修身养性的书籍-sorry是什么意思

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B
= {
x
|
3
x
1
}，则
A．
AIB{x|x0}

D．
AIB

B．
AUBR
C．
AUB{x|x1}

2．如 图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑
色部分和白 色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，
则此点取自黑色部分的概率是
A．
1
4
B．
π
8

C．
1
2
D．
π
4


3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z
满足< br>R
，则
zR
；
z

p
2
： 若复数
z
满足
z
2
R
，则
zR
； < br>p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z< br>1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

4．记
S
n
为 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4< br>a
5
24
，
S
6
48
，则
{ a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8 < br>5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围 是
A．
[2,2]

6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
2
6
展开式中的系数为
x
)(1x)
2
x
A．15 B．20 C．30 D．35

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形
组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干
个是梯 形，这些梯形的面积之和为
A．10 B．12 C．14 D．16
和两个 空白8．右面程序框图是为了求出满足3
n
?2
n
>1000的最小偶数n
，那么在
框中，可以分别填入
A．
A
>1000和
n
=
n
+1

B．
A
>1000和
n
=
n
+2 C．
A

1000和
n
=
n
+1
D．
A

1000和
n
=
n
+2
2π
)，则下面结论正确的是
3
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
= sin(2
x
+
A．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
移
π
个单位长度，得到曲线
C
2
6
B．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ，再把得到的曲线向左平
移
π
个单位长度，得到曲线
C
2
12
C．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
移
π
个单位长度，得到曲线
C
2
6
1
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 向右平
2
D．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
移
π
个单位长度，得到曲线
C
2

12
1
倍，纵坐 标不变，再把得到的曲线向左平
2
10．已知
F
为抛物线
C
：
y
2
=4
x
的焦点，过
F
作两条互相垂直的直线
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，直线
l
2
与
C
交于
D
、
E
两点，则|
AB
|+|
D E
|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
1 1．设
xyz
为正数，且
2
x
3
y
5
z
，则
A．2
x
<3
y
<5
z

D．3
y
<2
x
<5
z

B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x

12．几位大学生响应 国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的
兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激 活码”的活动.这款软件的激活码为下

面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2 ，4，1，2，4，8，1，2，4，8，
16，…，其中第一项是2
0
，接下来的两 项是2
0
，2
1
，再接下来的三项是2
0
，2
1< br>，
2
2
，依此类推。求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>100且该数列的前
N
项和为2的
整数幂。那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|=.

x2y1

14．设< br>x
，
y
满足约束条件

2xy1
，则
z3x2y
的最小值为.

xy0

x
2
y
2
15．已知双曲线
C
：
2

2
1
（
a
>0，
b
>0）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做
ab
圆
A
，圆
A与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60°，则
C
的离
心率为________。
16．如 图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中 心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O上的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
分别是以BC
，
CA
，
AB
为底边
的等腰三角形。沿虚线剪开后 ，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起△
DBC< br>，△
ECA
，
△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△
ABC
的边长变化时，所得三棱锥< br>体积（单位：cm
3
）的最大值为_______。
三、解答题：共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第2 2、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
a
2
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C< br>的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC< br>的面积为
3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB
BAPCDP90
o
（1）证明：平面
P AB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
APD90
o
，求二面角< br>A
-
PB
-
C
的余弦值.

19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从 该生产线上随机抽取
16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产 线
正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2
)
．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件 中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；
（ 2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认
为这条生产线在这一天的生产过程可能出 现了异常情况，需对当天的生产过程进行检
查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
















1
16
1
16
1
16
22< br>(x
i
x)(

x
i
16x
2
)
2
0.212
，经计算得
x

x
i
9.97
，
s

16
i1
16
i116
i1
其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺 寸，
i1,2,,16
．
ˆ
，用样本标准差
s
作 为

的估计值

ˆ
，利用估用样本平均数
x
作为< br>
的估计值

ˆ
3

ˆ
,
ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩计值判断是否需对当天的生产过 程进行检查？剔除
(

下的数据估计

和

（精确 到）．
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

2
)
，则
P(

3

Z

3

)0.997 4
，
0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．
20.（12分）
3
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2
=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
2
ab
P
4
（1，
3
）中恰有三点在椭圆
C
上.
2
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过< br>P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。 若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率
的和为–1，证明：
l
过定点.

