我是谁为了谁依靠谁-六年级数学教案

2017年高考理科数学真题及答
案全国卷1

绝密★启用前
2017年全国卷1理科数学真题及答案
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生 务必将自己的姓名、考生号、
考场号和座位号填写在答题卡上。用2B
铅笔将试卷类型（B）填 涂在答题卡相应
位置上。将条形码横贴在答题卡右上角
“条形码粘贴处”。
2．作答 选择题时，选出每小题答案后，用2B
铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
点涂黑；如需要 改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字 迹的钢笔或签字笔
作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉 原来
的答案，然后再写上新答案；不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，

将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合A={x|x<1} ，B={x|
3
A．
AIB{x|x0}
x
1
}，则
B．
AUBR

B
C．
AUB{x|x1}
D．
AI
< br>2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.
正方形内切圆中的黑色部分和白色部 分关于正方形
的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取
自黑色部分的概率是

π
A．
1
B．
48
π
C．
1
D．
24
3．设有下面四个命题
p
1
：若复数
z
满足
1
R
，则
zR
；
z

p
2
：若复数
z
满足
z
12
2
R，则
zR
；
Rp
3
p
4
：若复数
z,z
满足
zz
12
，则
zz
；
12
：若复数
zR
，则
zR
.
其中的真命题为
A．
p,p
B．
p,p
C．
p,p
D．
p,p

1314
23
24
4．记
S
为等差数列
{a}
的前
n
项和．若
a
n
n
4
a
5
24
，
S
6
48
，则
{a}
n
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数
f(x)
在
(,)
单调递 减，且为奇函数．若
f(1)1
，则
满足
1f(x2)1
的
x
的取值范围是
A．
[2,2]
B．
[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

6．
(1
x
1
)(1x)< br>展开式中
x
的系数为
6
2
2
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都
由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，
俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各 个面中有若
干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10 B．12 C．14 D．16
8．右面程序框图是为了求出满足3
n
−2
n
>1000的最小偶数
n，那么在和两个空白框中，可以分 别填入

A．A>1 000和n=n+1
B．A>1 000和n=n+2
C．A

1 000和n=n+1
D．A

1 000和n=n+2
9．已知曲线C
1
：y=cos x，C
2
：y=sin (2x+
2
3
π
)，则下面结
论正确的是
A．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标

不变，再把得到的曲线向右平移
π
个单位长度，得
6
到曲线C
2
B．把C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
π
不变，再把 得到的曲线向左平移
12
个单位长度，得
到曲线C
2
C．把C1
上各点的横坐标缩短到原来的
1
倍，纵坐标
2
不变，再把得到 的曲线向右平移
π
个单位长度，得
6
到曲线C
2
D．把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
1
倍，纵坐标
2
π
不变，再把得到的曲线向左平移
12
个单位长度，得
到曲线C
2
< br>10．已知F为抛物线C：y
2
=4x的焦点，过F作两条互
相垂直的直线l< br>1
，l
2
，直线l
1
与C交于A、B两点，
直线l< br>2
与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值
为
A．16 B．14 C．12 D．10
11．设xyz为正数，且
2
x
3
y
5
z
，则

A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用
软件.为激发 大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数
学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为
下 面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，
1，2，4，8，1，2，4，8，16，…， 其中第一项是
2
0
，接下来的两项是2
0
，2
1
， 再接下来的三项是2
0
，
2
1
，2
2
，依此类推. 求满足如下条件的学科网&最小整
数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那
么该 款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220
D．110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2
b |= .
14．设x，y满足约束条件

x2y1


2x y1

xy0

，则
z3x2y
的最小值< /p>

为 .
15．已知双曲线C：
x
2
y
2
1
a
2
b
2
（a>0，b>0） 的右顶点为A，
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的
一条渐近线交于M、N两点。 若∠MAN=60°，则C
的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片
上的等边三角形ABC的中心为O 。D、E、F为圆O
上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，
CA，AB为底边 的等腰三角形。沿虚线剪开后，分
别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△
F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC
的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3
）的最
大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写 出文字说明、证明过程
或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分 别为a，b，c，已
知△ABC的面积为
a
2
3sinA

（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，且
BAPCDP90
.
o

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
APD90
，（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A- PB-C
o
的余弦值.
19
．（
12
分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验

员每天从该生产线 上随机抽取
16
个零件，并测量其尺寸
（单位：
cm
）．根据长期生 产经验，可以认为这条生产
线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

)
．

2
（
1
）假设生产状态正常 ，记
X
表示一天内抽取的
16
个零件中其尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；

（
2
）一天内抽 检零件中，如果出现了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生
产过程可能出现了异常情况 ，需对当天的生产过程进行
检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
16
个零件的尺
寸：

