武汉地震局-南平中考成绩查询

重难点02 三角函数与解三角形
【高考考试趋势】 新高考环境下， 三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试
题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析 可以看出,三角试题每年都考,而且文理有
别,或一大一小或三小或二小小指选择题或填空题,大指解答 题),解答题以简单题
或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力 和素养要求较
高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内.
备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式 及正、余弦定理，在此
基础上掌握一些三 角恒变换的技巧，如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目
中隐含的各种限制条件，选择合 理的解决方法，灵活实现问题的转化
鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的 应用也将是一个考试
试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦 余弦定
理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并
对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对
三角函数以 及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升.
【知识点分析以及满分技巧】
三角 函数与解三角形：从返几年高考情况来看，高考对本部分内容的考查主要有，1.
三解恒等变换与三角函 数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面
向量、不等式、数列与三角函数 和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型.
三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特 别是对称中心，对称轴等问题选项中
特殊点的带入简单方便，正确率比较高.总额和性的问题一般采用换 元法转化成最基本的函
数问题去解答.
对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形.
解三角形类型的大题中，重点是角边转化， 但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面
积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式 去求，但是在用基本不等式的时
候应注意不等式等号成立的条件.

【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）

1
．（
20 19·
湖北高考模拟（文））把函数
y
sin(
x

3
)
的图象上各点的横坐标缩短到原来
的

1
（纵坐标不变） ，再将图象向左平移个单位长度，则所得图象（

）

2
4
A
．在
(


,)
上单调递增

66
B
．关于
(

12
,0)
对称

C
．最小正周期为
4


【答案】
A
【解析】

【分析】

D
．关于
y
轴对称

利用三角函数的平移伸缩变换得到新的 函数，然后利用正弦函数的单调性、周期性、以及
对称性，检验即可得到答案．

【详解】

将
ysin

x



3




图象上各点的横坐标缩短到原 来的
1
（纵坐标不变）
.
2
得到函数
ysin

2x


3


的图象，再将图象向左平移< br>
个单位长度，

4




< br>



ysin2x
ysin2x
得到 函数

的图象
.




，即
6
43





显然函数是非奇非偶函数， 最小正周期为

，排除选项
C,D
；

令
2x< br>
6
k


kZ

，得
x

12

k




kZ

，不关于

12
,0

对称，排除选项
B
；
2

令


2
2k
2x

6


2
2k


kZ

，得


3
k

x

6
k


kZ

，

所得函数在





,

上单调递增，故
A
正确
.
36


故选：
A
【名师点睛】

本题考查函数
y
＝
Asin
（
ωx+φ
）的图象变换规律 ，考查正弦函数的单调性、周期性、以及
对称性，属于基础题．

2
．（2019·
山东高考模拟（文））将函数
f
(
x
)
< br>2sin

2
x




6

的图像向右平移

个单位长
6
度，再把图象上所有 点的横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标不变）得到函数
g(x)
的图
象，则下列说法正确的是（

）

A
．函数
g(x)
的最大值为
31
B
．函数
g(x)
的最小正周期为


C
．函数< br>g(x)
的图象关于直线
x

3
对称
D
． 函数
g(x)
在区间



2


,
上单调递增


63

【答案】
D
【解析】

【分析】

根据平移变换和伸缩变换的原则可求得
g

x

的解析式，依次判断
g

x

的最值、最小
正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果
.
【详解】

函数
f

x

向右平移










个单位长度得：
2sin

2

x



2sin

2x


6
6
6

6





横坐标伸长到原 来的
2
倍得：
g

x

2sin
x




6

g

x< br>
最大值为
2
，可知
A
错误；

g

x

最小正周期为
2

，可知
B
错误；

x

3
时，
x

6


6
，则
x

3
不是
g
x

的对称轴，可知
C
错误；




2


x,
x
当

63

时，

6
本题正确选项：
D

【名师点睛】






0,

，此时
g

x

单调递增，可知
D
正确
.

