淮安人事网-洪晓蕾

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2016年普通高等学校招生全统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1,2,3

，
Bxx9
，则
AB
（1 ）已知集合
A

2

（A）

2,1,0 ,1,2,3

（B）

1,0,1,2

（C）

1,2,3

（D）

1,2


（2）设复数
z
满足
zi3i
，则
z

（A）
12i
（B）
12i
（C）
32i
（D）
32i

（3）函数yAsin(

x

)
的部分图像如图所示，则
y
2
（A）
y2sin(2x

)
（B）
y2sin(2x)

63
)
（D）
y2sin(2x)

3

（C）
y2sin (2x

6

-
π
6
O
π
3< br>x
（4）体积为
8
的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
32
（A）
12

（B）

（C）
8

（D）
4


3（5）设
F
为抛物线
C
：
y4x
的焦点，曲线
y
2
-2
k
(k0)
与
C
交于点
P
，
PFx
轴，则
k

x
13
（A） （B）
1
（C） （D）
2

22
22
（6）圆
xy2x8y13 0
的圆心到直线
axy10
的距离为
1
，则
a
（A）
3
（B）

3
（C）
3
（D）
2

4
23
（7 ）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表
面积为
（A）20π
4
（B）24π
（C）28π
（D）32π
44
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（8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若
一名行人来到该路口遇到红 灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
（A）
开始
输入
x,n

7533
（B） （C） （D）
108810
（9）中国古代有计算多项式值的秦九韶 算法，右图是实现该算法的程序框图.执行
该程序框图，若输入的
x2
，
n 2
,依次输入的
a
为2，2，5，则输出的
s

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34
（10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数
y10
lgx
的定义域和值域相同的是
输入
a

x
（A）
yx
（B）
ylgx
（C）
y2
（D）
y
1
x

（
（11）函数
f(x)cos 2 x6 cos

x）
的最大值为
2
是
2
否
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（12）已知函数
f(x) (xR)
满足
f(x)f(2x)
，若函数
yx2x3
与
输出
s

yf(x)图像的交点为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y< br>2
),,(x
m
,y
m
)
，则

x
i1
m
i

结束
（A）
0
（B）
m
（C）
2m
（D）
4m

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21 )题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为
选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13）已知向量a
(m,4)
，b
(3,2)
，且a∥b，则
m
．

xy10,

（14）若
x,y
满足约束条件

xy30,
则
zx2y
的最小值为 ． < br>
x30,

（15）
△ABC
的内角
A,B, C
的对边分别为
a,b,c
，若
cosA
45
,cosC ,a1
，则
b
．
513
（16）有三 张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片
后说：“ 我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不
是1”，丙 说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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（17）（本小题满分12分）
等差数列

a
n

中，且
a
3
a
4
4
，
a
5
a
7
6
．
（Ⅰ）求

a
n

的通项公式；
（Ⅱ）记
b
n


a
n

，求数列

b
n

的前10项和，其中

x

表示不超过
x
的最大整数，如

0.9

0
，

2.6

2
．
（18）（本小题满分12分）
某险种的基本保 费为
a
（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保
费与 其上年度的出险次数的关联如下：
上年度出险次数

保 费











随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
概 数












（Ⅰ）记
A
为事件：“一续保人本年度的 保费不高于基本保费”．求
P(A)
的估计值；
（Ⅱ）记
B
为事件 ：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求
P(B)
的估计值 ；
（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．
（19）（本小题满分12分）
如 图，菱形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O< br>，点
E,F
分别在
AD,CD
上，
AECF
，EF
交
BD
于点
H
.将
△DEF
沿
E F
折到
△D