9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 < br>经计算得
i
1
16
x

x
i
9 .97
16
i1
，
1
16
1
16
22< br>s(x
i
x)(

x
i
16x
2< br>)
2
0.212

16
i1
16
i1
，
其中
x
为抽取的第
i
个零件的尺寸，
i1,2 ,,16
．

用样本平均数
x
作为

的估计 值

ˆ
，用样本标准差
s
作

为< br>
的估计值

ˆ
，利用估计值判断是否需对当天的生产过
ˆ< br>3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的学科网数据，用剩下程进行检查？剔除
(

的数据估计
< br>和

（精确到
0.01
）．

附：若随机变量
Z
服从正态分布
，

N(

,

2
)
，则
P(

3

 Z

3

)0.997 4
0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．

20.（12分）
已知椭圆C：
x
2
y
2
2
=1
2
ab
（a>b>0），四点P（，P（，
1
1 ,1）
2
0,1）
P
3
（–1，
2
3
）， P
4
（1，
2
3
）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P
2
点且与C相交于A，B两点 .
若直线P
2
A与直线P
2
B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
21.（12分）
x
2
x
已知函数
（fx)
a
e+(
a
﹣
2) e
﹣
x
.
（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2< br>）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围
.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选

一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
x3cos

,< br>在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（θ

ysin
,

为参数），直线l的参数方程为

xa4t,（t为参数）

y1t,

.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f（x）=–x
2
+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求
a的取值范围.


2017年新课标1理数答案
17
，求a.
1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A
11.D 12.A
13.
23
14.
5
15.
23
3
16.
415

1 7.解：（1）由题设得
1a
2
acsinB
23sinA
a，即
1
.
csinB
23sinA
sinA
由正弦定理得
1
. < br>sinCsinB
23sinA
故
sinBsinC
2
.
3
1
（2）由题设及（1）得
cosBcosCsinBsinC1
,
，即
cos(BC)
.
22
所以
BC
2
3
π
，故
A
π
.
3
由题设得
1a
2
bcsinA
23sinA
2
，即bc8
.
，即
(bc)
2
由余弦定理得
bc< br>2
bc9
33
3bc9
，得
bc33
.
故
△ABC
的周长为
3
.
18.解：（1）由已知
BAPCDP90
，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB

平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面
PAD
内做
PFAD
，垂足为
F
，
由（1）可知，
AB
平面
PAD
，故
ABPF
，可得
PF
平面
ABCD
.
以
F
为坐标原点， 的方向为
x
轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
Fxyz
.
uuur
FA
uuur
|AB|
为单位长，

由（1）及已知可得
A(
2
2
,0,0)
，
P(0,0,
所以
uuur
22
PC(,1,)< br>22
2
)
2
，
B(
2
2
,1,0)
，
C(
，
2
,1,0)
2
.
，
uuur
CB(2,0,0)
，
uuur
22
PA(,0, )
22
uuur
AB(0,1,0)
.
设
n(x,y,z)
是平面
PCB
的法向量，则
uuu r


nPC0
r

uuu

nCB0
，即

22
xyz0


2

2

2x0

2)
，
可取
n(0,1,
uuur


mPA0
r
uuu


mAB0
.
设
m(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量，则
，即< br>
22
xz0


22

y0

，
可取
n(1,0,1)
.
nm3
则
cos
|n
，

|| m|3
所以二面角
APBC
的余弦值为

3
3
.
19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在
(

3

,

3

)
之内的
概率为0.9974，从而零件的尺 寸在
(

3

,

3

)< br>之外的概率
为0.0026，故
X~B(16,0.0026)
.因此
P(X1)1P(X0)10.99740.0408
.
X
的数学期望为
EX160.00260.0416
.
（2 ）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
(

3

,

3

)
之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出< br>现尺寸在
(

3

,

3
< br>)
之外的零件的概率只有0.0408，发生

的概率很小.因 此一旦发生这种情况，就有理由认为这条
生产线在这一天的生产过程学科&网可能出现了异常情
况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产
过程的方法是合理的.
ˆ
9 .97
，

的估计值为（ii）由
x9.97,s0.212
， 得

的估计值为

ˆ
0.212

，由样本数据 可以看出有一个零件的尺寸在
之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
，因此

的估计值为10.02.
ˆ
3

ˆ< br>,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22，， 剔除
(

ˆ
3

ˆ
,

ˆ3

ˆ
)(

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22，剩下数据 的平均数为剔除
(

1
(169.979.22)10.02
15

x
i1
16
2
i
160.2122
169.97
2
1591.134
1
剩下数据的样本方 差为
15
(1591.1349.22
2
1510.02
2< br>)0.008
，
因此

