李玄霸-工作自我鉴定

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中 ，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|
3
x
1
}，则
A．
AIB{x|x0}

C．
AUB{x|x1}





B．
AUBR

D．
AIB

2．如图，正 方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分关于正方形的中心 成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率
是

A．
C．
1

4










B．
D．
π

8
1

2
π

4
3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z
满足
R
，则
zR
；
z< br>p
2
：若复数
z
满足
z
2
R
，则
zR
；
p
3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
R
，则
z
1
z
2
；
p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

4．记
S
n
为 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4< br>a
5
24
，
S
6
48
，则
{ a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8 < br>5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围 是

A．
[2,2]

6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
2
6
展开式中的系数为
x
)(1x)
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角 形组成，
正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这
些梯形的面积之和为

A．10 B．12 C．14 D．16
和两个空白框8．右面程序框图是为了求出满足3
n
−2
n
>1000的最小 偶数n，那么在
中，可以分别填入

A．A>1 000和n=n+1
B．A>1 000和n=n+2
C．A

1 000和n=n+1
D．A

1 000和n=n+2
9．已知曲线C
1
：y=cos x，C
2
：y=sin (2x+
2π
)，则下面结论正确的是
3
π
6
A．把C< br>1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
个单位长度 ，得到曲线C
2
B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 ，再把得到的曲线向左平移
个单位长度，得到曲线C
2
π
12

C．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
个单位长度，得到曲线C
2
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
个单位长度，得到曲线C
2

1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
26
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
212
10．已知F为抛物线 C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l
1
，l
2，直线l
1
与C交
于A、B两点，直线l
2
与C交于D、E两点 ，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设xyz为正数，且
2
x
3
y
5
z，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习 数学的兴趣，
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答< br>案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2
0
，接下来的两项是2
0
，2
1
，再接下来的三项是 2
0
，2
1
，2
2
，依此类推.求满足如下条件
的 学科网&最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码
是
A．440 B．330 C．220 D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

x2y1

14．设x，y满足约束条件

2x y1
，则
z3x2y
的最小值为 .

xy0

x
2
y
2
15．已知双曲线C：
2< br>
2
1
（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，< br>ab
圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为___ _____。
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中 心为O。
D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的 等
腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm
3
）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、 23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
a
2
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥P- ABCD中，ABCD，且
BAPCDP90
o
.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，
APD90
o
，求二面角A-PB- C的余弦值.
19
．（
12
分）

为了监控某种零件的一 条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
16
个
零件，并测量其尺寸（ 单位：
cm
）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下
生产的零件的尺寸 服从正态分布
N(

,

)
．

（
1
）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其尺 寸在
(

3

,

3

)< br>之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3
< br>,

3

)
之外的零件，就认为这
条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺寸：

9.95
10.26
10.12
9.91
9.96 9.96 10.01
9.22
9.92 9.98 10.04
9.95
2
10.13 10.02 10.04 10.05

1
1 6
1
16
1
16
22
x
i
9.97，
s
经计算得
x
(x
i
x)(
x
i
16x
2
)
2
0.212
，


16
i1
16
i1
16
i1
其 中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺寸，
i1,2,, 16
．

ˆ
，用样本标准差
s
作为

的估 计值

ˆ
，利用估计值用样本平均数
x
作为

的估 计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3< br>
ˆ
)
之外的学科网数据，用剩下
判断是否需对当天的生产过程进行检 查？剔除
(

的数据估计

和

（精确到
0.01
）．

2
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

)
，则
P(

3

Z

3

)0.997 4
，

0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．

20.（12分）
3x
2
y
2
已知椭圆C：
2

2
=1< br>（a>b>0），四点P
1
（1,1），P
2
（0,1），P
3
（–1，），P
4
（1，
2
ab
3
）中恰有三点 在椭圆C上.
2
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点.若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为
–1，证明：l过定点.
21.（12分）
x
2
x
已知函数< br>（fx)
ae+(a
﹣
2) e
﹣
x.
（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2< br>）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围
.
（二 ）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ为参数），直线l的参数 方
ysin

,

程为

xa4t,
（t为参数）
.

y1t,

（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为
17
，求a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x
2
+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.


