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2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）



一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个
选项 中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3
x
＜1}，则（ ）

A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅

2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形 内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一
点，则此点 取自黑色部分的概率是（ ）


A． B． C． D．

3．（5分）设有下面四个命题

p
1
：若复数z满足∈R，则z∈R；

p
2
：若复数z满足z
2
∈R，则z∈R；

p< br>3
：若复数z
1
，z
2
满足z
1
z
2
∈R，则z
1
=
p
4
：若复数z∈R，则∈R．

其中的真命题为（ ）

A．p
1
，p
3
B．p
1
，p
4
C．p
2
，p
3
D．p
2
，p
4

4．（5分）记S
n
为等差数列 {a
n
}的前n项和．若a
4
+a
5
=24，S
6
=48，则{a
n
}的公差
为（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

；

5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减 ，且为奇函数．若f（1）=﹣1，
则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）

A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]

第1页（共32页）

6．（5分）（1+）（1+x）
6
展开式中x
2
的系数为（ ）

A．15 B．20 C．30 D．35

7．（5分）某多面体的三 视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰
直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等 腰直角三角形，该多面体的各
个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）


A．10 B．12 C．14 D．16

8．（5分）如图程序框图是 为了求出满足3
n
﹣2
n
＞1000的最小偶数n，那么在
和两个空 白框中，可以分别填入（ ）


A．A＞1000和n=n+1
C．A≤1000和n=n+1
B．A＞1000和n=n+2

D．A≤1000和n=n+2

），则下面结论正确的是（ ）

9．（5分）已知曲线C
1
：y=cosx，C
2
：y=sin（2x+< br>A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移

个单位长度，得到曲线C
2

第2页（共32页）

B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ，再把得到的曲线向左
平移个单位长度，得到曲线C
2

C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移个单位长度，得到曲线 C
2

D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再 把得到的曲线向左
平移个单位长度，得到曲线C
2

10．（5分）已知F为 抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l
1
，l
2
，
直线l
1
与C交于A、B两点，直线l
2
与C交于D、 E两点，则|AB|+|DE|的最小值
为（ ）

A．16 B．14 C．12 D．10

11．（5分）设x、y、z为正数，且2
x
=3
y=5
z
，则（ ）

A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z

12．（5分）几位大学生响应国家的创业号 召，开发了一款应用软件．为激发大
家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 ．这款软件的
激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，
2，4，8，16，…，其中第一项是2
0
，接下来的两项是2
0
， 2
1
，再接下来的三项
是2
0
，2
1
，2
2
，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前
N项和为2的整数幂． 那么该款软件的激活码是（ ）

A．440 B．330 C．220 D．110



二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．

14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．

15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆
心，b为半径作圆A ，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，
第3页（共32页）

则C的离心率为 ．

16．（5分）如图，圆形 纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点， △DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，
CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB为折痕折起
△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ ABC的边长变化
时，所得三棱锥体积（单位：cm
3
）的最大值为 ．




三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据 要求
作答．

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知△ABC的面积
为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

18．（12分） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．


19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产
线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可
以认为这条生产线正常 状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ
2
）．

第4页（共32页）

（1）假设生产状态正常，记X表 示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，
μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数 学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件， 就
认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程
进行检查．< br>
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经计算得= =9.97，s==≈0.212，
其中x
i
为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2 ，…，16．

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值
﹣3+ 3
，利用估
）之外计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（
的数据，用剩下 的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ
2
），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，
0.9974
16
≈0.9592，≈0.09．

+=1（a＞b＞0），四点P
1
（1，1 ），P
2
（0，1），20．（12分）已知椭圆C：
P
3
（﹣1， ），P
4
（1，）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点．若直线P
2
A与直线P
2
B的斜
率的和为﹣1，证明：l过定点．

21．（1 2分）已知函数f（x）=ae
2x
+（a﹣2）e
x
﹣x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．



[选修4-4，坐标系与参数方程]

第5页（共32页）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
直线l的参数方程为 ，（t为参数）．

，（θ为参数），
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为


[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=﹣x
2
+ ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．



，求a．

第6页（共32页）

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

参考答案与试题解析



一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3
x
＜1}，则（ ）

A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅

【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．

【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，

B={x|3
x
＜1}={x|x＜0}，

∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；

A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．

故选：A．

【点评 】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意
交集、并集定义的合理运用．< br>


2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正 方形内切圆
中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一
点，则 此点取自黑色部分的概率是（ ）


A． B． C． D．

【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行
求解即可．
< br>【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，
第7页（共32 页）