21.（12分）
2< br>xx
已知函数
（fx)
a
e+(
a
﹣2)e﹣x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所
做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

参数方程为

xa4t,
（t为参数）
.

y1t,


x3cos

,
（
θ
为参数），直线l
的
ysin

,

（1）若
a
= ?1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点 到
l
的距离的最大值为
17
，求
a
.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x< br>）=–
x
2
+
ax
+4，
g
(
x< br>)=│
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
） 的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要 求的。
2．B 3．B 4．C 5．D 6．C
9．D 10．A 11．D 12．A 7．B 8．D
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
23
14．-5 15．
23

3
16．
15cm
3

三、解答题：共70分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题 为选考题，考生根据要求作
答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△< br>ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
a
2

3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2） 若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
解：（1）
由题意可得
S
ABC
1a
2
，
bcsinA 
23sinA
化简可得
2a
2
3bcsin
2
A
，
根据正弦定理化简可得：
2sin
2
A3sinBsinC sin
2
AsinBsinC
（2）
由
2

sinBsinC

12


3
，
cosA cosABsinBsinCcosBcosCA


23

cosBcosC
1

6

2
。
3

因此可得
B

3
C
， 将之代入
sinBsinC
2

31
2

中 可得：
sin

CsinCsinCcosCsinC0
，

3
322

化简可得
tanC
3
< br>C,B
，
366
a31
sinB3
，
sinA
3
2
2
利用正弦定理可得
b
同理可得
c3
，
故而三角形的周长为
323
。
18.（12分） < br>如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB
BAPCDP90o
（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
A PD90
o
，求二面角
A
-
PB
-
C
的 余弦值.
（1）证明：
QABCD,CDPDABPD
,
又ABPA,PAPDP
,
PA
、
PD
都在平面
PAD
内，
故而可得
ABPAD
。
又
AB
在 平面
PAB
内，故而平面
PAB
⊥平面
PAD
。
（2）解：
不妨设
PAPDABCD2a
，
以
AD
中点
O
为原点，
OA
为
x
轴，
OP< br>为
z
轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标：
P0,0,2a, A
uuur
因此可得
PA


2a,0,0,B

2a,2a,0,C2a,2a,0
，

uuur
2a,0,2a,PB

uuur
2a,2a,2a,P C2a,2a,2a
，

uruur
假设平面
PAB的法向量
n
1


x,y,1

，平面
PBC
的法向量
n
2


m,n,1

，
uruuur
ur


n
1
PA2ax 2a0x1
故而可得

u
，即
n
1


1,0,1

，
ruuur


n
1
PB2ax2ay2a0y0

uuruuur
n
2
PC2am2an2a0m0
uur

2


同理可得

uu
，即。
n0,

ruuur
2
2

2
,1


 

n
2
PB2am2an2a0n
2
u ruur
因此法向量的夹角余弦值：
cosn
1
,n
2
 
1
2
3
2

3
。
3
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为

19．（12分）
3
。
3
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽
取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产
线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

2
)
．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸 在
(

3

,

3

)之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；
（2）一天 内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认
为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常 情况，需对当天的生产过程进行
检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
















1
16
1
16
1
16
22< br>(x
i
x)(

x
i
16x
2
)
2
0.212
，经计算得
x

x
i
9.97
，
s

16
i1
16
i116
i1
其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺 寸，
i1,2,,16
．
ˆ
，用样本标准差
s
作 为

的估计值

ˆ
，利用用样本平均数
x
作为
的估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，估计值判断是否需对当天的生产过程进 行检查？剔除
(

用剩下的数据估计

和

（精确 到）．
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

2
)
，则
P(

3

Z

3

)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．
解： （1）
P

X1

1P

X0

10.9974
16
10.95920.0408

由题 意可得，
X
满足二项分布
X~B

16,0.0016
< br>，
因此可得
EX

16,0.0016

16 0.00160.0256

（2）
由（1）可得
P

X1

0.04085%
，属于小概率事件，
故而如果出现
(

3

,

3

)
的零 件，需要进行检查。
µ
9.97,

µ
0.212

µ
3

µ
9.334,

µ
3< br>
µ
10.606
， 由题意可得

故而在
9.334,10.606

范围外存在这一个数据，因此需要进行检查。
此时：

x
9.97169.22
10.02
，
15
1
15



xx0.09
。
15
i1

20.（12分）
3
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2
=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
2
ab
P
4
（1，
3
）中恰有三点在椭圆
C
上.
2
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过< br>P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。 若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率
的和为–1，证明：
l
过定点.
解：（1）
根据椭圆对称性可得，P
1
（1,1）
P
4
（1，
3
）不可能同时在 椭圆上，
2
P
3
（–1，
33
），
P
4
（1，）一定同时在椭圆上，
22
33
），
P
4
（1，），
22
因此 可得椭圆经过
P
2
（0,1），
P
3
（–1，

