上海托普信息技术职业学院-端午节的作文300字

2019-2020学年上海市黄浦区高三年级一模考试数学试卷
2020.01

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合
A{x|(x1)(x2)0}
，集合
B{x|1 x3}
，则
AUB

【答案】
(1,3)

【解析】由题集合
A{1x2}< br>，集合
B{x|1x3}
，所以
AUB(1,3)

2. 已知
z(ai)(1i)
（
aR
，
i
为虚数单位）为纯虚数，则
a

【答案】
1

【解析】由题复数
z(a1)(a1)i
，为纯虚数，即
a11
，所以
a1

3. 抛物线
x
2
8y
的焦点到准线的距离为
【答案】4
【解析】由题抛物线的焦点为
(0,2)
，准线 为直线
x2
，易得焦点到准线的距离为4
4.
(x
2
)
8
的展开式中
x
4
的系数为
【答案】70
4
【解析】由题二项式展开中含
x
4的项为
C
8
x
1
x

2
4

1





70x
4
，故
x
4
的系数为70

x

4
5. 设< br>
为第二象限的角，
sin


【答案】

3
，则
tan2

的值为
5
24

7
【解析】由

为第二象限的角，
sin


3
3
可得
tan

，所以
5
4
tan2


2tan

24


2
1tan

7
6. 母线长为
3
，底面半径为
1
的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为
2π

3
【解析】由底面半径为
1
可知圆锥展开图中的弧 长为
2

，展开图中半径为
3
，由
【答案】
L< br>
r
得


2


3
7. 若无穷等比数列
{a
n
}
满足：
a
2
a
3
a
4
，
a
5

则数列
{a
2n 1
}
的所有项的和为
【答案】
1
，且
a
n
R
（
nN
*
），
16
4

3

【解析】由
a2
a
3
a
4
，
a
5

1< br>1
可得
a
1
1,q
，所以 数列
{a
2 n1
}
的所有项的和为
16
2
Slim
a
1< br>(1

q
2

)
n
n
1 q
2

4
4
，故答案为
3
3
8. 四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是
（结果用数字作答）
【答案】144
23
【解析】由题：2P
4
P
3
144


9. 已知A
、
B
为双曲线
E
的左、右顶点，点
M
在E
上，
ABM
为等腰三角形，且顶角
为
120
o
，则
E
的两条渐近线的夹角为
【答案】
π

2
3,M2a,
【解析】由题意可知
AB:BM:AM1:1:

3a,
代入双曲线方程得

π
4a
2
3a
2
则渐近线方程为，故夹角为。
yx
1,ab,
a
2
b
2
2

10. 已知函数
yf(x)
与
yg(x)
的图像关于直线yx
对称，
若
f(x)xlog
2
(2
x2)
，则满足
f(x)log
2
3g(x)
的
x
的取值范围是
【答案】
(0,log
2
15)

【解析】
f(x )xlog
2
(2
x
2)log
2
3log2
(2
x
2)log
2
3
x0
2
x
由题意得
f(x)xlog
2
(2
x
2)
单调递增，故反函数单调递增，
f(log
2
3)log
2
15
，
log
2
3g(x)log
2
3f
1
(log
2
15)f
1
(x)xlog
2
15

11. 设函数
yf(x)
的定义域为
D，若对任意的
x
1
D
，总存在
x
2
D，使得
f(x
1
)f(x
2
)1
，则称函数f(x)
具有性质
M
，下列结论：① 函数
yx
3
x
具有性质
M
；
xx
② 函数
y35
具有性质
M
；③若函数
ylog
8
(x2)
，
x[0,t]
具有性质
M
，则
t510
；④若
y
【答案】②③
3sinxa
具有 性质
M
，则
a5
；其中正确结论的序号是
4< br>【解析】①函数
yx
3
x
，由于
f(0)0
， 故不成立
xx
②函数
y35
值域
(0,)
，所以 具有性质
M