EF
的位置.
（Ⅰ）证明：
ACHD

；
（Ⅱ）若
AB5
，
AC6
，
AE
（20）（本小题满分12分）
已知函数
f(x)(x1)lnxa (x1)
．
（Ⅰ）当
a4
时，求曲线
yf(x)
在
(1,f(1))
处的切线方程 ；
（Ⅱ）若当
x(1,)
时，
f(x)0
，求
a
的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
5
，
OD22
，求五棱锥
DABCFE
的体积．
4
x
2
y
2
1
的左顶点，斜率为
k( k0)
的直线交
E
于
A,M
两点，点
N
在
E
已知
A
是椭圆
E
：
43
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上，
MANA
.
（Ⅰ）当
AMAN
时，求
△AMN
的面积；
（Ⅱ）当
2AMAN
时，证明：
3k2
.
请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，在正方形
ABCD
中，
E,G
分别在边
DA,DC
上（不与端点重合），且
D EDG
,过
D
点
作
DFCE
,垂足为
F
.
（Ⅰ）证明：
B,C,G,F
四点共圆；
（Ⅱ）若
AB1
，
E
为
DA
的中点，求四边形
BCGF
的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
22
(x6)y25
.
xOy
在直角坐标系中，圆
C
的方程为
（Ⅰ）以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求< br>C
的极坐标方程；

xtcos

,
（Ⅱ）直线
l
的参数方程是

（
t
为参数），
l
与< br>C
交于
A,B
两点，
AB10
，求
l
的斜 率.
ytsin

,

（24）（本小题满分10分）选修4- 5：不等式选讲
已知函数
f(x)x
（Ⅰ）求
M
；
（Ⅱ）证明：当
a,bM
时，
ab1ab
.
11
x
，
M
为不等式
f(x)2
的解集.
22
2016年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案
一. 选择题

（1）D （2）C （3） A （4） A （5） D （6） A
（7） C （8） B （9） C （10） D （11） B （12） B
二．填空题
(13)

6

(14)

5

（15）
21
（16）1和3
13

三、解答题
（17）(本小题满分12分)
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(Ⅰ )设数列

a
n

的公差为d，由题意有
2a
1< br>5d4,a
1
5d3
，解得
a
1
1,d
所以

a
n

的通项公式为
a
n

（Ⅱ）由(Ⅰ)知
b
n


当n=1,2,3时，
1
2
，
5
2n3
.
5

2n3

，

5

2n3
2,b
n
1
； < br>5
2n3
当n=4,5时，
23,b
n
2
；
5
2n3
当n=6,7,8时，
34,b
n
3；
5
2n3
当n=9,10时，
45,b
n
 4
，
5
所以数列

b
n

的前10项和 为
1322334224
.
（18）(本小题满分12分)
(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为6050
0.55
，
200
故P(A)的估计值为0.55. < br>（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为
3030
0.3
，
200
故P(B)的估计值为0.3.
(Ⅲ)由题所求分布列为：
保费
频率
0.85a
0.30
a
0.25
1.25a
0.15
1.5a
0.15
1.75a
0.10
2a
0.05
调查200名续保人的平均保费为
0.85a0.30 a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.101. 1925a
，
因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a.
（19）（本小题满分12分）
（I）由已知得，
ACBD,ADCD.
又由
AECF
得
AECF
，故
ACEF.


ADCD

由此得
EFHD,EFHD

， 所以
ACHD

.
.
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（II）由
EFAC
得
OHAE1
.

DOA D4
由
AB5,AC6
得
DOBO
所以
OH1, D

HDH3.

AB
2
AO
2
4.

于是
OD

OH(22)19D

H,
故
OD

OH.
由（I）知
ACHD

，又
ACBD,BD
所以
AC
平面
BHD

,
于是
ACOD

.

又由
OD

OH,AC
又由
22222

HD

H
，
OHO
，所以，
OD


平面
ABC.

EFDH9
得
EF.


ACDO2
11969
五边形
ABCFE
的面积
S683.

22 24
所以五棱锥
D'ABCEF
体积
V
（20）（本小题满分1 2分）
（I）
f(x)
的定义域为
(0,)
.当
a 4
时，
169232
22.

342
f(x)( x1)lnx4(x1),f

(x)lnx
的切线方程为
2x y20.

