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2017年普通高等学校招生全国统一考试1卷
文科数学
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知集合
A=
x|x2

，
B=

x|32x0

，则

A
．
A

B=

x|x

3



2

B
．
AB


C
．
A

B


x|x

3
< br>


2

D
．
AB=R
2< br>．为评估一种农作物的种植效果，选了
n
块地作试验田
.
这
n
块地的亩产量（单位：
kg
）分别为
x
1
，
x2
，
…
，
x
n
，下面给出的指标中可以用来评估这种农 作物亩产量稳定程度的是

A
．
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的平均数

C
．< br>x
1
，
x
2
，
…
，
x
n< br>的最大值







B
．
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的标准差

D
．
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的中位数

3
．下列各式的运算结果为纯虚数的是

A
．
i(1+i)
2
B
．
i
2
(1-i) C
．
(1+i)
2
D
．
i(1+i)
4< br>．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图
.
正方形内切 圆中的黑色部分和白色部分关
于正方形的中心成中心对称
.
在正方形内随机取一点，则 此点取自黑色部分的概率是
( )
A
．
1

4

2
B
．
π
1

C
．

82

π
D
．


4
y
2
5
．已知
F
是双曲线
C
：
x-=1
的右焦点，
P
是
C
上一点，且
PF
与
x
轴垂直，点
A
的坐标是
(1,3).
则△
APF
3
的面积为
( )
1
A
．

3

1
B
．


2

2
C
．


3

3
D
．


2
6
．如图，在下列四个正方 体中，
A
，
B
为正方体的两个顶点，
M
，
N
，
Q
为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接
AB
与平面
MN Q
不
平行的是


x3y3,

7
． 设
x
，
y
满足约束条件

xy1,
则
z=x+y
的最大值为


y0,

A
．
0

8
．
.
函数
y





B
．
1 C
．
2 D
．
3
sin2x
的部分图像大致为
( )
1cosx

9
．已知函数
f(x)lnxln(2x)
，则

A
．
f(x)
在（
0,2
）单调递增
B
．
f(x)
在（
0,2
）单调递减

D
．
y=
f(x)
的图像关于点（
1,0
）对称

和两个空白框中，
C
．
y=
f(x)
的图像关于直线
x=1
对称

10
．如图是为了求出满足
3
n
 2
n
1000
的最小偶数
n
，那么在
可以分别填入

A
．
A>1000
和
n=n+1
C
．
A≤1000
和
n=n+1






B
．
A>1000
和
n=n+2
D
．
A≤1000
和
n=n+2
11
．△
ABC
的内角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
。已知
sinBsinA(sinCcos C)0
，
a=2
，
c=
2
，则
C=
A
．
π

12
B
．
π

6
C
．
π

4
D
．
π

3
x
2
y
2
12
．设
A
、
B
是椭圆
C
：

，则
m
的取值范围是

1
长轴的两个端点，若
C
上存在点M
满足∠
AMB=120°
3m
A
．
(0,1][9, )
B
．
(0,3][9,)

C
．
(0,1][4,)

D
．
(0,3][4,)

二、填空题：本题共
4
小题 ，每小题
5
分，共
20
分。

13
．已知向量a
=
（
–1
，
2
），
b
=
（
m
，
1
）
.
若向量
a
+
b
与
a
垂直，则
m=______________.
14
．曲线
yx
2
1
在点（
1
，
2
）处的切线方 程为
_________________________.
x
π
π
15
．已知
a(0，)
,tan α=2
，则
cos(

)
=__________
。

4
2
16
．已知三棱锥
S-ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
SC
是球
O
的直径。若平面
SCA
⊥平面
SCB
，
SA=AC
，
SB=BC
，三棱锥
S-ABC
的体积为
9
，则球
O
的表面积为
_______ _
。

三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。第
17~21
题为必考题，每个试题考生都
必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：
60
分。

17
．（
12
分）

记
S
n
为等 比数列

a
n

的前
n
项和，已知
S2
=2
，
S
3
=
-
6.
（
1
）求

a
n

的通项公式；

（
2
）求
S
n
，并判断
S
n
+1
，
S
n
，
S
n
+2
是否成等差数列
。

18
．（
12
分）如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
ABCD< br>，且
BAPCDP90

（
1
）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；

（
2
）若
PA=PD=AB=DC,
APD90
,且四棱锥
P-ABCD
的体积为
锥的侧面积
.




