上海体育学院-师说译文

2020-2021高三数学上期中一模试题(及答案)(11)

一、选择题
a
20
1
，且数列

a
n

的前
n
项和
S
n
有最大值，则
Sn
的最1．已知

a
n

为等差数列，若
a< br>19
小正值为( )

A
．
S
1
B
．
S
19
C
．
S
20
D
．
S
37

22
2．已知关于
x
的不等 式
x4ax3a0

a0

的解集为

x
1
,x
2

，则
x
1
x
2
a
的
x
1
x
2
最大值是（ ）

A
．
6

3
B
．
23

3
C
．
43

3
D
．

43

3
3．下列命题正确的是

A
．若 a＞b,则a
2
＞b
2

C
．若a＞b，则a
3
＞b
3

B
．若a＞b，则 ac＞bc

D
．若a>b，则
1
1
＜

a
b
a
n1
．若b
10
b
11
2
，则
a
n
D
．
2
12

4．已知数列

a
n
的首项
a
1
1
，数列

b
n
为等比数列，且
b
n

a
21

（

）

A
．
2
9
B
．
2
10
C
．
2
11

5． 已知等比数列
{a
n
}
的各项均为正数，且
a
5
a
6
a
4
a
7
18
，则
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
3
log
3
a
10

（

）

A
．
10
B
．
12
C
．
1log
3
5
D
．
2log
3
5

6．设
{a
n}
是首项为
a
1
，公差为
-1
的等差数列，
S
n
为其前
n
项和，若
S
1
,S
2
,S
4
成等比数
列，则
a
1
=
（

）

A
．
2
B
．
-2
C
．
1

2
D
．

1

2
1
,q2
，则
a
4
与
a
8
的 等比中项是（ ）

8
1
1
A
．±4
B
．4
C
．

D
．

4
4< br>8．已知
ABC
中，
A
，
B
，
C
的对边分别是
a
，
b
，
c
，且
b3
，< br>c33
，
7．等比数列

a
n

中，a
1

B30
，则
AB
边上的中线的长为( )

A
．
37

2
B
．
3

4

C
．
3
37

或
2
2
B
．
2018

D
．
3
37
或

4
2
D
．
4036

9．已知等差数列

a
n

中，
a
1010
3
，
S
2017
2017
，则
S
2018

（ ）

A
．
2018
C
．
4036

10．若
0a1
，
bc1
，则
(

)

A
．
()1

b
c
a
B
．
cac


bab
C
．
c
a1
b
a1
D
．
log
c
alog
b
a

11．在
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别 是
a
，
b
，
c
，
A60
，
a 43
，
b4
，则
B
（

）

A
．
B30
或
B150

C
．
B30

B
．
B150

D
．
B60

12．两个等差数列

a
n

和

b
n

，其前
n
项和 分别为
S
n
，
T
n
，且
S
n
7n 2

，则
T
n
n3
a
2
a
20

（ ）

b
7
b
15
A
．
4

9
B
．
37

8
C
．
79

14
D
．
149

24
二、填空题
13．已知等差数列

a
n

的前
n
项和为< br>S
n
，且
S
13
6
，则
3a
9< br>2a
10

__________
．

14．已知 数列

a
n

中，
a
1
1
，且
作答）

15．设
，
是定义在上恒不为零的函数，对任意
， ，则数列的前项和
，都有，若
11
3(nN

)
，则
a
10

__________
.
（用数字
an1
a
n
的取值范围是__________．

16
．在
ABC
中
,
角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，
cos< br>C5
，且

23
acosBbcosA2
，则
 ABC
面积的最大值为

．

a
1
 2a
2

L
2
n1
a
n
n1
17．定义
H
n

为数列

a
n
的均值,已知数列

b
n

的均值
H
n
2
,
n
记数列

b
n
kn

的前
n
项和是
S
n
,若
S
n
S
5
对于任意的正整数
n
恒成立,则实数
k
的取值
范围是< br>________
．

18．设等差数列
{a
n
}< br>的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
9< br>，
S
6
36
，则
a
7
a
8a
9
等于
______
.

