三亚城市职业学院-广州大学录取分数线

...
上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）


一、填空题
1．函数的定义域是______．
2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=______．
3．计算
4．若向量，满足
=______．
且与的夹角为，则=______．
的虚部为______． 5．若复数z
1=3+4i，z
2
=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数
6．在的展开式中，常 数项是______．（用数字作答）
7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、 b、c，若，则角C的大小是______．
8．已知等比数列{a
n
}的各项均为 正数，且满足：a
1
a
7
=4，则数列{log
2
a
n
}的前7项之和为______．
9．已知变量x，y满足，则2x+3y的最大值为______．
10．已知正六棱柱的底 面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是______．
11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，
M 在直线PF上，且满足，则=______．
12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务， 要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不
能单独带队，则不同的带队方案有______．（用 数字作答）
13．若关于x的方程在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为______． < br>14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖
暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个
以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1）， 即
...

...
可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式 求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为
，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何 体（图2），其体积等于______．


二、选择题
15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（ ）
A．y=2
|x|
B．y=lnx C． D．
”是“”的（ ） 16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A．
C．
B．


D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|
18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（ ）
A．2

三、解答题
19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
中，
（1）证明：DC
1
⊥BC；
（2）求三棱锥C﹣BDC
1
的体积．
，D是棱AA
1
上的动点．
B．3 C．4 D．5

...

...
20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及P B，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所
示的四边形菜园OAPB（假设OM、O N这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），
∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ ，四边形OAPB的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；
（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．
，

21．已知函数，其中a∈R．
（1）当a=﹣时，求证：函数f（x）是偶函数；
（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f
﹣1
（x），若函数y=f（x）+f
﹣1
（x）在区间[1，2]上的最小值为
1+log
2
3，求函数f（x ）在区间[1，2]上的最大值．
22．已知数列{a
n
}和{b
n
}满足：a
1
=2，
．
（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
，且对一切 n∈N
*
，均有
（2）求数列{b
n
}的前n项和S
n；
（3）设
T
n
．
23．已知椭圆C：的焦距为，且右焦点 F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若
，记数列{c
n
}的前n项和为T
n
，求正整数k，使得对任意n∈N
*
，均有T
k
≥
直线l 与椭圆C交于A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
），且在椭圆C上存在点M，使得：
坐标原点），则称直线l具有性质H．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；
（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．

（其中O为
...

...

上海市杨浦区高考数学二模试卷（文科）

参考答案与试题解析


一、填空题
1．函数的定义域是 {x|x≥﹣2且x≠1} ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列 出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式
表示．
【解答】解：由题意，要使函数有意义，则
解得，x≠1且x≥﹣2；
故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，
故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．

2．已知线性方程组的增广矩阵为
【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．
【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．
，若该线性方程组的解为，则实数a= 2 ．
，
【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，
∴，
把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．
故答案为：2．

3．计算
【考点】数列的极限．
【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．
= ．
【解答】解：原式====
故答案为：
...

...

4．若向量，满足
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据
【解答】解：∵
∴
∴则
故答案为：

5．若复数z
1
=3+4i，z
2
=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z
1
=3+4i，z
2
=1﹣2i，
∴
∴==
，，
，
的虚部为 ﹣3 ．
=


且与的夹角为
=7

可得答案．
且与的夹角为，则= ．
∴复数的虚部为﹣3．
故答案为：﹣3．

6．在的展开式中，常数项是 15 ．（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质． 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数< br>项．
【解答】解：∵在
令r﹣6=0，求得r=4，故
故答案为：15．

7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是 ．
的展开式的通项公式为T
r+1
=•（﹣1）
r
•，
的展开式中的常数项是5．
...

...
【考点】二阶行列式的定义．
【分析】由二阶行列式性质得a
2
+b
2
﹣c
2
=ab，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C的大小． < br>【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，
∴a
2< br>﹣c
2
=﹣b
2
+ab，即a
2
+b
2﹣c
2
=ab，
∴cosC===，
．
，
∵C是△ABC的内角，∴C=
故答案为：

．
8．已知等比数 列{a
n
}的各项均为正数，且满足：a
1
a
7
=4，则数 列{log
2
a
n
}的前7项之和为 7 ．
【考点】等比数列的性质．
【分析】由等比数列的性质可得：a
1
a
7
=a
2
a
6
=a
3
a
5
=4 ，再利用指数与对数的运算性质即可得出．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a
1
a
7
=a
2
a
6
=a
3
a
5< br>=4=4，
∴数列{log
2
a
n
}的前7项和=log< br>2
a
1
+log
2
a
2
+…+log
2
a
7
=log
2
（a
1
a
2
…a
7
）=log
2
2
7
=7，
故答案为：7．

9．已知变量x，y满足，则2x+3y的最大值为 14 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合得到最优解，联立方程组求
得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，4），
...

