大学用三角函数公式大全
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锐角三角函数公式
sin α=∠α的对边 斜边
cos
α=∠α的邻边 斜边
tan α=∠α的对边 ∠α的邻边
cot
α=∠α的邻边 ∠α的对边
倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=（2tanA）（1-tanA^2）
（注：SinA^2 是sinA的平方
sin2（A） ）
三倍角公式
sin3α=4sinα²sin(π3+α)sin(π3-α)
cos3α=4cosα²cos(π3+α)cos(π3-α)
tan3a = tan a
² tan(π3+a)² tan(π3-a)
三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
辅助角公式
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(12)sin(α+t)，其中
sint=B(A^2+B^2)^(12)
cost=A(A^2+B^2)^(12)
tant=BA
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(12)cos(α-t)，tant=AB
降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))2=versin(2α)2
cos^2(α)=(1+cos(2α))2=covers(2α)2
tan^2(α)=(1-cos(2α))(1+cos(2α))
推导公式
tanα+cotα=2sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα2+cosα2)^2
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
=3sina-4sin³a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa
=4cos³a-3cosa
sin3a=3sina-4sin³a
=4sina(34-sin²a)
=4sina[(√32)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin
[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[(60°-a)2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos³a-3cosa
=4cosa(cos²a-34)
=4cosa[cos²a-(√32)²]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos
[(a+30°)2]cos[(a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[(a-30°
)2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
半角公式
tan(A2)=(1-cosA)sinA=sinA(1+cosA);
cot(A2)=sinA(1-cosA)=(1+cosA)sinA.
sin^2(a2)=(1-cos(a))2
cos^2(a2)=(1+cos(a))2
tan(a2)=(1-cos(a))sin(a)=sin(a)(1+cos(a))
三角和
sin(α+β+γ)=sinα²cosβ²cosγ+cosα
²sinβ²cosγ+cosα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²sin
γ
cos(α+β+γ)=cosα²cosβ²cosγ-cosα²sinβ²sinγ-
sinα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²cos
γ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-
tanα²tanβ²tanγ)(1-tanα²tanβ-tanβ²tanγ-
tanγ²ta
nα)
两角和差
cos(α+β)=cosα²cosβ-sinα²sinβ
cos(α-β)=cosα²cosβ+sinα²sinβ
sin(α±β)=sinα²cosβ±cosα²sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα²tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα²tanβ)
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]
sinθ-
sinφ = 2 cos[(θ+φ)2] sin[(θ-φ)2]
cosθ+cosφ =
2 cos[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]
cosθ-cosφ = -2
sin[(θ+φ)2] sin[(θ-φ)2]
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-
tanB=sin(A-B)cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] 2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]2
sinαcosβ =
[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ =
[sin(α+β)-sin(α-β)]2
诱导公式
sin(-α) =
-sinα
cos(-α) = cosα
tan (—a)=-tanα
sin(π2-α) = cosα
cos(π2-α) =
sinα
sin(π2+α) = cosα
cos(π2+α) =
-sinα
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tanA= sinAcosA
tan（π2＋α）＝－cotα
tan（π2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α2）［1+tan＾(α2)］
cosα=［1-tan＾(α2)］1+tan＾(α2)］
tanα=2tan(α2)［1-tan＾(α2)］
其它公式
(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A2)+cot(B2)+cot(C2)=cot(A2)cot(B2)cot(C2)
(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
(9)sinα+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+si
n[α+2π*(n-1)n]=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n
)+cos(α+2π*3n)+……+cos[α+2π*(n-1)n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0