19．海洋蓝洞是地球罕 见的自然地理现象，被喻为
“
地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗
产
”
，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径
A
，
B
两点间的
距离，现在珊瑚群岛上取两点
C
，
D
，测得
CD 80
，

ADB135
，


BDC< br>
DCA15
，

ACB120
，则
A，
B
两点的距离为
________
．


2 0．在△
ABC
中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的 大小为
．．
________
．

三、解答题
21．在< br>ABC
中，内角
A、B、C
的对边分别为
a，b，c
，2cosC

acosBbcosA

c0
.

（Ⅰ）求角
C
的大小；

（Ⅱ）若
a2，b2
，求
sin

2BC

的值.

22．如图，< br>A
，
B
是海面上位于东西方向相距
533
海里的两个观测点 ，现位于
A
点北
偏东
45°
，
B
点北偏西
60°
的
D
点有一艘轮船发出求救信号，位于
B
点南偏西
6 0°
且与
B
点
相距
203
海里的
C
点的救 援船立即即前往营救，其航行速度为
30
海里

小时，该救援船
< br>到达
D
点需要多长时间？

23．已知在
VABC
中 ，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
asinBbcosA0
．

（
1
）求角
A
的大小：

（
2
） 若
a25
，
b2
．求
VABC
的面积．
24．已知函数
f

x

3sinxcosx
.< br>
（
1
）求函数
f

x

在
x




,


的值域；

2

（
2
）在
ABC
中，内角
A、
B
、
C
的对边分别是
a
、
b
、c
，若
7


f

A
6



8
a

fB
，求的取值范围．


63
b

25．等比数列

an

中，
a
1
2,a
7
4a
5< br>．

(Ⅰ)求

a
n

的通项公式；

(Ⅱ)记
S
n
为

a
n

的前< br>n
项和．若
S
m
126
，求
m
．

26
．已知数列
(1)
求数列
（
3
）令
c
n

为等差数列，且
a
1
2
，
a1
a
2
a
3
12
．

的通项公式；
(2)
令，求证：数列是等比数列．

1
，求数列

c
n

的前
n
项和
S
n
.

a
n
a
n1

【参考答案】
***
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一、选择题


1
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

a20
1
进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求由已知条件判断出公差
d 0
，对
a
19
出结果
.

【详解】
< br>已知

a
n

为等差数列，若
aa
a20
1
，则
2019
0
，

a
19
a
19
由数列

a
n

的前
n
项和
S
n
有最大值，可得
d0
，

 a
19
0,a
20
a
19
0,a
20
0,S
37
37a
19
0
，

a
1
a
38
a
20
a
19
0
，< br>S
38
0
，

则
S
n
的最小正值为
S
37

故选
D

【点睛】

本题考查了等差数列的性质运用，需要 掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性
质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.

2
．
D
解析：
D

【解析】

：不等式
x
2
-4ax+3a
2
＜
0
（
a
＜
0
）的解集为（
x
1
，
x
2
），


2
根据韦达定理，可得：
x
1
x
2
3a
，
x
1
+x
2
=4a
，


那么：
x
1
x
2

a
1
=4a+
．


x
1x
2
3a

∵
a
＜
0
，


∴
-
（
4a+
11
1
4343
=
≤-


）
≥2
4a
，即
4a+3a3a
3a
33
a
43
的最大值为

．

x
1
x
2
3
故
x
1x
2

故选
D
．


点睛：本题主 要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示
内接正方形的边长.在用基本 不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一
正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系 式中，含变量的各项的和或积必须有一个为
定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

3．C
解析：
C

【解析】

对于
A< br>，若
a1
，
b1
，则
A
不成立；对于
B
，若
c=0
，则
B
不成立；对于
C
，若
ab
，则
a
3
b
3
，则
C
正确；对于
D
，
a2
，
b1
，则
D
不成立.