③函数
ylog
8
(x2 )
，
x[0,t]
单调递增，
f(0)
④若
y
1
，故
f(t)3t510

3
3sinxa
具 有性质
M
，则
a5
，故不成立
4
12. 已知正六边 形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
的边长为2，点是
P
该正六边形上的动点，
ruu uruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuur
uuu
记

A
1
PA
2
P
A
2
PA
3
PA
3
PA
4
PA
4
PA
5
PA
5
PA
6
PA
6PA
1
P
，
则

的取值范围是
【答案】
[30,36]

【解析】以正六边形的中心为坐标原点建立坐标系 ，
A,3),A
2
(1,3),A
3
(2,0),

1
(1
A
4
(1,3),A
5
(1,3),A< br>6
(2,0)
，设
P(x,3),(1x1)
，
r uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuruuuruuu

A
1
PA
2
P
A
2< br>PA
3
PA
3
PA
4
PA
4
PA
5
PA
5
PA
6
PA
6
P A
1
P

6x
2
30
，故

的取值范围是
[30,36]


二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 方程
2x1
5
的解集是（ ）
3x
【A】
{2}

【B】
{2,2}

【C】
{1,1}

【D】
{i,i}

【答案】B
2
【解析】
2x35,x2
，解集是
{2,2}

14. 将函数
ysin(4x

3
)
的图像上各点的 横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移

个
3
单位，得到的函数图像的一条对称轴的方程为（ ）
【A】
x

12

【B】
x

16
【C】
x
【D】
x


4



2

【答案】A
【解析】横坐标伸长为原来的2倍，
ysin(2x

3
)
， 向右平移

个
3
单位，
ysin

2(x< br>





5

k
 

)

sin

2x

，对称轴 为
x,k1,x

63

3

12212

15. 若函数
f(x)
的定义域为
R
，则“
f(x)
是偶函数”是“
f( |x|)f(x)
对一切
xR
恒
成立”的（ ）
【A】充分不必要条件
【B】必要不充分条件
【C】充分必要条件
【D】既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若
f(x)< br>是偶函数，则
f(x)f(x)f(x)

必要性：若
f(x) f(x)f(x)
，则
f(x)f(x)
，定义域为
R
， 即偶为偶函数。
16. 设曲线
E
的方程为
49
1
， 动点
A(m,n)
、
B(m,n)
、
C(m,n)
、
D(m,n)
在
x
2
y
2
E
上，对于结论：① 四边形
ABCD
的面积的最小值为48；② 四边形
ABCD
外接圆的面
积的最小值为25

；下面说法正确的是（ ）
【A】①错②对
【B】①对②错
【C】①②都错
【D】①②都对
【答案】D
【解析】由题意可知
49
1,

22
mn
9< br>
16n36m16n36m

4
S
ABCD
4m n4mn

2

2

248
，当且 仅当
4n6m
mnmnmn

时等号成立，故①正确；
9
9m
2
4n
2

4
mn
mn


2

2

13
2
2
25
，当且仅当
2n3m
时等号成立，
mn nm

2222
rm
2
n
2
,S
m in



m
2
n
2






min
25

,
故②正确

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在三棱锥
P ABC
中，已知
PA
、
PB
、
PC
两两垂直，PB3
，
PC4
，
且三棱锥
PABC
的体积为10.
（1）求点
A
到直线
BC
的距离；
（2）若
D
是棱
BC
的中点，求异面直线
PB
、
AD
所成角大小（结果用反三角函数值表示）.


【答案】（1）
76935
（2）
arccos

5 25
【解析】（1）因为
PAPB，PAPC
，
PBPCP
，所以
AP
平面
PBC
， ……1分
11
由
V
PABC
(34)AP10
，可得
AP5
． ………………………………………3分
32
过
P
作
PEBC于
E
，连
AE
，由
AP
平面
PBC
，可得
APPE,APBC
，
由
BCPE
，
BC AP
，可知
BC
平面
APE
，故
BCAE
，… ……………………4分
又
PE=
12
12
，所以
AE5
2
()
2