2

本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单 调性、对称性、值域和最小正
周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应 的方式来判
断正弦型函数的性质
.
3
．（
2019·
安徽 高三月考（文））
ABC
三内角
A,B,C
的对边分别为
a,b, c
,
则
“
ab
”
是
“
cos2Aco s2B
”
的（

）

A
．充分不必要条件

C
．充要条件

【答案】
C
【解析】

试题分析：在三角形中，
cos2 Acos2B
等价为
12sin
2
A12sin
2
B
，即
若
ab
，由正弦定理
sinAsinB
．
B
．必要不充分条件

D
．即不充分也不必要条件

ab

，得
sinAsinB
．充分性成立．若
sinAsinBsinAsinB
，则正弦定理
ab

，得
ab
， 必要性成立．所以，
“
ab
”
sinAsinB

是“
sinAsinB
”
的充要条件．即
ab
是
co s2Acos2B
成立的充要条件，故选
C
．
考点：必要条件、充分条件与 充要条件的判断．

4
．（
2019·
湖南师大附中高考模拟（文） ）一艘海轮从
A
处出发，以每小时
40
海里的速度

3 0
分钟后到达
B
处，沿东偏南
50
海里方向直线航行，在
C
处有一座灯塔，海轮在
A
处
观察灯塔，其方向是东偏南
20，在
B
处观察灯塔，其方向是北偏东
65
，那么
B
、
C
两点间的距离是（

）

A
．
102
海里

【答案】
A
【解析】

,

,
则
B
．
103
海里
C
．
202
海里
D
．
203
海里
如图，在中，
；由正弦定理得，得
,
即
B
、
C
两点
间的距离是
10n mile
．


考点：解三角形．

5
．（
2019·
广东高考模拟（文） ）在
VABC
中，
AB2
，
C
π
，则
AC3BC
的最大

6
值为
(

)

A
．
47

【答案】
A
B
．
37
C
．
27
D
．
7

【解析】

【分析】利用正弦定理 得出
VABC
的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角

形内角和 关系以及两角差正弦公式、配角公式化简，最后利用正弦函数性质可得出答案．
【详解】
VABC
中，
AB2
，
C
AB
π
4，

，则
2R
sinC
6

5π

AC 3BC4sinB43sinA4sin

A

43sinA2 cosA63sinA47sin

Aθ


6
< br>
，其中
sinθ
7321

，sinθ，
14 14
由于
0A
故选：
A
．

5π
π< br>4π
，
0θ
所以
0Aθ
，所以最大值为
4 7
．

623
【名师点睛】


本题考查正弦定理 以及两角差正弦公式、配角公式，考查基本分析计算能力，属于中等题．
二、填空题
6
．（
2019·
黑龙江高三月考（文））若
sin


π

1

2π





，则
cos

2



______
．


6

3

3

【答案】

【解析】

【分析】

7

9
利用角















的关系 ，建立函数值的关系求解
.

6

3

2
【详解】

已知
sin


π

1

π< br>
π

π




，且










，则

6

3

6

3
2
7

π

π

1

2π

π

cos




si n





，故
cos

2


2cos
2




1 
．

9

3

6

3
3

3

【名师点睛】

给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值
.
7
．（
2019·
湖南师大附中高考模拟（文））
ABC
的内角A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已
知
3