...
令z=2x+3y，化为y=﹣
由图可知，当直线y=﹣
故答案为：14．

，
过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×1+3×4=14．
10．已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是
6 ．

【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】求出底面正六边形对边之间的距离即为左视图矩形的底边长，左视图矩形的高为棱柱的侧棱长．
【解答】解：设正六棱柱的底面为六边形ABCDEF，连结AC，
则AB=AC=2，∠ABC=120°，
∴AC=2．
×3=6． ∴正六棱柱侧视图的面积为2
故答案为6．


11．已知双曲线的右焦 点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，
M在直线PF上，且满足
【考点】双曲线的简单性质．
，则= ．
【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（
条渐近线为y=2（x﹣），
，0）， 渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一
代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直 的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣
M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所 求值．
【解答】解：双曲线
可得F（
的a=1，b=2，c==，
），求得
，0），渐近线方程为y=±2x，
），
...
设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣

...
代入双曲线的方程，可得x=
可得P（，﹣），
，
由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），
即有==．
故答案为：．

12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个 班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不
能单独带队，则不同的带队方案有 54 ．（用数字作答）
【考点】排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲， 乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，
最后求和即可．
【解答】解：当甲，乙带不同班时：
×=36种；
当甲，乙带相同班时，
=18种；
故共有54中，
故答案为：54．

13．若关于x的方程
10） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．
【解答】解：当x≥1时，4x﹣≥0，
∵方程，
在（0，+∞）内恰有四个相异实根，则实数m的取值范围为 （6，
∴5x+﹣4x+=m，即x+=m；
∵x+≥6；
∴当m＜6时，方程x+=m无解；
...

...
当m=6时，方程x+=m有且只有一个解；
当6＜m＜10时，方程x+=m在（1，+∞）上有两个解；
当m=10时，方程x+=m的解为1，9；
当x＜1时，4x﹣＜0，
∵方程
∴5x++4x﹣=m，
即9x+=m；
∵9x+≥6；
∴当m＜6时，方程9x+=m无解；
当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；
当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；
当m=10时，方程9x+=m的解为1，；
综上所述，实数m的取值范围为（6，10）．
故答案为：（6，10）．

14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式 的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖
暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半 径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个
以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆 锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即
可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公 式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为
，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几 何体（图2），其体积等于 ．
，

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】构造一个底面半 径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几
何体体积的2倍．
...

...
【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2， < br>现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为
底面的圆锥，
根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V
圆柱
﹣V
圆 锥
）=2（π×2
2
×5﹣
故答案为：

二、选择题
15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（ ）
A．y=2
|x|
B．y=lnx C． D．
．
）=．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．
【解答】解：A．函数y=2
|x|
为偶函数，不满足条件．
B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．
C.
D.
故选：C

16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】“
【解答】解：“
”，可得0≤tanα＜
”⇒0≤tanα＜，“
⇒“
”；反之不成立，α可能为钝角．
”；
”是“”的（ ）
是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．
是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．
反之不成立，α可能为钝角．
∴“
故选：A．

17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（ ）
A． B．
...
”是“”的充分不必要条件．

...
C． D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|
【考点】基本不等式．
【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：
≥0，即可判断出真假；
B.﹣=﹣，即可判断出真假．
﹣=t
2
﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）
C．取x=1，y=2，即可判断出真假；
D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．
【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴
≥0，正确；
B．∵
∴
＞
≤
，∴
，正确．
=1﹣1=0＜2，因此不正确；
﹣=﹣≤0，
﹣=t
2
﹣t﹣2 =（t﹣2）（t+1）
C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+
D．|x﹣y|=|（x﹣z ）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．
故选：C．

18．空间中n条直线两两平行，且两两之间的距离相等，则正整数n至多等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【 分析】取与n条平行线垂直的平面α，则n条直线在平面α内的投影为n个点，将直线问题转化为平面
内 的点的问题解决．
【解答】解：取平面α，使得两两平行的n条直线与平面α垂直，则n条直线在平面 α内的投影为n个
点，且这n个点之间的距离两两相等．
∴n的最大值为3．此时n个投影点组成一个正三角形．
故选：B．

三、解答题
19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A
1
B1
C
1
中，
（1）证明：DC
1
⊥BC；
（2）求三棱锥C﹣BDC
1
的体积．
，D是棱AA
1
上的动点．
...

...

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】（1）由棱 锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC
1
A
1，进一步得到
BC⊥DC
1
；
（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC
1
的体积转化为三棱锥B﹣CDC
1
的体积求解．
【解答】（1） 证明：如图，∵直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，CC< br>1
⊥平面ABC，
∴CC
1
⊥底面ABC，又CC
1
⊂面ACC
1
A
1
，
∴面ACC
1
A
1
⊥底面ABC，而面ACC
1
A
1
∩底面ABC=AC，
由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACC
1
A
1
，
∴BC⊥DC
1
；
（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC
1
A
1
，
∵
∴AA
1
=2，
则
∴=

．
，


20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用 它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所
示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都 足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），
∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OA PB的面积为S．
（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；
...
，

...
（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：
利用三角形面积计算公式即可得出．
（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．
【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．
，得OB=10（cosθ+sinθ）．再
所以，S=
∪．
=100（s inθcosθ+sin
2
θ），θ∈
（2）S=100（sinθcosθ+sin
2
θ）=50（2sinθcosθ+2sin
2
θ）
=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=
所以S的最大值为：50

21．已知函数，其中a∈R．
+50，θ=．
，
（1）当a=﹣时，求证：函数f（x）是偶函数；
（2）已知a＞0，函数f（x）的反函 数为f
﹣1
（x），若函数y=f（x）+f
﹣1
（x）在区间[1，2]上 的最小值为
1+log
2
3，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
（2）根据f（x）与反函数的单调性相同，根据最小值建立方程关系求出a的值进行求解即可．
【解答】解：（1）当a=﹣时，，定义域为R，
=
==

=f（x），
...