故选
C

4．B
解析：
B

【解析】

【分析】

由已知条件推导出
a
n=b
1
b
2
…b
n-1
，由此利用
b
10
b
11
=2
，根据等比数列的性质能求出
a
21
．

【详解】

数列{a
n
}的首项a
1
=1，数列{b
n
}为等比数列，且
b
n

∴
b
1
＝
a
n1
，

a
n
a
a
2
a
a
2
，b
2
＝
3
， a
3
b
1
b
2
，b
3
＝
4，a
4
b
1
b
2
b
3
，


a
1
a
2
a
3
Qb
10
b
11
2，a
21
b
1
b
2
b
20
（b
1
b
20
）（b
2
b
19
）（b
10
b
11
）2
10

．

…
a
n
b
1
b
2
b
n1
，
故选
B
．

【点睛】
本题考查数列的第
21
项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的
性质的合理运用．

5．A
解析：
A

【解析】

【分析】

利用对数运算合并，再利用等比数列

a
n

的性质求解。

【详解】

因为
log
3
a
1
log
3
a
2
log
3
a
3
Llog
3
a
10< br>=
log
3

a
1
a
2
a
3
La
10

=
log
3

a
1
a
10

,

5
又
a
4
a
7
a
5
a
6
a
1
a
10
，由
a
4
a
7
a
5
a
6
18
得
a
1
a
10
9
，所以log
3
a
1
log
3
a
2
lo g
3
a
3
Llog
3
a
10
=
l og
3
9
5
=10
，故选
A
。

【点睛】

本题考查了对数运算及利用等比数列

a
n
的性质，利用等比数列的性质：当
mnpq,(m,n,p,qN
< br>)
时，
a
m
a
n
a
p
aq
，

2

特别地
mn2k,(m,n,kN)
时，
a
m
a
n
a
k
，套用性质得解， 运算较大。

6．D
解析：
D

【解析】

【分析】

2
把已知
S
2
=S
1
S
4
用数列的首项
a
1
和公差
d
表示出来后就可解 得
a
1
．，

【详解】

2
2
因 为
S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，所以
S
2
=S
1
S
4
，即
(2a
1
1 )a
1
(4a
1
6)，a
1
.

1
2
故选
D.

【点睛】

本题考查等差 数列的前
n
项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基
础题．
7．A
解析：
A

【解析】

【分析】

利用等比数列

a
n

的性质 可得
a
6
＝a
4
a
8
，即可得出．

2
【详解】

设
a
4
与
a
8的等比中项是
x
．

由等比数列

a
n

的性质可得
a
6
＝a
4
a
8
，
xa
6
．

2
∴
a
4
与
a
8
的等比中项
xa
6
24．


故选
A
．

【点睛】

本题考查了等比中项的求法，属于基础题．

1
8
5
8．C
解析：
C

【解析】

【分析】

由已知利用余弦定理可得
a
2
9a180
，解得
a< br>值，由已知可求中线
BD
1
c
，在
2
VBCD中，由余弦定理即可计算
AB
边上中线的长．

【详解】

解：
Q
b3,c33,B30
o
，

由余弦定理
b
2
a
2
c
2
2accos B
，可得
9a
2
272a33
3
，

2
整理可得：
a
2
9a180
，

解得
a6
或3．

Q
如图，
CD
为
AB
边上的中线，则
BD
1
c
33
，

2 2

在
VBCD
中，由余弦定理
CD
2
a
2
BD
2
2aBDcosB
，可得：
CD
26
2
(
33
2
33333
2
333
，或
CD
2
3
2
(
，

)26 )23
222222

解得
AB
边上的中线
C D
故选
C
．

3
37
或．

2
2

【点睛】

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题．

9．D
解析：
D

【解析】

分析：由题意首先 求得
a
1009
1
，然后结合等差数列前
n
项和公式求解 前
n
项和即可求得
最终结果
.