则正方形的边长为2，

则黑色部分的面积S=，

则对应概率P=
故选：B．

=，

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面
积是解决本题的关键．



3．（5分）设有下面四个命题

p
1
：若复数z满足∈R，则z∈R；

p
2
：若复数z满足z
2
∈R，则z∈R；

p< br>3
：若复数z
1
，z
2
满足z
1
z
2
∈R，则z
1
=
p
4
：若复数z∈R，则∈R．

其中的真命题为（ ）

A．p
1
，p
3
B．p
1
，p
4
C．p
2
，p
3
D．p
2
，p
4

【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答
案．

【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p
1
为真命题；

p
2
：复数z=i满足z
2
=﹣1∈R，则z∉R，故命题p
2< br>为假命题；

p
3
：若复数z
1
=i，z
2
=2i满足z
1
z
2
∈R，但z
1
≠，故命题p< br>3
为假命题；

；

p
4
：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p
4
为真命题．

故选：B．

【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数 的分类，
复数的运算性质，难度不大，属于基础题．



4．（5 分）记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和．若a
4
+a< br>5
=24，S
6
=48，则{a
n
}的公差
为（ ）

A．1

B．2 C．4 D．8

第8页（共32页）

【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公 式列出方程组，求出首项和公差，
由此能求出{a
n
}的公差．

【 解答】解：∵S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，a
4
+ a
5
=24，S
6
=48，

∴，

解得a
1
=﹣2，d=4，

∴{a
n
}的公差为4．

故选：C．

【点评】 本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审
题，注意等差数列的性质的合理运 用．



5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函 数．若f（1）=﹣1，
则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）

A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]

【分析】 由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为
﹣1≤x﹣2≤1，解得答案 ．

【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．

若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，

又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，

∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），

∴﹣1≤x﹣2≤1，

解得：x∈[1，3]，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点 是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，
难度中档．



6．（5分）（1+）（1+x）
6
展开式中x
2
的系数为（ ）

A．15 B．20 C．30 D．35

第9页（共32页）

【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．

【解答】解：（1+
若（1+
）（1+x）
6
展开式中：

）=（1+x
﹣
2
）提供常数项1，则（1+x）
6
提供含 有x
2
的项，可得展开式
中x
2
的系数：

若（1 +）提供x
﹣
2
项，则（1+x）
6
提供含有x
4
的项，可得展开式中x
2
的系数：

．

．

．

由（1+x）
6
通项公式可得
可知r=2时，可得展开 式中x
2
的系数为
可知r=4时，可得展开式中x
2
的系数为
（1+）（1+x）
6
展开式中x
2
的系数为：15+15=30．

故选：C．

【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．



7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰
直 角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各
个面中有若干个是梯形，这 些梯形的面积之和为（ ）


A．10 B．12 C．14 D．16

【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，
根据梯形的面 积公式计算即可

【解答】解：由三视图可画出直观图，

该立体图中只有两个相同的梯形的面，

S
梯形
=×2×（2+4）=6，

第10页（共32页）

∴这些梯形的面积之和为6×2=12，

故选：B．


【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．



8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3
n
﹣2
n
＞ 1000的最小偶数n，那么在
和两个空白框中，可以分别填入（ ）


A．A＞1000和n=n+1
C．A≤1000和n=n+1
B．A＞1000和n=n+2

D．A≤1000和n=n+2

【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“
输入“A＞1000”，进而通过 偶数的特征确定n=n+2．

【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，

”内不能
所以“”内不能输入“A＞1000”，

第11页（共32页）

又要求n为偶数，且n的初始值为0，

所以“”中n依次加2可保证其为偶数，

所以D选项满足要求，

故选：D．

【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．


< br>9．（5分）已知曲线C
1
：y=cosx，C
2
：y=sin（2x +），则下面结论正确的是（ ）

A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移个单位长度，得到曲线C
2

B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
平移 个单位长度，得到曲线C
2

C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来 的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
平移个单位长度，得到曲线C
2

D ．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
平移个单 位长度，得到曲线C
2

【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．

【解答】解：把C< br>1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数
y=cos2x图象，再把得 到的曲线向左平移
=cos（2x+
故选：D．

【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．



10．（5分）已知F为抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂 直的直线l
1
，l
2
，
直线l
1
与C交于A、B两 点，直线l
2
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值
为（ ）

A．16 B．14 C．12 D．10

第12页（共32页）

个单位长度，得到函数y=cos2（x+）
）=sin（2x+）的图象，即曲线 C
2
，

【分析】方法一：根据题意可判断当A与 D，B，E关于x轴对称，即直线DE的
斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．