1
3
，
f

(1)2,f( 1)0.
曲线
yf(x)
在
(1,f(1))
处
x（II）当
x(1,)
时，
f(x)0
等价于
lnx
令
g(x)lnx
a(x1)
0.

x1
a(x1)
，则
x1
12ax
2
2 (1a)x1
g

(x),g(1)0
，
x(x1 )
2
x(x1)
2
（i）当
a2
，
x(1, )
时，
x2(1a)x1x2x10
，故
g
< br>(x)0,g(x)
在
x(1,)
上单调递增，因此
g(x) 0
；
（ii）当
a2
时，令
g

(x)0
得 22
x
1
a1(a1)
2
1,x
2
a1(a1)
2
1
，
由
x
2
1和
x
1
x
2
1
得
x
1
1
，故当
x(1,x
2
)
时，
g

(x) 0
，
g(x)
在
x(1,x
2
)
单调递减，因 此
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g(x)0
.
综上，
a
的取值范围是

,2

.

（21）（本小题满分12分）
（Ⅰ）设
M(x
1
,y
1
)
，则由题意知
y
1
0
.
由已知及椭圆的对称 性知，直线
AM
的倾斜角为
又
A(2,0)
，因此直线
A M
的方程为
yx2
.

，
4
x
2
y
2
1
得
7y
2
12y0
， 将
xy2
代入
43
1212
，所以
y
1

.
77
11212144
因此
AMN
的面积
S
AMN
2
.

27749
解得
y 0
或
y
x
2
y
2
1
得 （II）将 直线
AM
的方程
yk(x2)(k0)
代入
43
(3 4k
2
)x
2
16k
2
x16k
2
120
.
121k
2
16k
2
122(34k
2
)
2
由
x
1
(2)
得
x
1

，故
|AM|1k|x
1
2|
. < br>2
22
34k
34k34k
12k1k
2
1
由题设，直线
AN
的方程为
y(x2)
，故同理可得
|AN|
.
43k
2
k
由
2|AM||AN|得
32
2k
32
，即
4k6k3k80
. < br>
22
34k43k
22
设
f(t)4t6t3t 8
，则
k
是
f(t)
的零点，
f'(t)12t12 t33(2t1)0
，
所以
f(t)
在
(0,)单调递增，又
f(3)153260,f(2)60
，
因此
f(t)
在
(0,)
有唯一的零点，且零点
k
在
(3, 2)
内，所以
3k2
.
（22）（本小题满分10分）
（I）因为
DFEC
,所以
DEFCDF,

则有
GDFDEFFCB,
DFDEDG
,

CFCDCB
所以
DGFCBF,
由此可得
DGFCBF,< br>
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由此
CGFCBF180,
所以
B,C,G,F
四点共圆.
（II）由
B,C,G,F
四点共圆，
CGCB
知
FG FB
，连结
GB
，
由
G
为
RtDFC
斜边
CD
的中点，知
GFGC
,故
RtBCGRtBFG,

因此四边形
BCGF
的面积
S
是
GCB
面积
S
GCB
的2倍，即
（23）（本小题满分10分）
（ I）由
x

cos

,y

sin

可得
C
的极坐标方程

12

cos

110.

（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线
l
的极 坐标方程为



(

R)

由
A,B
所对应的极径分别为

1
,

2
,
将
l
的极坐标方程代入
C
的极坐标方程得
于是

1


2
12cos

,

1
2
11,

2
由
|AB|10
得
cos


0
2
315
,tan


，
83
所以
l
的斜率为
1515
或

.
33
（24）（本小题满分10分）
（I）先去掉绝对值，再分
x1111
，
x
和
x
三种情况解不等式，即可得

；（II）采用
2222
平方作差法，再进行因式分解，进而可证当
a，
b
时，
ab1ab
．
1

2 x,x,

2

1

1
试题解析：（I）f(x)

1,x,

2

2
1
2x,x.

2

当
x
1
时 ，由
f(x)2
得
2x2,
解得
x1
；
2
当

11
x
时，
f(x)2
；
22
1
时，由
f(x)2
得
2x2,
解得x1
.
2
当
x
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所以
f(x)2
的解集
M{x|1x1}
.
（ II）由（I）知，当
a,bM
时，
1a1,1b1
，从而
(ab)
2
(1ab)
2
a
2
b
2
a
2
b
2
1(a
2
1)(1b2
)0
，
因此
|ab||1ab|.

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