...
∴函数f（x）是偶函数．
（2）∵函数f（x）与f
﹣1
（x）单调性相同，
∴当a＞0时，函数f（x）为增函数，
则y=f（x）+f
﹣1
（x）在区间[1，2]上为增函数，
则函数的最 小值为当x=1时，y=f（1）+f
﹣1
（1）=1+log
2
3， 即a+log
2
3+f
﹣1
（1）=1+log
2
3， 则f
﹣1
（1）=1﹣a，
即f（1﹣a）=1，
则a（1﹣a）+log
2
（2
1﹣a
+1）=1，
得a=1，
此时f（x）=x+log
2
（2
x
+1）在 [1，2]上是增函数，
则函数的最大值为f（2）=2+log
2
（2
2
+1）=2+log
2
5．

22．已知数列{a
n< br>}和{b
n
}满足：a
1
=2，
．
（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a
n
}的通项公式；
，且对一切 n∈N
*
，均有
（2）求数列{b
n
}的前n项和S
n；
（3）设
T
n
．
【考点】数列的求和；数列递推式． < br>【分析】（1）数列{a
n
}满足：a
1
=2，
数列的通项公 式即可得出．
（2）数列{b
n
}满足：对一切n∈N
*
，均有< br>用等比数列的前n项和公式可得S
n
．
（3）由c
n
=﹣= ﹣．利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得数列
．可得b
1
=2．当n ≥2时，b
n
==2
n
．利
，变形为﹣=1，利用等差
，记 数列{c
n
}的前n项和为T
n
，求正整数k，使得对任意n∈N
*
，均有T
k
≥
{c
n
}的前n项和为T
n
．再利用其单调性即可得出．
【解答】（1）证明：数列{a
n
}满足：a
1
=2，
∴﹣=1，
...
，

...
∴数列为等差数列，公差为1，首项为2．
∴=2+（n﹣1）=n+1，∴a
n
=n（n+1）．
． （2）解：数 列{b
n
}满足：对一切n∈N
*
，均有
∴b
1
= =2．
当n≥2时，b
n
====2
n
．（n=1时也成立）．
∴数列{b
n
}的前n项和S
n
==2
n+1
﹣2 ．
（3）解：，
c
n
==﹣=﹣．
∴数列{c
n
}的前n项和为T
n
=﹣=﹣．
T
n+1
﹣T
n
=﹣=﹣
=，
可知：n=1，2，3时，T
n+1
＞T
n
；
n≥4时，T
n+1
＜T
n
．
∴T
1
＜ T
2
＜T
3
＜T
4
＞T
5
＞T
6
…，
∴T
4
为最大值．
∴取正整数k=4，使得对任意n∈N< br>*
，均有T
4
≥T
n
．

23．已知椭 圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若
直线l与椭圆C交于A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
），且在椭圆C上 存在点M，使得：
坐标原点），则称直线l具有性质H．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；
...
（其中O为

...
（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由椭圆的焦距为
出椭圆C的方程．
（2）设直线l：x=t，（﹣2 ＜t＜2），则A（t，y
1
），B（t，y
2
），设M（x
m，y
m
），求出
=﹣，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．
，
，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，由此能求
（3）假设在椭圆C上 存在三个不同的点P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），R（x
3
，y
3
），使得直线PQ、QR、RP都具
有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直< br>线PQ、QR、RP都具有性质H．
【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为，∴c=， ∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=
∴a
2
=b
2< br>+c
2
=4，
∴椭圆C的方程为．
，解得b=1，
（2 ）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y
1
），B（t，y
2
），
其中y
1
，y
2
满足：
设M（x
m
，y
m
），
∵
∴，
（其中O为坐标原点），
=﹣，
，
，
或x=﹣．
，y
1
+y
2
=0，
∵点M在椭圆C上，∴
∴4 9t
2
+4﹣t
2
=100，∴t=
∴直线l的方程为x=
证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x
1
，y
1
），Q（x< br>2
，y
2
），R（x
3
，y
3
），
使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，
∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M， 使得：
设M（x
m
，y
m
），则，y
m
=，
，
∵点M在椭圆上，∴+（）
2
=1，
...

...
又∵，，∴=0，①
同理： =0，②，，③
1 ）若x
1
，x
2
，x
3
中至少一个为0，不妨设x
1
=0，则y
1
≠0，
由①③得y
2
=y
3=0，即Q，R为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾．
2）若x
1
，x
2
，x
3
均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．
∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．


...