5
5
769
，
5
所以点
A
到直线
BC
的距离为
769
．………6分
5
（2）设
F
为棱
PC
的中点，连
DF,AF，由
D,F

分别是棱
BC,PC
的中点，可得
DF< br>∥
PB
，所以
AD
与
DF
的夹角即为异面直线PB
与
AD
所成
的角． ……………………………………8分
因为
AP
平面
PBC
，所以
APPD
， 13
55
22
PB
，
AFAP+PF29
，ADAP
2
+PD
2
5
2
()
2
5
，
22
22
AD
2
+DF
2
A F
2
35
所以
cosADF
， …………………………………………12分

2ADDF25
35
故异面 直线
PB,AD
所成的角为
arccos
． ………………………………………14分
25
18. 在△
ABC
中，a
、
b
、
c
分别是角
A
、
B
、
C
的对边，且
acosC(2bc)cosA
.
又
FD
uuuruuur
（1）若
ABAC3
，求△
ABC的面积；
（2）若
BC
，求
2cos
2
Bc os
2
C
的取值范围.
【答案】（1）
33
（2）
(
3
,
9
)

2
44
【解 析】（1）由
acosC(2bc)cosA
，可得
sinAcosC(2si nBsinC)cosA
，……1分
即
sin(AC)2sinBcosA< br>，故
sinB2sinBcosA
，

1
π
，因
A(0,π)
，故
A
． ……………………………4分 23
uuuruuur
π
因为
ABAC3
，所以
c bcos3
，得
bc6
， ……………………………………6分
3
13
△ABC的面积为
bcsinA3
． ……………………………………………………8分
22
π
2π
（2）由A
，可得
BC
，
3
3
1cos2C
所以
2cos
2
Bcos
2
C1cos2B
…………………………………9分
2
34π133
cos(2C)cos2Csin2C
， ………………………………11分
23222
2π4π
π2π
33
又
BC
，故
C(,)
，即
2C(,)
，所以< br>sin2C(,)
，
22
33
33
又
sinB 0
，故
cosA
2
所以
2cosBcosC
333 9
sin2C(,)
．
2244
39
即
2cos2
Bcos
2
C
的取值范围是
(,)
． …………………………………………14分
44

19. 某研究所开发了一种新药 ，测得成人注射该药后血药浓度
y
（微克毫升）与给药时间
x
（小时）之间的 若干组数据，并由此得出
y
与
x
之间的一个拟合函数
y40(0. 6
x
0.6
2x
)
（
x[0,12]
），其简 图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：
（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；
（2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01
小时）







【答案】（1）见解析 （2）
2.40
小时
【解析】（1）令
0.6
x
t，则
y40(0.6
x
0.6
2x
)40(t
2
t)
，……………………2分
y40(t0.5)
2
 1010
，当且仅当
t0.5
，即
xlog
0.6
0 .5[0,12]
时，
y10
，
故
y
的最大值为10 ，此时
xlog
0.6
0.51.36
，
所以药峰浓度为10(微克毫升)，药峰时间为1.36小时． …………………6分
由函数简图知，当
x[0,log
0.6
0.5]
时，血药浓度随 时间增大而增大；
当
x[log
0.6
0.5,12]
时，血 药浓度随时间增大而减小． ……………………8分

1
（2）令
y40(t
2
t)5
，可得
t
2
t0， …………………………………10分
8
22222222
解得< br>t
或
t
，由
t
可得
xlog
0.6
，………………12分
4444
22
故血药浓度的半衰期为
lo g
0.6
．…………………14分
log
0.6
0.52.40
（小时）
4



20. 已知椭圆
C
的中心在坐标原点，焦点在
x
轴上， 椭圆
C
上一点
A(23,1)
到两焦点距
离之和为8，若点
B
是椭圆
C
的上顶点，点
P
、
Q
是椭圆
C
上异于点
B
的任意两点.
（1）求椭圆
C
的方程； < br>uuuruuur
（2）若
BPBQ
，且满足
3PD2DQ
的点
D
在
y
轴上，求直线
BP
的方程；
（3） 若直线
BP
与
BQ
的斜率乘积为常数

（

0
），试判断直线
PQ
是否经过定点，
若经过定点，请求出定点坐标，若 不经过定点，请说明理由.