acosCccosA

b,B60
，则
A
的大小为__________
．

【答案】
75

【解析】

由
3

acosCccosA
b
，根据正弦定理得
3

sinAcosCsinCcosA

sinB
，即
3sin

AC


3
，

2
1

sin

AC

,?AC30
，

26
又因为
AC180B120
，

所以
2A150,A75
，

故答案为
75
．

8
．（
2019·
江 西高考模拟（文））设
f(x)sin2x3cos2x
，将
f(x)
的 图像向右平移

（

0）

个单位长度，得到
g (x)
的图像，若
g(x)
是偶函数，则

的最小值为
__ ______
．
【答案】
5


12
【解析】

【分析】

先化简函数f(x),
再求出
g(x)2sin(2x2


k
赋值即得解
.
【详解】


3
)
，由题得


12

k

,kZ
，给< br>2
f(x)sin2x3cos2x2sin(2x)
，

3
（

0）
将
f(x)
的图像向右平移

个单位长度得到
g(x)2sin(2x2


因为函数
g(x )
是偶函数，



3
)
，

所 以
2



3


2
k
,



12

k

（

0）

,kZ
，
2
所以

min

5


12
故答案为
5


12
【名师点睛】

本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生
对这些知 识的理解掌握水平和分析推理能力
.
9
．（
2019·
广东高考模 拟（文））在
△ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，
ABC120
，
ABC
的平分线交
AC
于点
D
，且
BD1
，则
4ac
的最小值为
__ ______
．

【答案】
9
【解析】

分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值
.
详解：由题意可知 ，
S
△ABC
S
△ABD
S
△BCD
,
由角平分线性质和三角形面积公式得

11111
acsin120a1 sin60c1sin60
，化简得
acac,1
，因此
222ac
11c4ac4a
4ac(4ac)()5529,
acacac
当且仅当
c2a3
时取等号，则
4ac< br>的最小值为
9
.
【名师点睛】：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“
拆、拼、凑
”
等技巧，使其满足
“
定
”(
不 等式的另一边必须为定值
)
、
“
等
”(
等

基本不等式中
“
正
”(
即条件要求中字母为正数
)
、号取得的条件
)
的条件才能应用，否则会出现错误
.

三、解答题
10
．
B
，
C
的对边分别为
a,b,c
，（
2019·
山东济南外国语学校高考模拟（文））
ABC< br>的内角
A
，
已知

a2c

cosBb cosA0
.
（
I
）求
B
；

（II
）若
b3,ABC
的周长为
323，求ABC
的面 积
.
【答案】（
Ⅰ
）
B
【解析】

【分析】

2

(Ⅰ)
S
△ABC

33

4
3
（
Ⅰ< br>）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出
B
的值；

（
Ⅰ
）利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．

【详解】

（
Ⅰ
）
Q

a2c

cosBbcosA0
,


sinA2sinC

cosBsinBcosA0
，


sin AcosBsinBcosA

2sinCcosB0
,
sin

AB

2cosBsinC0
，

Qsin

AB

sinC
.
1
cosB
,
2
2
Q0B

,B

.
3(Ⅰ)
由余弦定理得
9ac2ac


22

1


，

2

a
2
c
2
ac9,

ac

ac9
，< br>
2
Qabc323,b3,ac23
，

ac3
，

11333
.
acsinB3< br>2224
S
VABC

【名师点睛】

本题考查的 知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角
形面积公式的应用．

11
．（
2017·
辽宁鞍山一中高考模拟（文））已知
a
，
b
，
c
分别为
ABC
三个内角
A
,< br>B
,
C

的对边，
c3asinCccosA
.
(Ⅰ)
求
A
；

(Ⅰ)
若
a
=2
，
ABC
的面积为
3
，求
b
，
c
.

【答案】
(1)
A
【解析】

【详解】


3
(2)
bc
=2
(Ⅰ)
由
c3asinCccosA
及正弦定理得

3sinAsinCcosAsinCsinC

由于
sinC0，所以
sin

A




1
，


6

2
又
0A

，故
A

3
.
(Ⅰ)
ABC
的面 积
S
=
1
bcsinA
=
3
,
故
bc
=4
，

2
而
a
2
b
2< br>c
2
2bccosA
故
c
2
b
2=8
，解得
bc
=2
12
．（
2019·
绥阳县绥阳中学高考模拟（文））在
ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别 为
a,b,c
，
bcosA(2ca)cosB
.
（
1
）求角
B
的大小；

（
2
） 若
b6
，
ABC
的面积为
23
，求
ABC< br>的周长
.
【答案】（
1
）
B
【解析】

2

；（
2
）
2116
.
3
【分析】（
1
）根据正弦定理与两角和正弦公式可得
cosB
1

，从而得到角
B
的大小；
2
（
2
）利用面积公式可 得
ac8
，结合余弦定理可得
ac211
从而得到
ABC< br>的周
，
长
.

