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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1．已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B
= {
x
|
31
}，则
A．
AIB{x|x0}
B．
AUBR
C．
AUB{x|x1}
D．
AI
x
B
2．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的
黑 色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取
一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．
1
B．
π
4
3．设有下面四个命题
8

C． D．
1
2
π
4


1
p
1
：若复数
z
满足
R
， 则
zR
；
z

p
2
：若复数
z满足
z
2
R
，则
zR
；

p< br>3
：若复数
z
1
,z
2
满足
z
1< br>z
2
R
，则
z
1
z
2
；
其中的真命题为
A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4

p
4
：若复数
zR
，则
zR
.
D．
p
2
,p
4
C．
p
2
,p
3

4．记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4
a
5
24
，
S
6
48
，则
{a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数
f(x)
在
(,)
单调递减，且为奇函数．若f(1)1
，则满足
1f(x2)1
的
x
的取值范 围
是
A．
[2,2]

6．
(1
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
2
6
展开式中的系数为
x
)(1x)
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角 形组成，正方形的边长为2，
俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形 的面积之和为
A．10 B．12
nn
C．14 D．16
和两个空白框中，可以分别填入
D．
A

1 000和
n
=
n
+2
8．右面程序框图是为了求出满足3?2>1 000的最小偶数
n
，那么在
A．
A
>1 000和
n
=
n
+1 B．
A
>1 000和
n
=
n
+2 C．
A

1 000和
n
=
n
+1
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+
2π
)，则下面结论正确的是
3

A．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
线
C
2
B．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
线
C
2
C．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
线
C
2
D．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
曲线
C
2

π
个单位长度，得到曲
6
π
个单位长度，得到曲
12
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲
26
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到
21210．已知
F
为抛物线
C
：
y
=4
x
的焦点，过
F
作两条互相垂直的直线
l
1
，
l
2< br>，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，直线
2
l
2
与
C
交于
D
、
E
两点，则|
AB
|+|
DE
|的最小值为
A．16
x
B．14
yz
C．12 D．10
11．设
xyz
为正数，且
235
，则
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z

12．几位大学生响应国 家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数
学题获取软件激活 码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，
2，4 ，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是2，2，2，< br>依此类推。求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>100且该数列的前< br>N
项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
001012
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|= .

x2y 1

14．设
x
，
y
满足约束条件

2 xy1
，则
z3x2y
的最小值为 .

xy0< br>
x
2
y
2
15．已知双曲线
C
：
2

2
1
（
a
>0，
b
>0）的右顶点 为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A
与双曲线
C
的
ab
一条渐近线交于
M
、
N
两点。若∠
MAN
=60°，则
C
的离心率为_____ ___。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角 形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，
△
DBC
，△
ECA
， △
FAB
分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底 边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为
折痕折起△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△
ABC
的边长变化时，所得三棱锥体
积（单位：cm）的最大值为_______。
三、解答题： 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必
须 作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
3

a
2
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2） 若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，< br>ABCD
，且
BAPCDP90
.
（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
APD 90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机 抽取16个零件，并测量其尺寸
（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生 产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

)
．
（ 1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
(
< br>3

,

3

)
之外的零件数，
求
P(X1)
及
2
o
o
X
的数学期望； （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,
3

)
之外的零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
，
s
经计算得
x
(x
i
x)(

x
i
16x
2
)
2
0.212
，其中
x
i
为抽取


16
i1
16
i1
16
i 1
的第
i
个零件的尺寸，
i1,2,,16
．
ˆ
，用样本标准差
s
作为

的估计值

用样本平均 数
x
作为

的估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需 对当天
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩下的数据估计

和

（精确 到0.01）． 的生产过程进行检查？剔除
(

2
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

)
，则
P(< br>
3

Z

3

)0.997 4
，
0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．
20.（12分）
33
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1 ,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P< br>4
（1，）中恰有
22
ab
三点在椭圆
C
上.
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过
P< br>2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。若直线P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为–1，证明 ：
l
过定
点.
21.（12分）
已知函数
（fx)
a
e+(
a
﹣2) e﹣
x
.
2
xx

（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
< br>（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为
ysin

,


xa4t,
（t为参数）
.

y1t,

（1）若
a
=?1，求
C
与
l< br>的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为17
，求
a
.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x
）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围 .
2

