原理：Nm
1
m
2
……m
n


（m
i
为各类办法中的方法数）


分步计数原理：Nm
1
·m
2
……m
n


（m
i
为各步骤中的方法数）

（2）排 列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A
m
n
.

< br>A
n
n

n1

n2

… …

nm1


m
n!

mn

nm!


规定：0!1

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
同元素中取出m个元 素的一个组合，所有组合个数记为C
m
n
.

n

n1

……

nm1

A
m
n!< br>n
C

m!m!nm!
A
m

m
m
n

规定：C
n
1


（4）组合数性质：

0

C
n
C
n
mnmm1m01nn
，C
m
CC，CC……C2

nnn1nnn
50. 解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑 法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问
题间接法；相同元素分组可采用 隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
x
i
89，90，91，92，93，(i1，2，3，4)且满足x
1
x
2
x
3
x
4
，

则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（ ）
A. 24 B. 15
解析：可分成两类：
C. 12 D. 10


（1）中间两个分数不相等，



有C
5
5（种）

4

（2）中间两个分数相等

x
1
x
2
x
3
x
4

相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51. 二项式定理

(ab) C
n
aC
n
a
n0n1n1n22nrrn
bC
2
b…C
r
b…C
n
n
a
na
n
b

rnr

二项展开式的通项公式：T
r1
C
n
a
r
b
r
(r0，1…… n)


C
n
为二项式系数（区别于该项的系数）

性质：
nr

（1）对称性：C
r
r0，1，2，……，n

n
C
n


（2）系数和：C
n
C
n
…C
n
2


C
n
C
n
C
n
…C
n
C
n
C
n
…2
135024n1
01nn

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

n

2
；n为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式


1< br>
项，二项式系数为C
n

2

n1n1
系数最大即第项及第1项，其二项式系数为C
n
2
C
n
2
22
n1n1
n

如： 在二项式

x1

的展开式中，系数最小的项系数为
表示）

（∵n＝11


∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第

由C
11
x
6
r11r
11
（用数字

12
6或第7项

2
(1)
r
，∴取r5即第6项系数为负值为最小：

5

C
11
C
11
426


又如：

12x

2004
a
0
a
1
xa
2
x
2
……a
2004
x
2004

xR

，则

（用数字作答）

a
0
a
1



a
0< br>a
2



a
0
a
3

……

a
0
a
2004


（令x0，得：a
0
1


令x 1，得：a
0
a
2
……a
2004
1


∴原式2003a
0
a
0
a
1……a
2004
2003112004）

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗？

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0


（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。



A B





（3）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B

的和（并）。


（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B


（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A


AA，AA


（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立
事件。

A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即

P(A)
A包含的等可能结果m


一次试验的等可能结果的总数
n

（2）若A、B互斥，则P

AB

P(A)P(B)


（3）若A、 B相互独立，则PA·BP

A

·P

B
< br>

（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生
k
k次的 概率：P
n
(k)C
k
n
p

1p

nk


如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；


C
2
2

4


P
1

2



C
10
15

（2）从中任取5件恰有2件次品；
3

C
2
C
10



P
2

4
5
6



21

C
10

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝10
3

而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

∴mC
3
·464

23
C
2
44
3
·4·64


∴P
3


125
10
3
2213
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）

∴nA
10
，mC
4
A
5
A
6

23
C
2
10
4
A
5
A
6< br>
∴P
4



5
21
A
10
5223
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，
它的特征是从总体中 逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成
若干部分，每部分只取一个；分层 抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明
显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概 率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的 概率，用样本的期望（平均值）和方
差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：

（1）算数据极差

x
m ax
x
min

；

（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。

其中，频率小长方形的面积组距×

样本平均值：x
频率

组距
1
x
1
x
2
……x
n

n
1
2

样本方差：S

x
1< br>x

2


x
2
x

2
……

x
n
x

2

n



如：从10名女生与5名男生 中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组
成此参赛队的概率为____________ 。
42
C
10
C
5