【详解】

解：（1
）由正弦定理可得
sinBcosA

2sinCsinA
cosB
，

即
sin

AB

2sinCcosBsinC
.
又角
C
为
ABC
的内角，所以
sinC0
，所以
cosB
又
B
0,


，所以
B
1
.
2
2

.
3
（
2
）由
S
ABC

13
acsinBac23
，得
ac8
.
24
2
又
b
2
a
2
c
2
ac

ac

ac36
，

所 以
ac211
，所以
ABC
的周长为
2116
.
【名师点睛】

（
1
）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时， 要灵活选择正弦、余弦定理进行边角
之间的转化，以达到求解的目的．

（
2
）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的
大小，这点 容易被忽视，解题时要注意．

13
．（
2019·
广东高考模拟（ 文））已知
a,b,c
分别为
△ABC
内角
A,B,C
的对 边，
cosC
c2b
．

2a
（
Ⅰ
）求
A
；

（
Ⅰ
）已知点
D
在
BC
边上，
DC2BD2
，
A C3
，求
AD
．

【答案】（
Ⅰ
）
A
【解析】

2

（
Ⅰ
）
1
3

【分析】

1
（
Ⅰ
）由余弦定理 化简已知可得
b
2
c
2
a
2
bc
，可求得
cosA
，结合范围
2
A(0,

)
，可求
A
的值．

（
Ⅰ
）由已知可求得
BC3
，由余弦定理求得
c
的值，可求
cosC
的值，在
VADC
中，
由余弦定理可得
AD
的值．

【详解】
c2ba
2
b
2
c
2
解：（
Ⅰ
）∵
cosC
，


2a2ab
∴整理可得：
b
2
c
2
a
2
bc
，

b
2
c
2
a
2
bc1
∴
cosA 
，

2bc2bc2
∵
A(0,

)
，

∴
A
2

，

3
（
Ⅰ
）∵
A
2

，
DC2BD2
，
bAC3
，可得：
aBC3
，

3

1

2
93c23c
∴由余弦定理
a bc2bccosA
，可得



，可得：

2

222
c
2
3c60
，

∴解得：
c3

（负值舍去），

a2
b
2
c
2
9333
∴
cosC< br>，


2ab2
233
∴
VADC
中 ，由余弦定理可得：
ADAC
2
CD
2
2ACCDcos C
34232
3
1
．

2
【名师点睛】

本题主要考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题
.
14
．（
2019·
安徽合肥一中高考模拟（文））在

ABC
中，
a,b,c
分

别

为

角
A,B,C
的

对

边

，且
sinBsinCsin

AC

.
（
1
）求角
A
；

（
2
）若
a3
，求
b2c
的最大值
.
【答案】（
1
）
A
【解析】

【分析】

（
1
）利用
sinBsin(AC)
展开代入已知条件，化简得
cosA
求得
A

3
；（
2
）
221
.
1
，再根据
0A

，
2

3
；

（
2
）用角
B
这一变量来表示< br>b2c
，转化成研究
23(2sinB3cosB)
的最大值
.
【详解】

（
1
）因为
sinBsinCsin

AC

，所以
sin

AC

 sinCsin

AC

，

所以
sinAc osCcosAsinCsinCsinAcosCcosAsinCcosA
1
，

2

因为
0A

，所以
A

3
.
（
2
）由（
1
）得
C
2

B
，

3
3bc
abc
 

sinB
2

2R
，所以由正弦定理，

sinsin(B)
sinAsinBsinC
33
所以
b23 sinB,c23sin(
2

B)
，

3
2

B)23(2sinB3cosB)

3所以
b2c23sinB43sin(
221sin(B

)
，其中
tan


3

,

( 0,)
，

22
由
B(0,
2

)
，存在
B
使得
B


，所以
si n(B

)
的最大值为
1
，

3
2
所以
b2c
的最大值为
221
.
【名师点睛】

本题考查三角恒等换、正弦定理及三角函数的最值等知识，考查逻辑推 理和运算求解能
力，解题过程中要特别注意，求最值的方法，即引入变量
B
，构造关于 变量
B
的函数，
接着

