2013高考语文试卷-河南省工商局网上年检

-!
2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3)
2、已知集合A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}，则A∪B=( )
A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3}
3、已知向量a=(1,m)，b=(3,–2)，且(a+b)⊥b，则m=( )
A．–8 B．–6 C．6 D．8
4、圆x
2
+y
2
–2x–8y+13=0的圆心到直线a x+y–1=0的距离为1，则a=( )
43
A．–
3
B．–
4
C．3 D．2
5、如下 左1图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，
则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A．24 B．18 C．12 D．9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π C．28π D．32π
π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移
12
个单位长 度，则平移后图象的对称轴为( )
kππkππkππkππ
A．x=
2
–
6
(k∈Z) B．x=
2
+
6
(k∈Z) C．x=
2
–
12
(k∈Z) D．x=
2
+
12
(k∈Z)
8、中国古代有计算多项式值的秦九 韶算法，上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图，若输入的x=2，
n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=( )
A．7 B．12 C．17 D．34
π3
9、若cos(
4
–α)=
5
，则sin2α= ( )
7117
A．
25
B．
5
C．–
5
D．–
25

10、从区间[0 ,1]随机抽取2n个数x
1
，x
2
，…，x
n
，y
1
，y
2
，…，y
n
，构成n个数对(x
1
,y
1
)，(x
2
,y
2
)，…，(x
n
,y
n
)，其中
两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为( )
4n2n4m2m
A．
m
B．
m
C．
n
D．
n

x
2
y
2
1
11、已知F
1
、F
2
是双曲线E：
a
2
–
b
2=1的左，右焦点，点M在E上，MF
1
与x轴垂直，sin∠MF
2
F
1
=
3
,则E的离心率
为( )
3
A．2 B．
2
C．3 D．2
x+112、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x)，若函数y=
x
与y= f(x)图像的交点为(x
1
,y
1
)，(x
2
,y
2
)，...(x
m
,y
m
)，则


(xy)
( )
ii
i1
m

-!
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
45
13、△ABC的内角A，B，C的 对边分别为a，b，c，若cosA=
5
，cosC=
13
，a=1，则b= ___________．
14、α、β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
(1)如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。 (2)如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。
(3)如果α∥β，m⊂α，那么m∥β。
(4)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说 ：“我
与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1” ，丙说：“我的卡
片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是____________． 16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=__ ________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本 题满分12分)S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且a
1
=1，S
7
=28。记b
n
=[lga
n
]，其中[x] 表示不超过x的最大整
数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
(1)求b
1
，b
11
，b
101
；
(2)求数列{b
n
}的前1 000项和．













18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人， 续保人的本年度
的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
0 1 2 3 4 ≥5
上年度出险次数
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
保费
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[]
0 1 2 3 4 ≥5
一年内出险次数
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05
概率
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

-!
19、(本小题满分12分)如图，菱形ABCD的对角线A C与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E、F分别在AD、CD上，
5
AE=CF=4
，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置，OD'=10．
(1)证明：D'H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B–D'A–C的正弦值．


















x
2
y
2
20、(本小题满分12分)已知椭圆E：
t
+
3
=1的 焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，
M两点，点N在E上，MA⊥N A．
(1)当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．

-!
x–2
21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=
x+2
e
x
的单调性，并证明当x>0时，(x–2)e
x
+x+2>0；
e
x
–ax–a
(2)证明：当a∈[0,1)时，函数 g(x)=
x
2
(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a )的值域．

















请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图，在正方形ABCD中，E、G分别在 边DA，DC上(不与端点
重合)，且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
(1) 证明：B，C，G，F四点共圆；
(2)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．








23、(本小 题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)
2
+y
2
=25．
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

x=tcosα
(2)直线l的参数方程是

y=tsinα
(t为参数)， l与C交于A，B两点，|AB|=10，求l的斜率．







11
24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数 f(x)=|x–
2
|+|x+
2
|，M为不等式f(x)<2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a+b|<|1+ab|．

-!