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求
的。
1. A 2．B 3．B 4．C 5．D 6．C
7．B 8．D 9．D 10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
23
14．-5 15．
23

3
16．
15cm

3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第22、23题为选考题，考生根据 要求作答。
（一）必考题：共60分。
a
2
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2） 若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
解：（1）
由题意可得
S
ABC
2
1a
2
，
b csinA
23sinA
2
化简可得
2a3bcsinA
， < br>根据正弦定理化简可得：
2sinA3sinBsinCsinAsinBsinC
（2）
22
2
。
3
2

sinBsinC

12


3
由

，
cos Acos

AB

sinBsinCcosBcosCA< br>23

cosBcosC
1

6

因此可 得
B

3
C
，
2
31



中可得：
sin

C

sinCsinCc osCsin
2
C0
，
3
22

3

将之代入
sinBsinC
化简可得
tanC
3

C,B
，
366

利用正弦定理可得
ba31
sinB3
，
sinA
3
2
2
同理可得
c3
，
故而三角形的周长为
323
。
18.（12分）
如图，在四棱 锥
P-ABCD
中，
ABCD
，且
BAPCDP90
.
（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
A PD90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
（1）证明：
o
o
QABCD,CDPDABPD
, 又
ABPA,PAPDP
,
PA
、
PD
都在平 面
PAD
内，
故而可得
ABPAD
。
又
AB
在平面
PAB
内，故而平面
PAB
⊥平面
PAD
。
（2）解：
不妨设
PAPDABCD2a
，
以
AD
中点
O
为原点，
OA
为
x
轴，
OP< br>为
z
轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标：
P0,0,2a, A
因此可得
PA


2a,0,0,B

2a,2a,0,C2a,2a,0
，



uuur

uuur
2a,0,2a,PB

uuur
2a,2a, 2a,PC2a,2a,2a
，

uruur
假设平面
P AB
的法向量
n
1


x,y,1

，平 面
PBC
的法向量
n
2


m,n,1

，
uruuur
ur

nPA2ax2a0x1
1
故而可得

u
，即
n
1


1,0,1

，
ruuur


n
1
PB2ax2ay2a0y0
uuruuur

n
2
PC2am2an2a0m0
uur

2

同理可得

u
，即。
n0,

uruu ur
2
2

2
,1



< br>n
2
PB2am2an2a0n
2
uruur
因此法向量的夹角余弦值：
cosn
1
,n
2

1< br>2
3
。
3
3
2

3
。
3
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为


19．（12分） < br>为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸
（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布< br>N(

,

)
．
（1）假设生产状态正常，记X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，
求
P(X1)及
2
X
的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(

3

,

3

)
之 外的零件，就认为这条生产线在这一天的
生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1
16
1
16
1
16
22
x
i
9.97
，
s
经计算得
x
(x
i
x)(

x
i
16x
2
)
2
0.212
，其中
x
i
为抽取


16
i1
16
i1
16
i 1
的第
i
个零件的尺寸，
i1,2,,16
．
ˆ
，用样本标准差
s
作为

的估计值

用样本平均 数
x
作为

的估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需 对当天
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据，用剩下的数据估计