28

x
2
y
2
【答案】（1）
1
（2）
y2x2
（3）
(0,)

164
1 4

x
2
y
2
【解析】（1）设椭圆
C
的方程为
2

2
1(ab0)
，
ab
12 1
由题意知
2a8
，且
2

2
1
，可 得
a4,b2
，
ab
2
xy
2
故椭圆
C
的方程为
1
． …………………4分
164
1
（2）设
BP,BQ
的斜率分别为< br>k,k

，则由
BPBQ
，可得
k


， ……………5分
k

ykx2,

16k由

x
2
y
2
可得
(4k1)x
2
16kx0
，所以
x
P

2
，
4k 1

1

164
16k

16k
同理可得
x
Q

， …………………7分

22
4k

14k
uuuru uur
16k16k
由
3PD2DQ
，可知
3x
P< br>2x
Q
，即
3
2
，
2
4k1 4k
2
又
k0
，可得
k2
，所以
BP的方程为
y2x2
． …………………10分
（3）设直线
PQ
的方程为
ymxb
，代入椭圆
C
的方程，
可得< br>(4m
2
1)x
2
8mbx4b
2
160
，

8mb

xx,
12
2

4m1
设
P,Q
的坐标分别为
(x
1
,y< br>1
),(x
2
,y
2
)
，故

……………12分
2

xx
4b16
12

4m
2
1

y2y
2
2mx
1
( b2)mx
2
(b2)
由
k
BP
k
BQ
1



x
1
x
2
x
1
x
2
可得
(m
2


)x< br>1
x
2
m(b2)(x
1
x
2
)( b2)
2
0
， …………………14分
4b
2168mb
2
所以
(m

)m(b2)(b2)
2
0
，又
b2
，
22
4m14m1故
(m
2


)4(b2)8m
2
b( b2)(4m
2
1)0
，
28

可得
b 
28

为定值，故直线
PQ
过定点
(0,)
． …………………16分
14

14




21. 对于数列
{a
n
}
，若从第二项起的每一项均大于该项之前 的所有项的和，则称
{a
n
}
为
P
数列.
（1 ）若
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
 3
n
2
，试判断
{a
n
}
是否是
P数列，并说明理由；
（2）设数列
a
1
,a
2
,a< br>3
,,a
10
是首项为
1
，公差为
d
的等比数列，若该数列是
P
数列，求
d
的取值范围；
（3）设 无穷数列
{a
n
}
是首项为
a
，公比为
q
的等比数列，有穷数列
{b
n
}
、
{c
n
}
是从
{a
n
}

中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起 所有项和分别为
T
1
、
T
2
，求
{a
n< br>}
是
P

数列时
a
与
q
所满足的条 件，并证明命题“若
a0
且
T
1
T
2
，则{a
n
}
不是
P
数列”.
【答案】（1）见解析 （2）
(0,
8
)
（3）见解析
27
【解析】（ 1）由
S
n
3
n
2
，可知
a
n1< br>S
n1
S
n
23
n
， …………………2分
故
a
n1
S
n
3
n< br>20
对一切正整数
n
都成立，故
{a
n
}
是
P
数列．…………………4分
n(n1)
（2）由题意知，该数列的 前
n
项和为
S
n
nd
，
a
n1< br>1nd
，……6分
2
由数列
a
1
,a
2
,L,a
10
是
P
数列，可知
a
2
 S
1
a
1
，故公差
d0
，
d3
S< br>n
a
n1
n
2
(1d)n10
对满足
1n9
中的每一个正整数
n
都成立．……8分
22
d
2
3
n(1d)n10
对于
n1,9
都成立．

22
d3
8
由
9
2
9(1d) 10
，可得
d
，
22
27
8
故
d
的取值范围是
(0,)
． …………………10分
27
（3）若
{a
n
}
是
P
数列，则
aS
1
a
2
aq
，