详解：由等差数列前
n
项和公式结合等差数列的性质可得：

S2017

a
1
a
2017
2a
2017 
1009
20172017a
1009
2017
，

22
则
a
1009
1
，据此可得：

a
1
a
2018
20181009

a
100 9
a
1010

100944036
.

2
本题选择
D
选项
.

S
2017

点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前
n
项和公式等知识，意在考查 学生的
转化能力和计算求解能力
.

10．D

解析：
D

【解析】

【分析】

运用不等式对四个选项逐一分析

【详解】

a
b

b

对于
A
，
Qbc1
，
1< br>，
Q0a1
，则

1
，故错误

c

c

对于
B
，若
误

对于
C
，
Q0a1
，
a10
，
Qb c1
，则
c
a1
b
a1
，故错误

对于
D
，
Qbc1
，
log
c
alog
b
a
，故正确

故选
D

【点睛】

本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．

cac

，则
bcabcbca
，即
a

cb

0
，这与
bc1
矛盾，故错
bab
11．C
解析：
C

【解析】

【分析】

将已知 代入正弦定理可得
sinB
1
，根据
ab
，由三角形中大边对大 角可得：
2
B60
，即可求得
B30
.

【详解】

解：
QA60
，
a43
，
b4

bsinA4sin601


a2
43
由正弦定理得：
sinB
Qab

B60

B30

故选
C.

【点睛】

本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力
.

12
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

根据等差数列的性质前
n
项和的性质进行求解即可.

【详解】

a
2
a
20
2a11
a
11

,
又
S
21
21a
11
,
T
21
21b
11
,

因为等差数列

a
n

和

b
n

,
所以
b
7
b
15
2b
11
b
11
S
21
7212149
21a
11
14 9
a
11
149


,,
故令
n2 1
有即所以

21b24b24
T
21
21324
1111
故选：
D.

【点睛】

本题主要考查等差数列的等和性质：

若

a
n

是等差数列
,
且
mnpq(m,n,p,qN*)
,
则
a
m
a
n
a
p
a
q

与等差数列

a
n

前
n
项和
S
n
的性质
S
2n1
(2n1)a
n
,(n N)

*
二、填空题

13．【解析】分析：根据等差数列中下标 和的性质和前n项和公式求解详解：
∵等差数列中∴∴设等差数列的公差为则点睛：等差数列的项的下标 和的性质
即若则这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用利用整体代换的方法可
6
.

13
【解析】

解析：
分析：根据等差数列中下标和的性质和前
n
项和公式求解．

详解：∵等差数列

a
n

中
S
136
，

∴
S
13

∴
a
7

13

a
1
a
13

2
132a
7
6
，

2
6
．

13
6
．

13
设等差数列

a
n

的公差为
d
，
< br>则
3a
9
2a
10
2

a
9< br>a
10

a
9
a
9
2da
7

点睛：等差数列的项的下标和的性质，即若
mnpq,m,n,p,q Z

*

，则
a
m
a
n
a< br>p
a
q
，这个性质经常和前
n
项和公式
S
n

整体代换的方法可使得运算简单．

n

a
1
a
n

2
结合在一起应用，利用
14．【解析】【分析】 由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首
项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】 本题考查等差数列的定义及通
项公式意在考查计算能力是基础题
解析：
1

28

【解析】

【分析】


1 1

1


1


3(nN)由得

为等差数列，求得

通项公式，则
a
10< br>可求

a
n1
a
n

a
n


a
n


【详解】


1

11
3(nN

)
则

< br>为以首项为
1
，公差为
3
的等差数列，则

a
n1
a
n

a
n


11
 13

n1

3n2a
10


a
n
28
故答案为：
【点睛】

本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题

1
< br>28
15．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy∈R都有f(x)f(y)=f( x+y)
则令x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即f(n+1)an+1an=f(n +1)f(n)=12即数列{a
解析：
【解析】

