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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要 求作答。
（一）必考题：共60分。
a
2
17．（12分）△
A BC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a< br>，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
3sinA
（1）求
sinBsinC
;
（2）若
6cosBcosC1,a3
，求△
ABC
的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
ABCD，且
BAPCDP90
o
.

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
APD 90
o
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值 .
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上 随机抽取16个
零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态 下生
产的零件的尺寸服从正态分布
N(

,

)
．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
(< br>
3

,

3

)
之外的零件 数，求
P(X1)
及
X
的数学期望；
（2）一天内抽检零件中， 如果出现了尺寸在
(

3

,

3

)
之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天 的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
2

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10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 < br>1
16
1
16
1
16
22
x
i9.97
，
s
经计算得
x
(x
i
x) (

x
i
16x
2
)
2
0.212
，


16
i1
16
i1
16
i1
其中
x
i
为抽取的第
i
个零件的尺寸，
i 1,2,,16
．
ˆ
，用样本标准差
s
作为
< br>的估计值

ˆ
，利用估计值用样本平均数
x
作为
< br>的估计值

ˆ
3

ˆ
,

ˆ3

ˆ
)
之外的数据，用剩下的数据
判断是否需对当天的生产 过程进行检查？剔除
(

估计

和

（精确到0. 01）．
附：若随机变量
Z
服从正态分布
N(

,

2
)
，则
P(

3

Z

3

)0.997 4
，
0.997 4
16
0.959 2
，
0.0080.09
．
20.（12分）
3
x
2
y
2
已知椭圆
C
：
2

2
=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P
4
（1，
2
ab
3
）中恰有三点在椭圆
C
上.
2
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过< br>P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。 若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为
–1，证明：
l
过定点.
21.（12分）
已知函数
f (x)ae
2x
(a2)e
x
x

（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x3cos
< br>,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
< br>（
θ
为参数），直线
l
的参数方
ysin

,


xa4t,
（t为参数）
程为

.
y1t,

（1）若
a
=−1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值 为
17
，求
a
.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f(x)xax4,g(x)|x1||x1|

2

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（1）当
a1
时，求不等式< br>f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（ 2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集 包含[–1，1]，求
a
的取值范围.

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2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. A
7．B
2．B
8．D
3．B
9．D
4．C 5．D 6．C
10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
23
14．-5 15．
23

3
16．
415cm
3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
a
2
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，< br>b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2） 若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
解：（1）
1a
2
1a
由题设得
ac sinB
，即
csinB

23sinA
23sinA
1sinA

sinCsinB
23sinA
2
故
sinBsinC
。
3
由正弦定理得
（2）
由题设及（1）得
cosBcosCsi nBsinC
所以
BC
11
，即
cos(BC)
22
2

，故
A

33
1a< br>2
由题设得
bcsinA
，即
bc8

23si nA
2
22
由余弦定理得
bcbc9
，即
(bc) 3bc9
，得
bc33

故
ABC
的周长为
333

18.（12分）解：

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（1）由已知
BAPCDP90
， 得
ABAP
，
CDPD

由于
ABCD
，故
ABPD
， 从而
AB
平面
PAD

又
AB
平面
P AB
，所以平面
PAB
平面
PAD

（2）在平面
PAD
内作
PFAD
，垂足为
F

由（1）可知，
AB
平面
PAD
，故
ABPF
，
可得
PF
平面
ABCD

o
uuur
uuur
以
F
为坐标原点，
FA
的方向为
x
轴正 方向，
|AB|
为单
位长，建立如图所示的空间直角坐标系
Fxyz

由（1）及已知可得
A(
2222
,0,0),P(0,0,),B(, 1,0),C(,1,0)

2222
uuurruuurr
22
uuu
22
uuu
,1,),CB(2,0,0),PA(,0,),AB (0,1,0)
所以
PC(
2222
设
n(x,y,z)< br>是平面
PCB
的法向量，则
uuur

22

nPC0,

xyz0,
即

2

r

uuu
2


y0

nCB0

可取
n(0,1,2)

设
m(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量，则
uuu r

22


mPA0,

xz0,即

uuur


22


mAB 0

y0

可取
m(1,0,1)