（）

6
C
15
56. 你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。


（2）向量的模——有向线段的长度，|a|




（3）单位向量|a
0
|1，a
0



a
|a|

（4）零向量0，|0|0




长度相等


（5）相等的向量

ab


方向相同
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一实数，使ba

（7）向量的加、减法如图：




OAOBOC



OAOBBA

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

e
1
，e
2
是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一

 
实数对
1
、
2
，使得a
1
e
1

2
e
2
，e
1
、e
2
叫做 表示这一平面内所有向量



的一组基底。
（9）向量的坐标表示


i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得


 
axiyj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a

x，y
< br>，即为向量的坐标



表示。

设 ax
1
，y
1
，bx
2
，y
2


则abx
1
，y
1
y
1
， y
2
x
1
y
1
，x
2
y
2


ax
1
，y
1
x
1
，y
1


若Ax
1
，y
1
，Bx
2
，y
2













则AB

x
2x
1
，y
2
y
1




|AB|


x
2
x
1

2


y
2
y
1

2
，A、B两 点间距离公式


57. 平面向量的数量积

（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）。


为向量a与b的夹角，0，


B



b

O




a

D A

数量积的几何意义：

a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。

（2）数量积的运算法则


①a·bb·a


②(ab)ca·cb·c


③a·bx
1
，y
1
·x
2
， y
2
x
1
x
2
y
1
y
2

注意：数量积不满足结合律(a·b)·ca·(b·c)


（3）重要性质：设ax
1
，y
1
，bx
2
， y
2


①a⊥ba·b0x
1
·x
2
y
1
·y
2
0


②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|


ab（b0，惟一确定）


x1
y
2
x
2
y
1
0


③a|a|xy，|a·b||a|·|b|



2
22
1
2
1


 







 




④cos
［练习］
a·b


|a|·|b|


x
1
x
2
y
1
y
2xy·xy
2
1
2
1
2
2
2
2< br>







（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则

|abc|
答案：
22


（2）若向量ax，1，b4，x，当x
答案：2

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|
答案：
13

58. 线段的定比分点

设P
1
x
1
，y
1
，P
2
x
2
，y< br>2
，分点Px，y，设P
1
、P
2
是直线l上两点，P点在< br>

o







时a与b共线且方向相同




l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一 实数，使P
1
PPP
2
，则叫做P分有向线段


P
1
P
2
所成的比（0，P在线段P
1
P2
内，0，P在P
1
P
2
外），且

x
1
x
2
x
1
x
2


x
x



1
2
，P为P
1
P
2
中点时，




yyyy
22

y
1
y
1


12



如 ：ABC，Ax
1
，y
1
，Bx
2
，y
2
，Cx
3
，y
3


则ABC重心G的坐标是< br>

yy
2
y
3

x1
x
2
x
3
，
1



33
※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线线∥面面∥面

线⊥线线⊥面面⊥面

判定性质
线∥线线⊥面面∥面
线面平行的判定：

a∥b，b面，aa∥面

a

b


线面平行的性质：

∥面，面，ba∥b

三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则


a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO







线面垂直：
P

O
a


a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥

a


O
α b c

面面垂直：

a⊥面，a面⊥


面⊥面，l，a，a⊥la⊥


α a


l


β


a⊥面，b⊥面a∥b


面⊥a，面⊥a∥

a b





60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

＝0时，b∥或b

o

（3）二面角：二面角l的平面角，0180

oo


（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥ 棱
l
，
∴∠AOB为所求。）
三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。

证明：coscos·cos

A



θ
O
β


B
C
D
α


（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）

（2）如图，正四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1< br>D
1
中对角线BD
1
＝8，BD
1
与侧面B
1
BCC
1
所成的
为30°。
①求BD
1
和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD
1
和AD所成的角；
③求二面角C
1
—BD
1
—B
1
的大小。
D
1
C
1


A
1
B
1
H

G
D C

A B


（①arcsin
36
；②60
o
；③arcsin）

43
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝A D，求面PAB与
面PCD所成的锐二面角的大小。
P F