代入椭圆方程可得：
b1,
13
1a2
，
a
2
4
x
2
故而可得椭圆的标准方程为：
y
21
。
4
（2）由题意可得直线
P
2
A
与直 线
P
2
B
的斜率一定存在，
不妨设直线
P
2A
为：
ykx1
,
P
2
B
为：
y 

1k

x1
.

ykx1

22
联立

x
2
4k1x8kx0
，

2

y1
4
假设
A

x
1
,y
1

，
B

x
2
,y
2

此时可得：
2

8k14k
2< br>

8

1k

14

1k


A

2
,
2
,

，

,B

22


4k14k1
< br>
4

1k

14

1k

1


14

1k

此时可求得直 线的斜率为：
k
AB

y
2
y
1
x
2
x
1
14k
2

2
2
4

1k

1
4k1
8

1k

4

1k

1
2
2
8k
4k
2
1
，
化简可得
k
AB

1

12k

2
1
，此时满足
k 
。
2
1
当
k
时，
AB
两点重合，不合题意。 < br>2
1
18k

14k
2

当
k 
时，直线方程为：
y
，
x
2


2
2

2
4k14k1


12k


4k

即
y
2
4k1x

2

12k

，当
x2
时，
y 1
，因此直线恒过定点

2,1

。
21.（12分）
2
xx
已知函数
（fx)
a
e+(
a
﹣ 2)e﹣
x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
解：

（1）对函数进行求导可得
f'

x

2 ae
2x


a2

e
x
1

ae
x
1

e
x
1

。
当
a0
时，
f'

x



ae
x
1

e
x
1

 0
恒成立，故而函数恒递减
当
a0
时，
f'

x



ae
x
1

e
x< br>1

0xln
，故而可得函数在

,ln

a
a

1


1

上单调递 减，在

ln,

上单调递增。
1

1
（2）函数有两个零点，故而可得
a0
，此时函数有极小值
f

ln

lna1
，
a

a



1
a


要使得函数有两个零点，亦即极小值 小于0，
11
10

a0

，令
g

a

lna1
，
aa
a1
对函数进 行求导即可得到
g'

a


2
0
，故 而函数恒递增，
a
1
又
g

1

0< br>，
g

a

lna10a1
， a
故而可得
lna
因此可得函数有两个零点的范围为
a
< br>0,1

。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作 答。如果多做，则按所
做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

参数方程为

xa4t,
（t为参数）
.

y1t,


x3cos

,
（
θ
为参数），直线l
的
ysin

,

（1）若
a
= ?1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点 到
l
的距离的最大值为
17
，求
a
.
解： x
2
将曲线C的参数方程化为直角方程为
y
2
1
， 直线化为直角方程为
9
11
yx1a

44

13
（1）当
a1
时，代入可得直线为
yx
，联立 曲线方程可得：
44
13

yx

44
，


x
2
9y
2
9

21< br>
x


25
或

x3
，故 而交点为


21
,
24

或解得



3,0



2525
< br>
y0

y
24

25

（2 ）点

11

x3cos

,
到直线
y x1a
的距离为
44

ysin

,
 17
，
d
3cos

4sin

a4< br>17
即：
3cos

4sin

a417< br>，
化简可得
17

a4

3cos

4sin

17

a4

，
根据辅助角公式可得
13a5sin




< br>21a
，
又
55sin





5
，解得
a8
或者
a16
。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x< br>）=–
x
2
+
ax
+4，
g
(
x< br>)=│
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
） 的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.
解：
x1

2x

将函数
g

x

x 1x1
化简可得
g

x



21 x1


2xx1

（1） 当
a1
时，作出函数图像可得
f

x

g

x

的范围在
F
和
G
点中间，

171


y2x
联立

可得点
G

，因此可 得解集为
,171

2

2

yxx 4



171


1,
< br>。
2

（2） 即
f

x

 g

x

在

1,1

内恒成立，故而 可得
x
2
ax42x
2
2ax
恒成
立，
根据图像可得：函数
yax
必须在
l
1
,l
2
之间，故而可得
1a1
。