2017年新课标1理数答案
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A
13.
23
14.
5
15.
23
16.
415

3
1a
2
1a
17.解：（1）由题设得
acsinB
，即
csinB 
.
23sinA
23sinA
1sinA
.
sinC sinB
23sinA
2
故
sinBsinC
.
3< br>由正弦定理得
（2）由题设及（1）得
cosBcosCsinBsinC,，即
cos(BC)
所以
BC
1
2
1
.
2
2π
π
，故
A
.
3
3
1a
2
由题设得
bcsinA
，即
bc8
.
23sinA
2
由余弦定理得
b
2
c
2
bc 9
，即
(bc)3bc9
，得
bc33
.
故
△ABC
的周长为
333
.
18.解：（1）由已知
BAPCDP90
，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB

平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面
PAD
内做
PFAD
，垂足为
F
，
由（1）可知，
AB
平面
PAD
，故
ABPF
，可得
PF
平面
ABCD
.
uuur
uuur
以
F
为坐标原点，
FA
的方向为
x
轴正方向，
|A B|
为单位长，建立如图所示的空间直角坐
标系
Fxyz
.

由（1）及已知可得
A(
2
2
22
,1,0)
.
,0,0)
，
P(0,0,)
，
B(,1,0)
，
C(
2
222
uuuruuur
uuuruuur
22
2 2
,1,)
，
CB(2,0,0)
，
PA(,0,)
，
AB(0,1,0)
. 所以
PC(
22
22
设
n(x,y,z)
是平面
PCB
的法向量，则
uuur

22

nPC0
xyz0


，即，
uuur
22




2x0
nCB0

可取
n(0,1,2)
.
设
m(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量，则
uuu r

22


mPA0
xz0

，即

2
，
r

uuu
2


y0

mAB0

可取
n(1,0,1)
.
则
cos
nm3
，

|n||m|3
3
.
3
所以二面角
APB C
的余弦值为

19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在
(

3

,

3

)
之内的概率为0.9 974，从而零件的
尺寸在
(

3

,

3

)
之外的概率为0.0026，故
X~B(16,0.0026)< br>.因此
P(X1)1P(X0)10.99740.0408
.
X
的数学期望为
EX160.00260.0416
.

（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
(

3
,

3

)
之外的概率只有0.0026，一
天内抽 取的16个零件中，出现尺寸在
(

3

,

 3

)
之外的零件的概率只有0.0408，发
生的概率很小.因此一旦发生 这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学科&
网可能出现了异常情况，需对当天的生产 过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合
理的.
ˆ
0.212
， 由样
ˆ
9.97
，

的估计值为

（ii）由< br>x9.97,s0.212
，得

的估计值为

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)< br>之外，因此需对当天的生产过程进行本数据可以看出有一个零件的尺寸在
(

检 查.
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22，剔除
(

剩下数据的平均数为< br>因此

的估计值为10.02.
1
(169.979.22) 10.02
，
15

x
i1
16
2
i< br>ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22，剩
160.212
2
169.9 7
2
1591.134
，剔除
(

下数据的样本方差为< br>1
(1591.1349.22
2
1510.02
2
) 0.008
，
15
因此

的估计值为
0.0080.09
.
20.（12分）解：
（1）由于
P
3
，
P
4< br>两点关于y轴对称，故由题设知C经过
P
3
，
P
4
两 点.
又由
1113
知，C不经过点P
1
，所以点P
2在C上.

a
2
b
2
a
2
4b
2

1
1


a
2
4


b
2
因此

，解得

2
.
13
b1



1
22

4b

a
x
2
故C的方程为
y
2
1< br>.
4
（2）设直线P
2
A与直线P
2
B的斜率分别 为k
1
，k
2
，
4t
2
如果l与x轴垂直，设 l：x=t，由题设知
t0
，且
|t|2
，可得A，B的坐标分别为（t ，），
2
4t
2
（t，