方法二：设直线l
1
的倾斜角为θ，则l
2
的倾斜角为
式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案

【解答】解：如图，l
1
⊥l
2
，直线l
1
与C交于A、B两点，

直线l
2
与C交于D、E两点，

要使|AB|+|DE|最小，

则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，

又直线l
2
过点（1，0），

则直线l
2
的方程为y=x﹣1，

联立方程组，则y
2
﹣4y﹣4=0，

+θ，利用焦点弦的弦长公
∴y
1
+y
2
=4，y
1
y
2
= ﹣4，

∴|DE|=•|y
1
﹣y
2
|=×=8，

∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，

方法二：设直线l
1
的倾斜角为θ，则l
2
的倾斜角为
根据焦点弦长公式可得|AB|=
|DE|===
=


+θ，

∴|AB|+|DE|=
∵0＜sin
2
2θ≤1，

+==，

∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，

故选：A．

第13页（共32页）

【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，
对于过焦点的 弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．



11．（ 5分）设x、y、z为正数，且2
x
=3
y
=5
z
，则（ ）

A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z

【分析】x、y、z为正数，令2
x
=3
y
=5
z
=k＞1．lgk＞0．可得x=
得3y=
=
，2x =，5z=．根据=
，y=
=，
，z=．可
＞
．即可得出大小关系．

，y=，另解：x、y、z为正数，令2
x
=3
y
=5< br>z
=k＞1．lgk＞0．可得x=
z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞ 2x．

【解答】解：x、y、z为正数，

令2
x
=3< br>y
=5
z
=k＞1．lgk＞0．

则x=
∴3y=
，y=
，2x=
，z=．

，5z=．

第14页（共32页）

∵
∴
=
＞lg
=
＞
，
＞0．

＞=．

∴3y＜2x＜5z．

另解：x、y、z为正数，

令2
x
=3
y
=5< br>z
=k＞1．lgk＞0．

则x=
∴
=
=
=
，y=
=
，z=．

＞1，可得2x＞3y，

＞1．可得5z＞2x．

综上可得：5z＞2x＞3y．

解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．

故选：D．

【 点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理
能力与计算能力，属于中档 题．



12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用 软件．为激发大
家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的
激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，
2，4，8 ，16，…，其中第一项是2
0
，接下来的两项是2
0
，2
1
，再接下来的三项
是2
0
，2
1
，2
2
，依此类 推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前
N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活 码是（ ）

A．440 B．330 C．220 D．110

【分析 】方法一：由数列的性质，求得数列{b
n
}的通项公式及前n项和，可知当
N为时（ n∈N
+
），数列{a
n
}的前N项和为数列{b
n
}的前 n项和，即为2
n
+
1
﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判 断，即可求得该款软件的激活码；

方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S
n
=2
n
+
1
﹣2﹣n，及项数，由题意
可知：2
n
+
1
为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．

第15页（共32页）

【解答】解：设该数列为{a< br>n
}，设b
n
=+…+=2
n
+
1
﹣1，（ n∈N
+
），
则=a
i
，

由题意可设数列{a< br>n
}的前N项和为S
N
，数列{b
n
}的前n项和为T
n
，则T
n
=2
1
﹣1+2
2
﹣1+…+2n
+
1
﹣1=2
n
+
1
﹣n﹣2，

可知当N为
即为2
n
+
1
﹣n﹣2，

容易得到N＞100时，n≥14，

A项，由
项符合题意．
B项，仿上可知=325，可知S
330
=T
25
+b
5
=2
26
﹣25﹣2+2
5
﹣1=2
26
+4，显然不< br>=435，440=435+5，可知S
440
=T
29
+b
5
=2
30
﹣29﹣2+2
5
﹣1=2
30
，故A
时（n∈N
+
），数列{a
n
}的前N项和为数列{b
n< br>}的前n项和，
为2的整数幂，故B项不符合题意．

C项，仿上可知=210 ，可知S
220
=T
20
+b
10
=2
21
﹣20﹣2+2
10
﹣1=2
21
+2
10
﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．

D项，仿上可知=105，可知S
1 10
=T
14
+b
5
=2
15
﹣14﹣2+25
﹣1=2
15
+15，显然
不为2的整数幂，故D项不符合题意．
故选A．

方法二：由题意可知：，，
，…，

根据 等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：2
1
﹣1，2
2
﹣1，2
3
﹣1，…，2
n
﹣1，