的估计值为
20.（12分）解：
0.0080.09
.
（1）由于
P
，
P
两点 关于y轴对称，故由题设知C经过
P
，
343
两点.
又由
a
1

b
1

a
1

4
3
知，C不经过点P
1
，所以点P
2
在C上.
b
P
4
2222
因此

1
1


b
2


1

3
1


a
2
4b
2
，解得

a
2
4


2


b1
.
故C的方程为
x
2
y
2
1
4
. （2）设直线P
2
A与直线P
2
B的斜率分别为k
1
， k
2
，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知
t0
，且< br>|t|2
，可

得A，B的坐标分别为（t，
则4t
2
24t
2
2
k
1
k
2
1
2t2t
4t
2
2
），（t，
4 t
2

2
）.
，得
t2
，不符合题设. x
2
y
2
1
4
从而可设l：
ykxm
（
m1
）.将
ykxm
代入
(4k
2
1)x
2
8kmx4m
2
40

得
由题设可知
=16(4km1)0
.
4m
km
设 A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）， 则x
1
+x
2
=

4
8
，x
1< br>x
2
=
4k
k1
22
2
2
24
1
.
而
kk
12

y
1< br>1y
2
1

x
1
x
2


kx
1
m1kx
2
m1

x
1
x
2
2kx
1
x
2
(m1)(x
1
x
2
)
x
1
x
2

.
1212

由题设
kk1
，故
(2k1)xx(m1 )(xx)0
.
48km
即
(2k1)
4
4
m
(m1)0
.
k14k1
12
2
22
解得
k
m
2
1
.
当且仅当
m 1
时，
0
，欲使l：
y
m
2
1xm
，即
y1
m
2
1
(x2)
，
所以l过定点（2，
1
）
21.解：（1）
f(x)
的定义域为
，
(,)
，
f

(x)2ae
2x
(a2)e
x
1 (ae
x
1)(2e
x
1)
（ⅰ）若
a0
，则
f

(x)0
，所以
f(x)
在
(, )
单调递减.
（ⅱ）若
a0
，则由
f

(x )0
得
xlna
.
当
x(,lna)
时，
f

(x)0
；当
x(lna,)
时，
f

(x)0
，所以
f(x)
在
(,lna)单调递减，在
(lna,)
单调递增.

（2）（ⅰ）若
a0
，由（1）知，
f(x)
至多有一个零点.
（ⅱ）若
a0
，由（1）知，当
xlna
时，
f(x )
取得最小值，
最小值为
f(lna)1
1
lna
.
a
①当
a1
时，由于
f(lna)0
，故
f(x)
只有一个零点；
②当
a(1,)
时，由于
1
1
即故
f( lna)0
，
f(x)
没有零点；
lna0
，
a< br>③当
a(0,1)
时，
1
1
lna0
，即< br>f(lna)0
.
a
又
f(2)ae
4
(a2)e
2
22e
2
20
，故
f(x )
在
(,lna)
有一个零点.
0
n
0
设 正整数
n
满足
n
0
0
3
ln(1)
a
，则
f(n)e(ae
n
0
a2)n
0
 e
n
0
n
0
2
n
0
n
0< br>0
.
3
由于
ln(
a
1)lna
，因此
f(x)
在
(lna,)
有一个零点.
综上，
a
的取值范围为
(0,1)
.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
解：（1）曲线
C
的 普通方程为
x
2
y
2
1
9
.
当a1
时，直线
l
的普通方程为
x4y30
.
由

x4y30

2

x
2
< br>y1

9
x3
解得

或

y 0

21

x


25


y
24

25

.
2124
从而< br>C
与
l
的交点坐标为
(3,0)
，
(
25
,)
.
25
（2）直线
l
的普通方程为
x4y a40
，故
C
上的点
(3cos

,sin

)
到
l
的距离为

d
|3c os

4sin

a4|
17
.
17当
a4
时，
d
的最大值为
a9
.由题设得
a9

17
17
，所以
a8
；
，所以
a16
. 当
a4
时，
d
的最大值 为
a1
.由题设得
a1

1717
17
综 上，
a8
或
a16
.、
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解：（1）当
a1
时，不 等式
f(x)g(x)
等价于
x
①
当
x1
时，①式化为
x
当
x1
时，①式化为
x
2
2x|x1||x1|40
.
3x40
2
，无解；
，从而
1x1
； 当
1x1
时，①式化为
x< br>2
x20
x40
，从而
1x
1
2
17
.
所以
f(x)g(x)
的解集为
{x|1 x
1
2
17
}
.
（2）当
x[1,1]
时，
g(x)2
.
所以f(x)g(x)
的解集包含
[1,1]
，等价于当
x[1,1 ]
时
f(x)2
.
又
f(x)
在
[1,1]
的最小值必为
f(1)
与
f(1)
之一，所以
f(1) 2
且
f(1)2
，得
1a1
.
所以
a
的取值范围为
[1,1]
.