D C


A E B

（∵A B∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB
的交线…… ）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离， 构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，
或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB
1
C
1
的距离为___________；
（2）点B到面ACB
1
的距离为____________；
（3）直线 A
1
D
1
到面AB
1
C
1
的距离为___ _________；
（4）面AB
1
C与面A
1
DC< br>1
的距离为____________；
（5）点B到直线A
1
C
1
的距离为_____________。

D C

A B




D
1
C
1


A
1
B
1


62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？
正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE

它们各包含哪些元素？

S
正棱锥侧


V
锥

1
C·h'（C——底面周长，h'为斜高）

2
1
底面积×高

3
63. 球有哪些性质？

（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面rR
2
d
2

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。


（4）S
球
4R，V
球

2
4
R
3

3
（5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内 切球半径r之
比为R：r＝3：1。

如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面

积为（ ）

A.3B.4C.33D.6

答案：A
64. 熟记下列公式了吗？

（1）l直线的倾斜角0，，k tan


y
2
y
1




，x
1
x
2



x
2
x
1

2

< br>P
1
x
1
，y
1
，P
2
x
2
，y
2
是l上两点，直线l的方向向量a1，k

（2）直线方程：

点斜式：yy
0
k

x x
0

（k存在）


斜截式：ykxb


截距式：

xy
1

ab

一般式：AxByC0（A、B不同时为零）


（3）点Px
0
，y
0
到直线l：AxByC0的距离d

A x
0
By
0
C
AB
22


（4）l
1
到l
2
的到角公式：tan
k
2< br>k
1

1k
1
k
2

l
1
与l
2
的夹角公式：tan
k
2
k
1

1k
1
k
2
65. 如何判断两直线平行、垂直？
A
1
B
2
A
2
B
1



l
1
∥l
2

A
1
C
2
A
2
C
1


k
1
k
2
l
1
∥l
2
（反之 不一定成立）


A
1
A
2
B
1
B
2
0l
1
⊥l
2


k
1
·k
2
1l
1
⊥l
2

66. 怎样判断直线
l
与圆C的位置关系？
圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。

67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置？

联立方程组关于x（或y）的一元二次方程“”
0相交；0相切；0相离
68. 分清圆锥曲线的定义

椭圆PF
1
PF< br>2
2a，2a2cF
1
F
2



第一定义

双曲线PF
1
PF
2
2a，2a 2cF
1
F
2




抛物线PFPK

第二定义：e
PF
c
PK

a


0e1椭圆；e1双曲线；e1抛物线

y

a
2
b
x
c


O
F
1
F
2
a x




x
2

y
2
a
2
b
2
1

ab0




a
2
b
2
c
2




x
2
y
2

a
2

b
2
1

a0，b0




c
2
a
2
b
2


e>1 e=1

P
0
F
k



x
2
y
2
x
2
y
2

69.与双曲线
2

2
1有相同焦点的双曲线系为
2
< br>2


0


abab
70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程，要注意其二次项系数是否为零？
△≥0的限制。（求 交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

弦长公式P
1
P
2




1k



x
2
1
x
2

4x
1
x
2

2

1

2

1yy4y
1
y
2



12
2

k

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗？
如：
y
P(x
0
,y
0
)

K


F
1
O F
2
x


l


x
2
y
2

2

2
1

ab

a
2

e，PF
2
e

x
0


ex
0
a

PKc


PF
1
ex
0
a

PF
2

y
A P
2



O F x

P
1
B

2

y2px

p0



通径是抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。
72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。

如：椭圆mxny1与直线y1x交于M、N两点，原点与MN中点连

22
线的斜率为
2m
，则的值为
2n

答案：
m2


n2
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线
C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点。

（由a
xx'yy'
，bx'2ax，y'2by）

22

只要证明A'2ax，2by也在曲线C上，即f(x')y'



AA'⊥l

（2）点A、A'关于直线l对称


AA'中点在l上





k
A A'
·k
l
1

AA'中点坐标满足l方程


xrcos
74.圆x
2
y
2
r
2的参数方程为

（为参数）


yrsin
< br>xacos
x
2
y
2

椭圆
2< br>
2
1的参数方程为

（为参数）

ybsin
ab

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，

求出目标函数的最值。