每项含有的项数为：1，2，3，…，n，

总共的项数为N=1+2+3+…+n=，

所有项数的和为S
n
： 2
1
﹣1+2
2
﹣1+2
3
﹣1+…+2
n
﹣1=（2
1
+2
2
+2
3
+…+2
n
）﹣n=
﹣n=2
n
+
1
﹣2﹣n，

第16页（共32页）

由题意可知：2
n+
1
为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，

则①1+2+（﹣2﹣ n）=0，解得：n=1，总共有
②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有
③ 1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有
100，

④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有
＞100，

∴该款软件的激活码440．

故选：A．

【点评】本题考查数列 的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，
属于难题．



二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．

【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，

∴=+4•+4

+2=3，不满足N＞100，

+3=18，不满足N＞100，

+4=95，不满足N＞
+5=440，满足N
．

=2
2
+4×2×1×cos60°+4×1
2

=12，

∴|+2|=2．

【解法二】根据题意画出图形，如图所示；


结合图形=+=+2；

在△OAC中，由余弦定理得

||=
．

第17页（共32页）

=2，

即|+2|=2

故答案为：2．


【点 评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模
长，是基础题．



14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．

【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结
合 得答案．

【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，

由图可知，目标函数的最优解为A，

联立，解得A（﹣1，1）．

∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．

故答案为：﹣5．


【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档
第1 8页（共32页）

题．



15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆
心，b为半径作圆 A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，
则C的离心率为 ．

【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后
求 解双曲线的离心率即可．

【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），

以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．

若∠ MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=
可得：
故答案为 ：
=
．

，即，可得离心率为：e=．

，
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程
的应用，考查转化思 想以及计算能力．



16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5cm，该纸片上的等边三角形
ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△ FAB分别是以BC，
CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕 折起
△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化
时，所得三棱锥体积（单位：cm
3
）的最大值为 4cm
3
．


第19页（共32页）

【分析】由题，连接 OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=
则BC=2
V=
x，DG=5﹣x ，三棱锥的高h=
=
BC，设OG=x，
，，求出S
△
ABC
=3
，令f（x）=25x
4
﹣10x
5
，x∈（0，），f′（ x）
=100x
3
﹣50x
4
，f（x）≤f（2）=80，由此能 求出体积最大值．

【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，O G=
即OG的长度与BC的长度成正比，

设OG=x，则BC=2
三棱锥的高h=
x，DG=5﹣x，

=
=3
则V==
，

=，

=，

BC，

令f（x）=25x
4
﹣10x
5
，x∈ （0，），f′（x）=100x
3
﹣50x
4
，

令f′（x）≥0，即x
4
﹣2x
3
≤0，解得x≤2，

则f（x）≤f（2）=80，

∴V≤
故答案为：4
=4cm3
，∴体积最大值为4cm
3
．

cm
3
．


【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求 法，考查空间中线线、线面、面面
间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算 求解能力、
空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．



三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求
作答．

第20页（共32页）

17．（12分）△ABC的内 角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积
为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，

（2）根据两角余弦公式 可得cosA=，即可求出A=
根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．

【解 答】解：（1）由三角形的面积公式可得S
△
ABC
=acsinB=
∴3c sinBsinA=2a，

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，

∵sinA≠0，

∴sinBsinC=；

（2）∵6cosBcosC=1，

∴cosBcosC=，

∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，

∴cos（B+C）=﹣，

∴cosA=，

∵0＜A＜π，

∴A=
∵
，

===2R==2，

，

，再根据正弦定理可得bc=8，
∴sinBsinC=
∴bc=8，

•===，

∵a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，

∴b
2
+c
2
﹣bc=9，

第21页（共32页）

∴（b+c）
2
=9+3cb=9+24=33，

∴b+c=

∴周长a+b+c=3+．

【点评】本题考查了三角 形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定
理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题 ．



18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且 ∠BAP=∠CDP=90°．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．


【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用 线
面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；

（2 ）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到
AB⊥AD，则四边形 ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，
BC中点E，连接PO、OE，以O 为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、
y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的 一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，
得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得 二面角A﹣PB
﹣C的余弦值．

【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，

∵AB∥CD，∴AB⊥PD，

又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，

∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD；

（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，

由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，

在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，

第22页（共32页）

设PA=AB=2a，则AD=．

取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，

以O为坐标原点，分别以OA、OE 、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标
系，

则：D（），B（
，
设平面PBC的一个法向量为
由，得
，

，取y=1，得．

），P（0，0，
，
），C（
．

）．

∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB，则
∴cos＜＞=
为平面PAB的一个法向量，
=．