19
．（
12
分）为了监控某种零件的一条生产线的生 产过程，检验员每隔
30 min
从该生产线上随机抽取一个零
件，并测量其尺寸（单 位：
cm
）．下面是检验员在一天内依次抽取的
16
个零件的尺寸：

抽取次序

零件尺寸

抽取次序

1
9.95
9
2
10.12
10
9.91
3
9.96
11
4
9.96
12
5
10.01
13
9.22
6
9.92
14
7
9.98
15
8
10.04
16
9.95
8
，求该四棱
3
零件尺寸

10.26 10.13 10.02 10.04 10.05
1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
，
s
经计算 得
x
(x
i
x)(

x
i
16x
2
)0.212
，


16
i1
16
i1
16
i1

(i8.5)
i1
16< br>2
18.439
，

(x
i
x)(i8.5) 2.78
，其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺寸，i1,2,,16
．

i1
16
（
1
）求
(x
i
,i)
(i1,2,,16)
的相关系数r
，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的
进行而系统地变大或变小（ 若
|r|0.25
，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大
或变小 ）．

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(x3s,x 3s)
之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的 生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在
(x3s,x3s)
之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到
0.01
）

附：样本
(xi
,y
i
)
(i1,2,,n)
的相关系数
r 

(xx)(yy)
ii
i1
n

(x x)

(yy)
2
ii
i1i1
nn
，0.0080.09
．

2

x< br>2
20
．（
12
分）设
A
，
B
为曲 线
C
：
y=
上两点，
A
与
B
的横坐标之和 为
4.
4
（
1
）求直线
AB
的斜率；

（
2
）设
M
为曲线
C
上一点，
C
在
M
处的切线与直线
AB
平行，且
AM

BM，求直线
AB
的方程
.


21
．（
12
分）已知函数
f(x)
=e
x
(e
x
﹣a)
﹣
a
2
x
．

（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2< br>）若
f(x)0
，求
a
的取值范围．




（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
2 3
题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22
．
[
选修
4―4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）< br>

x3cos

,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为

ysin

,

xa4t,
（t为参数）
.

y1t,

（
1
）若
a=−1
，求
C
与
l
的交点坐标；

（
2
）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17，求
a.
23
．
[
选修
4—5
：不等式选讲
]
（
10
分）

2
已知函数
f
（
x
）
=–x+ax+4
，
g
（
x
）
=│x+1│+│x–1│.
（
1
）当
a=1
时，求不等式f
（
x
）
≥g
（
x
）的解集；
（
2
）若不等式
f
（
x
）
≥g
（x
）的解集包含
[–1
，
1]
，求
a
的取值范 围
.

参考答案
一、选择题：
1. A
7. D
2. B
8. C
3. C
9. C
4. D 5. A 6. A
10. D 11. B 12. A
二、填空题：
13. 7 14.
yx1
15.
310

10
16.
36


三、解答题：
17. 解：
（1）设
{a
n
}
的公比为
q
，由题设可得

a
1
(1q)2,


2

a
2
(1qq)6.
解得
q2,a
1
2

n
故
{a
n
}
的通项公式为
a
n
(2)

（2）由（1）可得
n1
a
1
(1q
n
)
2
n
2
S
n
(1 )

1q33
n3n1
42
n2
2
n< br>2
n
2
2[(1)]2S
n
由于
Sn2
S
n1
(1)
3333
故
S
n1
,S
n
,S
n2
成等差数列
18.解： （1）由已知
BAPCDP90
，得
ABAP,CDPD

由于
ABCD
，故
ABPD
，从而
AB
平面< br>PAD

又
AB
平面
PAB
，所以平面
P AB
平面
PAD

（2）在平面
PAD
内作
PEAD
，垂足为
E

由（1）知，
AB
平面
PAD
，故
ABPE
， 可得
PE
平面
ABCD

设
ABx
，则由已知 可得
AD2x,PE
2
x

2
故四棱锥
PABCD
的体积
V
PABCD


11
ABADPEx
3

33

由题设得
1
3
8
x
，故
x2

33
从而
PAPD2,ADBC22,PBPC22

可得四棱锥
PABCD
的侧面积为
1111
PAPDPAAB PDDCBC
2
sin60623

2222
19.解：
（1）由样本数据得
(x
i
,i)(i1,2,...,16)
的 相关系数为
r

(xx)(i8.5)
i
i1
1 6

(xx)

