柳永八声甘州-综合实践课教案

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷3
理科数学
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答 题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡
相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码 粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需要改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题 必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划
掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B
={< br>x
|
3
x
1
}，则( )
A． B． C． D．
2．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心
成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部 分的概率是( )

A． B．


C．


D．



3．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
其中的真命题为( )
A． B． C． D．
：若复数满足，则；
：若复数，则.
4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
6．展开式中的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直 角三角形组成，正方形的边长为2，俯视
图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这 些梯形的面积之和为( )

A．10 B．12
n

n
C．14 D．16
8．右面程序框图是为了求出满足3
−2
>1000的最小偶数
n
，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A．
A
>1 000和
n
=
n
+1 B．
A
>1 000和
n
=
n
+2 C．
A
1 000和
n
=
n
+1 D．
A
1 000和
n
=
n
+2
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+)，则下面结论正确的是( )
A．
把
C
1< br>上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C
2
B．
把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐 标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C
2
C．
把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得 到曲线
C
2
D．
把
C
1
上各点的横坐标缩短到原 来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C
2

10．已知
F
为抛物线
C
：
y
=4
x
的焦 点，过
F
作两条互相垂直的直线
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两 点，直线
l
2
与
2
C
交于
D
、
E
两点，则|
AB
|+|
DE
|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设
xyz
为正数，且，则( )
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z

12．几位大学生响应国 家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题
获取软件激活 码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，
8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是2，2，2，依 此类推。
求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>100且该数列的前< br>N
项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是( )
A．440 B．330 C．220 D．110
001012
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|= _______ .
14．设
x
，
y
满足约束条件，则的最小值为_________ .
15．已知双曲线
C
：（
a
>0，
b
>0）的 右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N两点。若∠
MAN
=60°，则
C
的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，
△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的等腰三 角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△
ABC
的边长变 化时，所得三棱锥体积（单位：
cm）的最大值为_______。


三 、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必 须
作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C< br>的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC< br>的面积为
（1）求sin
B
sin
C
;
（2）若 6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC< br>的周长.

3

18.（12分）如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.










19．（12分） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（ 单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数 ，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这 一天的生产过程可能出现了异常
情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：


经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行 检
查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．

20.（12分）已知椭 圆
C
：（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P
4
（1，）中恰有三点在椭圆
C
上.
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过
P< br>2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。若直线P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为–1，证明 ：
l
过定点.












21.（12分）已知函数
a
e+(
a
﹣2) e﹣
x
.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求
a
的取值范围.






（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做， 则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标 系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为（
θ
为参数），直线l
的参数方程为
.
2
xx

（1）若
a
=−1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为，求
a
.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x< br>）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)= │
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
=1时， 求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.
2

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案 < br>一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1. A
7．B
2．B
8．D
3．B
9．D
4．C 5．D 6．C
10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
23
14．-5 15．
23

3
16．
15cm

3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每 个试题考生都必须
作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△
ABC
的内角
A< br>，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，< br>c
，已知△
ABC
的面积为
（1）求sin
B
sin
C
;
（2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
解：（1）
由题意可得，
化简可得，
根据正弦定理化简可得：。
（2）
由，
因此可得，
将之代入中可得：，
化简可得，
利用正弦定理可得，
同理可得，
故而三角形的周长为。
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
（1）证明：

,
又,
PA
、
PD
都在平面
PAD
内，
故而可得。
又
AB
在平面
PAB
内，故而平面
P AB
⊥平面
PAD
。
（2）解：
不妨设，
以
AD
中点
O
为原点，
OA
为
x
轴，
OP< br>为
z
轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标：，
因此可得，
假设平面的法向量，平面的法向量，
故而可得，即，
同理可得，即。
因此法向量的夹角余弦值：。
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为。
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机 抽取16个零件，并测量其尺寸（单
位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生 产的零件的尺寸服从正态分布．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的1 6个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之 外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了
异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：


经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作 为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检
查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和 （精确到）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
解：（1）
由题意可得，
X
满足二项分布，

因此可得
（2）
1
由（1）可得，属于小概率事件， ○
故而如果出现的零件，需要进行检查。
2
由题意可得， ○
故而在范围外存在这一个数据，因此需要进行检查。
此时：，
。
20.（12分）
已知椭圆
C
：（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P
4
（1，） 中恰有三点在椭圆
C
上.
（1）求
C
的方程；
（2）设 直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A，
B
两点。若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为–1，证明：
l
过定点.
解：（1）
根 据椭圆对称性可得，
P
1
（1,1）
P
4
（1，）不可能同 时在椭圆上，
P
3
（–1，），
P
4
（1，）一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P
4
（1，），
代入椭圆方程可得：，
故而可得椭圆的标准方程为：。
（2）由题意可得直线
P
2
A与直线
P
2
B
的斜率一定存在，
不妨设直线
P
2
A
为：,
P
2
B
为：.
联立，
假设，此时可得：
，
此时可求得直线的斜率为：，
化简可得，此时满足。
1
当时，
AB
两点重合，不合题意。 ○
2
当时，直线方程为：○，
即，当时，，因此直线恒过定点。
21.（12分）
已知函数
a
e
2
x
+(
a
﹣2) e
x
﹣
x
.
（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求
a
的取值范围.
解：
（1）对函数进行求导可得。
1
当时，恒成立，故而函数恒递减 ○
2
当时，○，故而可得函数在上单调递减，在上单调递增。
（2）函数有两个零点，故而可得，此时函数有极小值，
要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，
故而可得，令，
对函数进行求导即可得到，故而函数恒递增，
又，，
因此可得函数有两个零点的范围为。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任 选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为（
θ
为参数），直线
l
的参数方程 为
.
（1）若
a
=−1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为，求
a
.
解：
将曲线C 的参数方程化为直角方程为，直线化为直角方程为
（1）当时，代入可得直线为，联立曲线方程可得：，
解得或，故而交点为或
（2）点到直线的距离为，
即：，
化简可得，
根据辅助角公式可得，
又，解得或者。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x
）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当< br>a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g< br>（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.
解：
2

将函数化简可得
（1） 当时，作出函数图像可得的范围在
F
和
G
点中间，
联立可得点，因此可得解集为。


（2） 即在内恒成立，故而可得恒成立，
根据图像可得：函数必须在之间，故而可得。