和

（精确 到0.01）． 的生产过程进行检查？剔除
(

2
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

)
，则
P(< br>
3

Z

3

)0.997 4
，
0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．
解：（1）
P

X 1

1P

X0

10.9974
1 6
10.95920.0408

由题意可得，
X
满足二项分 布
X~B

16,0.0016

，
因此可得
E X

16,0.0016

160.00160.0256

（2）
1
由（1）可得
P

X1

 0.04085%
，属于小概率事件， ○
故而如果出现
(

3

,

3

)
的零件，需要进行检查。
µ
9.97,

µ
0.212

µ
3< br>
µ
9.334,

µ
3

µ
10.606
，
2
由题意可得

○
故而在
< br>9.334,10.606

范围外存在9.22这一个数据，因此需要进行检查。
此时：

x
9.97169.22
10.02
，
15
1
15

xx0.09
。

15
i1

20.（12分）

33
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2
2
=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1< br>（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），< br>P
4
（1，）中恰有
22
ab
三点在椭圆
C
上.
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。若直 线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为–1 ，证明：
l
过定
点.
解：（1）
根据椭圆对称性可得，
P
1
（1,1）
P
4
（1，
3
）不可能同时在椭圆 上，
2
P
3
（–1，
33
），
P
4（1，）一定同时在椭圆上，
22
33
），
P
4
（1，），
22
因此 可得椭圆经过
P
2
（0,1），
P
3
（–1，
代入 椭圆方程可得：
b1,
13
1a2
，
a
24
x
2
故而可得椭圆的标准方程为：
y
2
1
。
4
（2）由题意可得直线
P
2
A
与直线
P< br>2
B
的斜率一定存在，
不妨设直线
P
2
A
为：
ykx1
,
P
2
B
为：
y
< br>1k

x1
.

ykx1

22
联立

x
2
4k1x8kx0
，
< br>2

y1
4
假设
A

x
1< br>,y
1

，
B

x
2
,y
2

此时可得：
2

8k14k
2


8

1k

14

1k

A

2
,
2
,

，
< br>,B

22


4k14k1

4

1k

14

1k

1


14

1k

此时可求得直线的斜率为：
k
AB

y
2
y
1

x
2
x
1
14k
2

2
2
4

1k

1
4k1
8

1k
< br>4

1k

1
2
2

8k< br>4k
2
1
，
化简可得
k
AB

1

12k

2
，此时满足
k
1
。
2
1
当
k
○
1
时，
AB
两点重合，不合题意。
2

1
18k

14k2

2
当
k
○时，直线方程为：
y
，
x
2

2

2

2

12k


4k1

4k1
4k

即
y
21.（12分）
已知函数
（fx)
a
e+(
a
﹣2) e﹣
x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
解：
（1）对函数进行求导可得
f'

x

2ae
2 x
2
x
2
4k1x

2

12k

，当
x2
时，
y1
，因此直线恒过定点

2,1

。
x


a2

e
x
1

ae
x
1

e
x
1

。
xx
1
当
a0
时，
f'

x



ae1

e1< br>
0
恒成立，故而函数恒递减 ○
1
xx
2
当a0
时，
f'

x



ae1

e1

0xln
○，故而可得函数在


,ln
a

1


a

上单调递减，在


ln

1

,

上单调递增。
a



1

1
lna1
，

a

a
（2）函数有两个零点，故而 可得
a0
，此时函数有极小值
f

ln
要使得函数有两个 零点，亦即极小值小于0，
11
10

a0

，令
g

a

lna1
，
aa
a1
对函数进行求导即可得到
g'

a

0
，故而 函数恒递增，
2
a
1
又
g

1

0
，
g

a

lna10a1
，
a
故而可得
lna
因此可得函数有两个零点的范围为
a
0,1

。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任 选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
< br>（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为
ysin

,


xa4t,
（t为参数）
.

y1t,

（1）若
a
=?1，求
C
与
l< br>的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为17
，求
a
.

解：
11
x
2
将曲线C 的参数方程化为直角方程为
y
21
，直线化为直角方程为
yx1a

9
44
13

13

yx
（1）当
a1
时，代入 可得直线为
yx
，联立曲线方程可得：

44
，
4 4

x
2
9y
2
9

21

x


25
或

x3
，故而交点为


21
,
24

或解得

< br>

3,0



2525


y0

y
24

25

3cos
4sin

a4
11

x3cos

,
（2）点

到直线
yx1a
的距离为
d17
，
ysin

,
44
17

即：
3cos

4sin

a417
，
化简可得
17

a4

3cos

4 sin

17

a4

，
根据辅助角公式 可得
13a5sin





21a
，
又
55sin





5
，解得
a8
或者
a16
。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x< br>）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)= │
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
=1时， 求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.
解：
2
x1

2x

将函数
g

x

x 1x1
化简可得
g

x



21 x1


2xx1

（1） 当
a1
时，作出函数图像可得
f

x

g

x

的范围在
F
和
G
点中间，
联立

< br>y2x
2

yxx4
可得点
G



171

171

，因此可得解集为
,171

1,

。

2

2< br>
22
（2） 即
f

x

g

x

在
1,1
内恒成立，故而可得
xax42 x2ax
恒成立，
根据图像可得：函数

yax
必须在
l
1
,l
2
之间，故而可得
1a1
。