参考答案
1、解析：∴m+3>0，m–1<0，∴–3
2、解析：B ={x|(x+1)(x–2)<0，x∈Z}={x|–1
3、解析： 向量a+b=(4,m–2)，∵(a+b )⊥b，∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0，解得m=8，故选D．

|a+4– 1|4
4、解析：圆x
2
+y
2
–2x–8y+13=0化为标准方 程为：(x–1)
2
+(y–4)
2
=4，故圆心为(1,4)，d==1， 解得a=–
3
，故
a
2
+1
选A．

5、解析一：E→F有6种走法，F→G有3种走法，由乘法原理知，共6×3=18种走法，故选B．
1
解析二：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有C
2
4
条路 ，再从F处到G处最短共有C
3
条路，则小明到老
1
年公寓可以选择的最短路 径条数为C
2
C
3
=18条，故选B。
4
·

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h．
1
由图得r=2 ，c=2πr=4π，由勾股定理得：l=2
2
+(23)
2
=4，S
表
=πr
2
+ch+
2
cl=4π+16π+8π=28π，故选 C．

πππ
7、解析：由题意，将函数y=2sin2x的图像向左平移
12
个单位得y=2sin2(x+
12
)=2sin(2x+
6
) ，则平移后函数的对称
πππkπ
轴为2x+
6
=
2
+kπ ，k∈Z，即x=
6
+
2
，k∈Z，故选B。

8、解析 ：第一次运算：s=0×2+2=2，第二次运算：s=2×2+2=6，第三次运算：s=6×2+5=17， 故选C．

π3ππ7
9、解析：∵cos(
4
–α)=
5
，sin2α=cos(
2
–2α)=2cos
2
(
4< br>–α)–1=
25
，故选D．
π3
解法二：对cos(
4
–α)=
5
展开后直接平方
解法三：换元法

10、解析：由题意得：(x
i
,y
i
)(i=1，2，3，...，n)在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图的阴影中

π4m4m
由几何概型概率计算公式知
1
=
n
， ∴π=
n
，故选C．

22
3
F
1
F< br>2
F
1
F
2
sinM
11、解析： 离心率e=MF–MF
，由正弦定理得e=
MF–MF
=
sinF–sinF
=
1
=2．故选A．
212112
1–
3
x+1112、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称，而y=
x
=1 +
x
也关于(0,1)对称，
∴对于每一组对称点x
i
+x'i
=0，y
i
+y'
i
=2，

-!
∴


x
i
y
i



x
i


y
i
02
i1i1 i1
mmm
m
m
，故选B．
2

45312 63
13、解析：∵cosA=
5
，cosC=
13
，sinA=< br>5
，sinC=
13
，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+c osAsinC=
65
，
ba21
由正弦定理：
sinB
=
sinA
，解得b=
13
．

14、解析：对于①，m ⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为
n

， 所以
过直线n作平面γ与平面β相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正确 ；对于③，由两
个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正 确的有②③④.

15、解析：由题意得：丙不拿(2,3)，若丙(1,2)，则乙(2, 3)，甲(1,3)满足；若丙(1,3)，则乙(2,3)，甲(1,2)不满足；
故甲(1,3)，
1
16、解析：y=lnx+2的切线为：y=
x
·x+lnx
1< br>+1(设切点横坐标为x
1
)
1
11
x
1
=
x
2
+1
1x
2
y=ln(x+1)的切线为：y=x+1
·x+ln(x
2
+1)–
x+1
，∴
x
2

22
lnx
1
+1=ln(x
2
+1)–< br>x+1
2
11
解得x
1
=
2
，x
2
=–
2
。∴b=lnx
1
+1=1–ln2．

a
4
–a
1
17、解析：(1)设{a
n
}的公差为d，S
7
=7a
4
=28，∴a
4
=4，∴d=
3
=1，∴a
n
=a
1
+(n–1)d=n．
∴b
1=[lga
1
]=[lg1]=0，b
11
=[lga
11]=[lg11]=1，b
101
=[lga
101
]=[lg101] =2．
(2)记{b
n
}的前n项和为T
n
，则T
100 0
=b
1
+b
2
+...+b
1000
=[lga
1
]+[lga
2
]+...+[lga
1000
]． < br>当0≤lga
n
<1时，n=1，2，...，9；当1≤lga
n
< 2时，n=10，11，...，99；当2≤lga
n
<3时，n=100，101，... ，999；
当lga
n
=3时，n=1000．∴T
1000
=0 ×9+1×90+2×900+3×1=1893．