试题分析：由题意，对任意实数，都有，则令可得

为首项，

，即 ，即数列是以
以为公比的等比数列，故
考点：抽象函数及其应用，等比数列的通项及其性质

16
．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取 得
最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】
本题主要考查解 三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的

解析：
5

2
【解析】

试题分析：
cos
1
45
C 5
2
C
1
，
sinC
，
cosC2cos
，

29
9
23
c95
，由图可知，当
C
在
AB
垂

sinC10
acosBbcosAc2
，外接圆直径为
2R

直平分线上时，面积取得最大值
.设高
CEx
，则由相交弦定理有
x



9 5

x

1
，解得


10

x
5
155
.

，故最大面积为
S2
222
2

考点：解三角形．

【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角 公式、正弦定理，化归
与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法
.
一开始题目 给了
C
的半角的余弦值，我
们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值
.
第二个条件
acosBbcosA2
我们
结合图像，很容易知道这就是
c2
.
三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定
的，所以面积最大 也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了
.

17
．【解析】【 分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任
意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则 对也成立则数列为等差数列记数列
为故对任意的恒成立可化为
:
；即解得故答案为:
【点睛】本题考查了根据

712
解析：
[,]

35
【解析】

【分析】

n1n1n2n
因为
b
1
2b
2
2b
n
n2
,
b
1
2b
2
2b
n1
(n1) 2
,从而求出
b
n
2(n1)
,可得数列

b
n
kn

为等差数列,记数列

b
n
 kn

为

c
n

,
从而将
S< br>n
S
5
对任
意的
n(nN
*
)
恒成立化为
c
5
0
,
c
6
0
,
即可求得答案.

【详解】

n1
b2b
L
2b
n12
Q

H
n
2
n1
,

n

< br>b
1
2b
2
L2
n1
b
n
n2
n1
,

n2n
故
b
1
2 b
2
L2b
n1
(n1)2(n2)
,
< br>
2
n1
b
n
n2
n1
(n1 )2
n
(n1)2
n
,

则
b
n
2(n1)
,对
b
1
也成立,


b
n
2(n1)
,

则b
n
kn

2k

n2
,


数列

b
n
kn

为等差数列,
记数列

b
n
kn

为

c
n

.

*
故
S
n
S5
对任意的
n(nN)
恒成立,可化为:
c
5
0< br>,
c
6
0
；


5(2k)20< br>712
即

,解得,
k
,

6(2k )20
35

故答案为:
[,
【点睛】

本题 考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性
,
掌握判断数列前
n
项和 最大值的
方法是解题关键
,
考查了分析能力和计算能力
,
属于中档题
.

712
]
．

35
18
．【 解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解
【详解】等差数列的前项和为则有 解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列
前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的 数量关系来求

解析：【解析】

【分析】

根据等差数列 的前
n
项和转化为关于
a
1
和
d
的数量关系来求解

【详解】

Q
等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
S
3
9
，
S
6
36
，


3
31

S3ad9

31

a
11

2
则有

，解得


d2< br>661



S6ad36
61
2

a
7
a
8
a
9
a
1
6da
1
7da
1
8d3a
1
 21d3121245

故答案为
45

【点睛】

本题考查了等差数列前
n
项和的公式运用，在解答此类题 目时可以将其转换为关于
a
1
和
d
的数量关系来求解，也可以用等差 数列和的性质来求解，较为基础。

19．【解析】【分析】△ACD中求出AC△ABD中求 出BC△ABC中利用余弦定理
可得结果【详解】解：由已知△ACD中∠ACD＝15°∠ADC＝1 50°∴∠DAC=15°
由正弦定理得△BCD中∠BDC＝15
解析：
805

【解析】

【分析】