．

由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．


【点评】本题考查平面与平面垂直的 判定，考查空间想象能力和思维能力，训练
了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．



19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生 产
线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可
第23页（ 共32页）

以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从 正态分布N（μ，σ
2
）．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取 的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，
μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就
认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程
进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经计算得= =9.97，s==≈0.212，
其中x
i
为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2 ，…，16．

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值
﹣3+ 3
，利用估
）之外计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（
的数据，用剩下 的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ
2
），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，
0.9974
16
≈0.9592，≈0.09．

【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣ P（X=0）=0.0408，利用二项
分布的期望公式计算可得结论；

（2）（ⅰ ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生
产过程方法合理；

（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计
=（9.334，10.606），进而需剔除（< br>公式计算即得结论．

【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，

则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，

因为P（X=0）=

、
+3
可知（﹣3+3）
﹣3）之外 的数据9.22，利用
×（1﹣0.9974）
0
×0.9974
16
≈0.9592，

第24页（共32页）

所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，

又因为X～B（16，0.0026），

所以E（X）=16×0.0026=0.0416；

（2）（ⅰ）如果生产状态正 常，一个零件尺寸在（﹣3+3
﹣3
）之外的
+3）概率只有0.0026，一天内抽 取的16个零件中，出现尺寸在（
之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生 这种状况，就有
理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产
过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为
由样本数据可以看出一个
< br>零件的尺寸在（
剔除（﹣3
﹣3
+3
+3）之外，因此需对当天的生产 过程进行检查．

=9.97，σ的估计值为=0.212，
）之外的数据9.22， 剩下的数据的平均数为

（16×9.97﹣9.22）=10.02，

因此μ的估计值为10.02．

2
=16×0.212
2
+16×9.97
2
≈1591.134，

剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为

（1591.13 4﹣9.22
2
﹣15×10.02
2
）≈0.008，

因此σ的估计值为≈0.09．

【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方 差、标准差，考查概率的计
算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．



20．（12分）已知椭圆C：
P
3
（﹣1，），P< br>4
（1，
+=1（a＞b＞0），四点P
1
（1，1），P
2
（0，1），
）中恰有三点在椭圆C上．

（1）求C的方程；

第25页（共32页）

（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点．若直线P
2
A与直线P
2
B的斜< br>率的和为﹣1，证明：l过定点．

【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P
2
（0，1），P
3
（﹣1，
三点在椭圆C上．把P
2
（0 ，1），P
3
（﹣1，
由此能求出椭圆C的方程．

（2）当斜率不 存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立
，得（1+4k
2< br>）x
2
+8ktx+4t
2
﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理 、
直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．

【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P
3
（﹣1，
圆C上，

又P
4
的横坐标为1，∴椭圆必不过P
1
（1，1），
< br>∴P
2
（0，1），P
3
（﹣1，
把P
2
（ 0，1），P
3
（﹣1，
），P
4
（1，）三点在椭圆C上．

），P
4
（1，）两点必在椭
），P
4
（1，）
）代入椭圆C，求出a
2
=4，b
2
=1，
）代入椭圆C，得：< br>
，解得a
2
=4，b
2
=1，

∴椭圆C的方程为=1．

证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m， y
A
），B（m，﹣y
A
），

∵直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为﹣1，

∴===﹣1，

解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

②当斜率存在时， 设l：y=kx+t，（t≠1），A（x
1
，y
1
），B（x
2< br>，y
2
），

联立，整理，得（1+4k
2
）x2
+8ktx+4t
2
﹣4=0，

第26页（共32页）

，x
1
x
2
=，

则==

===﹣1，又t≠1，

∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，

∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，

当x=2时，y=﹣1，

∴l过定点（2，﹣1）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程 、根的判别式、韦达定
理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函< br>数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．



21．（12分） 已知函数f（x）=ae
2x
+（a﹣2）e
x
﹣x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

【分析】（1）求导，根据导数与 函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）
单调性；

（2）由（1）可知：当 a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最
小值，由f（x）
min
＜ 0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）
min
=g（e
﹣2
）
=e
﹣
2
lne
﹣
2
+e
﹣
2
﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．