18 、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，P(A)=1–P(A)=1–(0.30+0.15) =0.55．
P(AB)0.10+0.053
(2)设续保人保费比基本保费高出60%为 事件B，P(B|A)=
P(A)
=
0.55
=
11
．
⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．
X 0.85a a 1.25a
P 0.30 0.15 0.20
1.5a
0.20
1.75a
0.10
2a
0.05
平均保费EX=0.85a×0.30+0.1 5a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a，
∴平均保费与基本保费比值为1.23．
5AECF
19、解析：(1)证明：如下 左1图，∵AE=CF=
4
，∴
AD
=
CD
，∴EF∥AC ．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥BD，∴EF⊥DH，∴EF⊥D'H． AE
∵AC=6，∴AD=3；又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH=
AO·OD=1，∴DH=D'H=3，∴|OD'|
2
=|OH|
2
+|D 'H|
2
，∴D'H⊥OH．
又∵OH∩EF=H，∴D'H⊥面ABCD． 5515
(2)方法一、几何法：若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，∵AE=
4
，AD=AB=5，∴DE=5–
4
=
4
，
D EEHDH154399
∵EF∥AC，∴
AD
=
AC
=
O D
=
5
=
4
，∴EH=
4
，EF=2EH=
2
，DH=3，OH=4–3=1，
∵HD’=DH=3，OD’=22，∴满足HD’< br>2
=OD’
2
+OH
2
，则△OHD’为直角三角形，且OD ’⊥OH，
即OD’⊥底面ABCD，即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高．
9
(
2
+6)×1
1(EF+AC)·OH12169
底面五边形的面积S=
2
×AC·OB+=×6×4+=12+
2224
=
4
，

-!
1169232
则五棱锥D’–ABCFE体积V=
3
S·OD’=
3
×
4
×22=
2
．
方法 二、向量法。建立如下左2图坐标系H–xyz．B(5,0,0)，C(1,3,0)，D'(0,0,3)， A(1,–3,0)，
∴向量AB=(4,3,0)，AD'=(–1,3,3)，AC=(0,6,0)，
x=3

n
1
·AB=0

4x+3y=0
设 面ABD'法向量n
1
=(x,y,z)，由

n·
得
< br>，取

y=–4
，∴n
1
=(3,–4,5)．

1
AD'=0

–x+3y+3z=0

z=5
同 理可得面AD'C的法向量n
2
=(3,0,1)，
|n
1
·n< br>2
||9+5|75295
∴|cosθ|=
|n||n|
==
25
，∴sinθ=
25
。
12
52·10


x
2
y
2
20、解析：(1)当t=4时，椭圆E的方程为
4
+
3
=1，A点坐标为(–2,0)，则直线AM的方程为y=k(x+2)． < br>联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+4k
2
)x
2
+16k< br>2
x+16k
2
–12=0。
8k
2
–68k2
–612
2
解得x=–2或x=–
3+4k
2
，则| AM|=1+k|–
3+4k
2
+2|=1+k
2
·
3+4 k
2
。
11212
2
·
∵AM⊥AN，∴|AN|=1+ (–
k
)
2
·=1+k
1
2
4
。
3+4·(1–
k
)3|k|+
|k|
1212
2
·2
∵|AM|=|AN|，k>0，∴1+k
2
·=1+k
3+4k2
4
，整理得(k–1)(4k–k–4)=0，
3k+
k
4k
2
–k+4=0无实根，∴k=1．
111 2
2
144
所以△AMN的面积为
2
|AM|
2
=
2
(1+1·
3+4
)=
49
．
(2)直线AM的方程为y=k(x+t)，
ttk
2
–3t
22 222
联立椭圆E和直线AM方程并整理得，(3+tk)x+2ttkx+tk–3t=0。解得x= –t或x=–
3+tk
2
，
ttk
2
–3t6t6t22
·
∴|AM|=1+k
|–
3+tk
2
+t|=1 +k
2
·，∴|AN|=1+k
3+tk
2
t