(i8.5)
2
i
i1i 1
1616

2
2.78
0.18

0.2 121618.439
由于
|r|0.25
，因此可以认为这一天生产的零件尺 寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。
（2）
（i）由于
x9.97,s 0.212
，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在
(x3s,x3s)以外，因此
需对当天的生产过程进行检查。
（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为
1
(169.979.92)10.02

15
这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02

xi1
16
2
i
160.212
2
169.9 7
2
1591.134
，
剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 < br>1
(1591.1349.22
2
1510.02
2
) 0.008

15

这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为
0.0080.09

20.解：

x
1
2
x
2
2
, y
2
,x
1
x
2
4
， （1）设
A (x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)，则
x
1
x
2
,y
1

44
于是直线
AB
的斜率
k
y
1
y
2
x
1
x
2
1

x
1
x
2
4

x2
x
（2）由
y
，得
y


4
2
设
M(x
3
,y
3
)
，由题设知
x
3
1
，解得
x
3
2
，于是
M(2,1)

2
x
2
2
设直线
AB
的方 程为
yxm
代入
y
得
x4x4m0

4
当
16(m1)0
，即
m1
时，
x
1,2
22m1


从而
|AB|2|x
1
x
2
|42(m1)

由题设知
|AB|2|MN|，即
42(m1)2(m1)
，解得
m7


所以直线
AB
的方程为
yx7

21.解：

（1）函数
f(x)
的定义域为
(,),f

(x )2e
2x
2x
ae
x
a
2
(2e
x
a)(e
x
a)

①若
a0
，则
f(x)e
，在
(,)
单调递增

②若
a 0
，则由
f

(x)0
得
xlna


当
x(,lna)
时，
f

(x)0
；
当
x(lna,)
时，
f

(x)0
；

故
f(x)
在
(,lna)
单调递减，在
( lna,)
单调递增
③若
a0
，则由
f

(x)0
得
xln()

当
x(,ln())
时，
f

(x)0
；

当
x(ln() ,)
时，
f

(x)0
；
故
f(x)在
(,ln())
单调递减，在
(ln(),)
单调递增
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2

（2）①若
a0
，则
f( x)e
，所以
f(x)0

②若
a0
，则由（1）得 ，当
xlna
时，
f(x)
取得最小值，
最小值为
f(lna)alna
，
从而当且仅当
alna 0
，即
a1
时，
f(x)0

③若
a0，则由（1）得，当
xln()
时，
f(x)
取得最小值，
2
2
2x
a
2
aa
2
3
最小值为
f(ln())a[ln()]
，
242
2
3
3a从而当且仅当
a[ln()]0
，即
a2e
4
时，< br>f(x)0

42
3
4
综上，
a
的取值范 围是
[2e,1]

22.解：
x
2
y
2
1
（1）曲线
C
的普通方 程为
9
当
a1
时，直线
l
的普通方程为
x4 y30

21

x,

x4y30,

x3,



2
25
由

x
解得

或


2
24
y0


y

y1

9

25

从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0),(
212 4
,)

2525
（2）直线
l
的普通方程为
x 4ya40
，故
C
上的点
(3cos

,sin
)
到
l
的距离为
d
|3cos

4sin

a4|

17
a9a9
17
，所以
a8
； ，由题设得1717
a1a1
17
，所以
a16
； ，由题 设得
1717
当
a4
时，
d
的最大值为
当a4
时，
d
的最大值为
综上
a8
或
a 16

23.解：
（1）当
a1
时，不等式
f(x)g(x)
等价于

x
2
x|x1||x1|40
①
当
x1
时，①式化为
x3x40
，无解；
当
1x1
时，①式化为
xx20
，从而
1x1< br>；
2
当
x1
时，①式化为
xx40
，从而
1x
2
2
117

2
所以
f(x )g(x)
的解集为
{x|1x
（2）当
x[1,1]
时，
g(x)2

117
}

2
所以
f(x)g(x)
的解集包含
[1,1]
，等价于当
x[1,1]
时
f(x)2

又
f(x)
在
[1,1]的最小值必为
f(1)
与
f(1)
之一，
所以
f(1)2
且
f(1)2
，
得
1a1

所以
a
的取值范围为
[1,1]