）.
2

4t
2
24t
2
2
1
，得
t2
，不符合题设. 则
k
1
k
2

2t2 t
x
2
从而可设l：
ykxm
（
m1
）.将
ykxm
代入
y
2
1
得
4
(4 k
2
1)x
2
8kmx4m
2
40

由题设可知
=16(4k
2
m
2
1)0
.
4m
2
4
8km
设A（x
1
，y
1），B（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
=

2
，x
1
x
2
=.
2
4 k1
4k1
y1y
2
1
而
k
1
 k
2

1


x
1
x
2


kx
1
m1kx
2
m1


x
1
x
2
2kx
1
x
2
(m 1)(x
1
x
2
)
.
x
1
x
2
由题设
k
1
k
2
1
，故
(2k 1)x
1
x
2
(m1)(x
1
x
2
)0
.
4m
2
48km
即
(2k1)
2
(m1)
2
0
.
4k14k1
m1
解得
k
.
2
当且仅 当
m1
时，
0
，欲使l：
y
所以l过定点（2 ，
1
）

21.解：（1）
f(x)
的定义域为
(,)
，
f

(x)2ae
2x
m1m1
xm
，即
y1(x2)
，
22
(a2)e
x
1(ae
x
1)(2e
x
1)
， （ⅰ）若
a0
，则
f

(x)0
，所以
f (x)
在
(,)
单调递减.
（ⅱ）若
a0
，则 由
f

(x)0
得
xlna
.
当
x(,lna)
时，
f

(x)0
；当
x( lna,)
时，
f

(x)0
，所以
f(x)
在
(,lna)
单调递减，在
(lna,)
单调递增.
（2）（ⅰ）若
a0
，由（1）知，
f(x)
至多有一个零点.
（ⅱ）若
a0
，由（1）知，当
xlna
时，
f(x )
取得最小值，最小值为
f(lna)1
1
lna
. a

①当
a1
时，由于
f(lna)0
，故
f(x)
只有一个零点；
②当
a(1,)
时，由于
1
③当
a(0,1)
时，
1
又
f(2)ae4
1
lna0
，即
f(lna)0
，故
f( x)
没有零点；
a
1
lna0
，即
f(lna)0
.
a
(a2)e
2
22e
2
20
，故
f(x)
在
(,lna)
有一个零点.
设正整数
n
0
满足
n
0
ln(1)
，则
f(n
0
)e
0
(ae
0
a2)n
0
e
0n
0
2
0
n
0
0
.
由于< br>ln(1)lna
，因此
f(x)
在
(lna,)
有一个零点.
综上，
a
的取值范围为
(0,1)
.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
3
a
nnnn
3
a
x
2
y
2
1
. 解：（1）曲线
C
的普通方程为
9
当
a1
时，直线
l
的普通 方程为
x4y30
.
21

x

x 4y30

x3



2
25
由< br>
x
解得

或

.
2

y0

y
24

y1

9
25

从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0)< br>，
(
2124
,)
.
2525
（2）直线
l
的普通方程为
x4ya40
，故
C
上的点
(3 cos

,sin

)
到
l
的距离为
d
|3cos

4sin

a4|
. < br>17
当
a4
时，
d
的最大值为
a9a917
，所以
a8
； .由题设得
1717
a1a1
17
，所以
a16
. .由题设得
1717
当
a4
时，
d
的最大值为
综上，
a8
或
a 16
.、
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解：（1）当
a1
时，不等式
f(x)g(x)
等价于
xx|x1||x1 |40
.①
2

当
x1
时，①式化为
x
2
3x40
，无解；
当
1x1
时，①式 化为
x
2
x20
，从而
1x1
；
当
x1
时，①式化为
x
2
x40
，从而
1 x
117
.
2
所以
f(x)g(x)
的解集为< br>{x|1x
（2）当
x[1,1]
时，
g(x)2
.
117
}
.
2
所以
f(x)g(x)
的解集包含
[1,1]
，等价于当
x[1,1]
时
f(x) 2
.
又
f(x)
在
[1,1]
的最小值必为
f(1)
与
f(1)
之一，所以
f(1)2
且
f(1 )2
，得
1a1
.
所以
a
的取值范围为
[1,1]
.