3 k+
k
6t6t6k
2
–3k
2
∵2|AM|=|AN|， ∴2·
3+tk
2
=1+k·
t
，整理得，t=
k
3
–2
．
3k+
k
6k
2
–3k(k
2
+1)(k–2)
3
∵椭圆E的焦点在x轴，∴t>3，即
k
3–2
>3，整理得
k
3
–2
<0，解得2
x–2
x
x–24x
2
e
x
x
21、解析 ：(1)证明：f(x)=
x+2
e，∴f'(x)=e(
x+2
+
(x+2)
2
)=
(x+2)
2
。
∵当x∈(–∞,–2 )∪(–2,+∞)时，f'(x)>0，∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。
x–2
∴x>0时，
x+2
e
x
>f(0)=–1，∴(x–2) e
x
+x+2>0。
x–2
x
(x+2)(e+a)
x+ 2
·
(e
x
–a)x
2
–2x(e
x
–a x–a)x(xe
x
–2e
x
+ax+2a)
(2)g'(x)== =，a∈[0,1)。
x
4
x
4
x
3
1+k< br>2
·

-!
x–2t–2
t
由(1)知，当x >0时，f(x)=
x+2
e
x
的值域为(–1,+∞)，只有一解．使得< br>t+2
·e=–a，t∈(0,2]。
当x∈(0,t)时g'(x)<0，g(x )单调减；当x∈(t,+∞)时g'(x)>0，g(x)单调增
t–2
tt
e+ (t+1)e
t+2
·
e
t
–a(t+1)e
t
h (a)=
t
2
==
t+2
。
t
2
et
e
t
(t+1)1e
2
记k(t)=
t+2
，在t∈(0,2]时，k'(t)=
(t+2)
2
>0，∴k(t)单调递增，∴h (a)=k(t)∈(
2
,
4
]．

DFCF
2 2、解析：(1)证明：∵DF⊥CE，∴Rt△DEF∽Rt△CED，∴∠GDF=∠DEF=∠BCF，< br>DG
=
BC
。
DFCF
∵DE=DG，CD=BC，∴DG
=
BC
。∴△GDF∽△BCF，∴∠CFB=∠DFG。
∴∠G FB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B ，C，G，F四点共圆．
(2)∵E为AD中点，AB=1，
1111
∴DG=C G=DE=
2
，∴在Rt△GFC中，GF=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG， ∴S
四边形
BCGF
=2S
△BCG
=2×
2
×1 ×
2
=
2
．

23、解：(1)整理圆的方程得x
2
+y
2
+12x+11=0，
由ρ
2
=x
2
+y
2
、ρcosθ=x、ρsin θ=y可知圆C的极坐标方程为ρ
2
+12ρcosθ+11=0．
(2)记直线的斜率为k，则直线的方程为kx–y=0，
|–6k|10
2
36k
2
90515
2
=，则k=±由垂径定理及点到直线距离公式知：= 25–()，即=，整理得k
21+k
2
433
．
1+k
2

111111111
24、解析：(1)当x<–
2
时，f(x)=
2
–x–x–
2
=–2x，若–12
；当–
2
≤x≤
2
时，f(x)=
2
–x+ x+
2
=1<2恒成立；当x>
2
时，f(x)=2x，
1
若f(x)<2，
2
(2)当a ，b∈(–1,1)时，有(a
2
–1)(b
2
–1)>0，即a
2
b
2
+1>a
2
+b
2
，则a
2
b
2
+2ab+1>a
2
+2ab+b
2
，则(ab+1)
2
>(a+b)
2
，即
|a+b|<|ab+1|，
证毕．