（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；

（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，
即可求得a的取值范围．

【解答】解：（1）由f（x）=ae
2x
+（a﹣2）e
x﹣x，求导f′（x）=2ae
2x
+（a﹣2）e
x
﹣1，

当a=0时，f′（x）=﹣2e
x
﹣1＜0，

第27页（共32页）

∴当x∈R，f（x）单调递减，

当a＞0时，f′（x）=（2e
x+1）（ae
x
﹣1）=2a（e
x
+）（e
x
﹣），

令f′（x）=0，解得：x=ln，

当f′（x）＞0，解得：x＞ln，

当f′（x）＜0，解得：x＜ln，

∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；

当a ＜0时，f′（x）=2a（e
x
+）（e
x
﹣）＜0，恒成立，

∴当x∈R，f（x）单调递减，

综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；

（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，

当a＞0时，f（x）=ae
2x
+（a﹣2）e
x
﹣x，

当x→﹣∞时，e
2x
→0，e
x
→0，

∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，

当x→∞，e
2x
→+∞，且远远大于e
x
和x，

∴当x→∞，f（x）→+∞，

∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，

由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，

∴f（x）
min
=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，

∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，

设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），

求导g′（t）=+1，由g（1）=0，

∴t=＞1，解得：0＜a＜1，

∴a的取值范围（0，1）．

方法二：（1）由f（x）=ae
2x
+（a﹣2）e
x
﹣x，求导f′（x ）=2ae
2x
+（a﹣2）e
x
﹣1，

第28页（共32页）

当a=0时，f′（x）=﹣2e
x
﹣1＜0，

∴当x∈R，f（x）单调递减，

当a＞0时，f′（x）=（2e
x+1）（ae
x
﹣1）=2a（e
x
+）（e
x
﹣），

令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，

当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，

当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，

∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；
当a＜0时，f′（x）=2a（e
x
+）（e
x
﹣）＜0，恒成立，< br>
∴当x∈R，f（x）单调递减，

综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；

（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，

②当a＞0时，由 （1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）
min
=f（﹣
ln a）=1﹣﹣ln，

当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，

当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，

故f（x）没有零点，

当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，

由f（﹣2）=ae
﹣
4
+（a﹣2）e
﹣
2
+2＞﹣2e
﹣
2
+2＞0，

故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，

假 设存在正整数n
0
，满足n
0
＞ln（﹣1），则f（n
0
）=
＞﹣n
0
＞﹣n
0
＞0，

（a+a﹣2）﹣n
0
由ln（﹣1）＞﹣lna，

因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．

∴a的取值范围（0，1）．
< br>【点评】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函
数零点的判断，考 查计算能力，考查分类讨论思想，属于中档题．

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[选修4-4，坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
直线l的参数方程为 ，（t为参数）．

，（θ为参数），
（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．

【分析】（1）将曲线C的参数方程 化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方
程，联立两方程可以求得焦点坐标；

（ 2）曲线C上的点可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），运用点到直线距
离公式 可以表示出P到直线l的距离，再结合距离最大值为
求出a的值．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为
+y
2
=1；

a=﹣1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y﹣3=0；

联立方程，

（θ为参数），化为标准方程是：
进行分析，可以
解得或，

所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（﹣
（2）l的参数方程
，）．

（t为参数）化为一般方程是：x+4y﹣a﹣4=0，

椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），

所以点P到直线l的距离d为：

d=
值为．

=，φ满足tanφ=，且的d的最大
①当﹣a﹣4≤0时，即a≥﹣4时，

|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=5+a+4=17

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解得a=8≥﹣4，符合题意．

②当﹣a﹣4＞0时，即a＜﹣4时

|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=5﹣a﹣4=1﹣a=17

解得a=﹣16＜﹣4，符合题意．

【点评】本题主要考查曲线的参数方程、点到直 线距离和三角函数的最值，难点
在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a．



[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=﹣x
2
+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．

【 分析】（1）当a=1时，f（x）=﹣x
2
+x+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|= ，
分x＞1、x∈[﹣1，1]、x∈（﹣∞，﹣1）三类讨论，结合g（x）与f（x）的单
调性质即可求得f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；

（2）依题意得：﹣x
2
+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立⇔x
2
﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒
成立，只需，解之即可得a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣x
2
+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二
次函数，

g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，

当x∈（1，+∞）时，令﹣x
2
+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单
调递增，f（x）在（1，+∞）上 单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，
]；

当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．

当x∈（﹣∞ ，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣
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1）=2．

综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；

（2）依题意得：﹣x
2
+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x
2
﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]< br>恒成立，则只需
故a的取值范围是[﹣1，1]．

【点评】本题考查绝对值不 等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论
思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．


，解得﹣1≤a≤1，

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