研究函数的值域，从而得到目标式子的最值
.
15
．
D
是 直角
VABC
斜边
BC
上一点，
AC3DC
．

（
2019·
内蒙古高考模拟（文））如图，

(
Ⅰ
)
若

BAD60
o
，求

ADC
的大小；

(
Ⅰ
)
若
BD2DC
，且
AB6
，求
AD
的长．

【答案】
(
Ⅰ
)120(
Ⅰ
)2

【解析】

【分析】

o
3
(
Ⅰ
)
由已知可求

DAC30
o
，在
V
，
ADC
中，由正弦定理可得
sin

ADC
2
即可解得< br>
ADC120
o
．
(
Ⅰ
)
由已知在VABC
中，由勾股定理可得
DC1
，
6AD44ADcosθ


2
BD2
，
AC3
，令

ADBθ
，由余弦定理

3AD12ADcosθ
，即可


2
解得
AD
的

值．

【详解】

(
Ⅰ
)Q

BAD60
o
，

BAC90
o
，



DAC30
o
，

在
VADC
中，由正弦定理可得：
DCAC

，

sin

DACsin

ADC
sin

ADC
AC3
，

sin

DAC
DC2


ADC120
o
或
60
o
，

又

BAD60
o
，


ADC 120
o

(
Ⅰ
)QBD2DC
，

BC3DC
，

在
VABC
中，由勾股定理可得：BC
2
AB
2
AC
2
，可得：
9DC2
63DC
2
，

DC1
，< br>BD2
，
AC3
，

令

ADBθ
，由余弦定理：

在
VADB中，
AB
2
AD
2
BD
2
2ADBD cosθ
，

在
VADC
中，
ACADCD2A DCDcos

πθ

，

222
6A D44ADcosθ


2
可得：

3AD12 ADcosθ
，



2

解得：
AD< br>2
2
，可得：
AD2

【名师点睛】

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力
和转化思想，属于 中档题．

16
．（
2019·
福建高考模拟（文））已知函数f(x)3sin(x)sin(
3

x)cos
2
x 1
．

2
(1)
求函数
f(x)
的递增区间；

(2)< br>若
ABC
的角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，角
A
的平分线交
BC
于
D
，
f(A)
3
，
AD2BD2
，求
cosC
．

2【答案】（
1
）递增区间为
[k



,k< br>
]
，
kZ
；（
2
）
cosC
63

62
.
4
【解析】

分析：（
1
）利用三角恒等变换化简函数
f

x

的解析式，再利 用正弦函数的单调性，
求得函数
f

x

的递增区间；
（
2
）在
ABC
中，利用正弦定理求得
sinB< br>的值，可得
B
的值，再利用两角和的余弦

公式，求得
c osCcos

AB

的值
.
详解：
(1 )
∵
f

x

3sin

x

sin


3


x

c os
2
x1


2

3sinxcosx sin
2
x
31cos2x

sin2x
22


1

sin

2x


，

6

2

令
2k


2
2x

6
2k


2
，
kZ
，

∴
k



6
xk



3
，
kZ
，

∴函数
f

x

的递增区间为

k





6
,k



3


，
kZ
.
(2)
∵
f

A




13


3

，∴
sin

2A


，∴
sin

2A

1
，
< br>6

226

2

又
0A

，∴


6
2A

6

11

，

6
∴
2A

6


2
，∴
A

3
，

又
AD
平分
BAC
，∴
BAD

6
，

又
AD2BD2
，又由

22
BDAD
2


正弦定理得：，∴，


sinB
，∴
sinB
sin
sinBADsinB
2
6
又
0B
2





C


B=
，∴；∴



，

34

34



1232
62



cosCcos
∴．




22

224

34


【名师点睛】：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦定 理、两角和的
余弦公式的应用，属于中档题
.