则
cosn,m
nm3


|n||m|3
3

3
所以二面角
APB C
的余弦值为

19．（12分）解：
（1）抽取的一个零件的尺寸在(

3

,

3

)
之 内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在

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(
< br>3

,

3

)
之外的概率为0.00 26，故
X~B(16,0.0026)
，因此
P(X1)1P(X0)10.9974
16
0.0408

X
的数学期望为
EX160.00260.0416

（2） （i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
(

3

,

3

)
之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中 ，出现尺寸在
(

3

,

3
)
之外的零件的概率只有
0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理 由认为这条生产线在
这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。
ˆ
9.97,

的估计值为

ˆ
0.212
，
（ii）由
x9.97,s0.212< br>，得

的估计值为

ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)
之外，因此需对当天
由样 本数据可以看出有一个零件的尺寸在
(

的生产过程进行检查。
ˆ
3

ˆ
,

ˆ
3

ˆ
)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为
剔除
(

1
(169.979.22)10.02

15
因此

的估计值为10.02
16

xi1
2
i
160.212
2
169.97
2
1591.134

ˆ
3

ˆ
,
< br>ˆ
3

ˆ
)
之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为
剔除
(

1
(1591.1349.22
2
1 510.02
2
)0.008

15
因此

的估计值为
0.0080.09

20.（12分）解：
（1）由于
P
3
,P
4
两 点关于
y
轴对称，故由题设知
C
经过
P
3
,P4
两点
又由
1113
知，
C
不经过点
P1
，所以点
P
2
在
C
上

a< br>2
b
2
a
2
4b
2

1
 1,
2
2



b

a4
因此

解得

2



1

3
1

b1


a
2
4b
2
x
2
y
2
1
故
C
的方程为
4
（2）设直线
P
2
A
与直线
P
2
B的斜率分别为
k
1
,k
2

如果
l
与
x
轴垂直，设
l:xt
，由题设知
t0
，且
| t|2
，可得
A,B
的坐标分别为

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4t
2
4t
2
(t,),(t,)

22< br>则
k
1
k
2

4t
2
24 t
2
2
1
，得
t2
，不符合题设
2t2t
x
2
y
2
1
得 从而可设
l :ykxm(m1)
，将
ykxm
代入
4
(4k
2
1)x
2
8kmx4m
2
40

由题设可知
16(4km1)0

22
8km4m
2
4
,x
1
x
2

设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则x
1
x
2

2

2
4k14k1
而
k
1
k
2

y
1
1y
2
1


x
1
x
2
kx
1
m1kx
2
m1


x
1
x
2
2kx
1
x
2
(m1)(x
1
x
2
)

x< br>1
x
2


由题设
k
1
k
2
1
，故
(2k1)x
1
x
2
(m1 )(x
1
x
2
)0

4m
2
48km
(m1)0
即
(2k1)< br>22
4k14k1
解得
k
m1

2
m1
xm
，
2
当且仅当
m1
时，
0
，于是
l:y
所以
l
过定点
(2, 1)

21.（12分）解：
（1）
f(x)
的定义域为
(,)
，
f

(x)2ae
2x
(a2) e
x
1(ae
x
1)(2e
x
1)
（i）若
a0
，则
f

(x)0
，所以
f (x)
在
(,)
单调递减
（ii）若
a0
，则 由
f

(x)0
的
xlna

当
x(,lna)
时，
f

(x)0
；
当
x(lna,)
时，
f

(x)0

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所以
f(x)
在
(,lna )
单调递减，在
(lna,)
单调递增。
（2）（i）若
a0
，由（1）知，
f(x)
至多有一个零点 < br>（ii）若
a0
，由（1）知，当
xlna
时，
f(x )
取得最小值，最小值为
1
f(lna)1lna

a
① 当
a1
时，由于
f(lna)0
，故
f(x)
只有一个零点；
② 当
a(1,)
时，由于
1
点；
③ 当
a(0,1)
时，
1
又
f(2)ae
个零点。
设正整数
n
0
满足
n
0
ln(1)
，
则
f(n
0
)e
0
(ae
0
a2) n
0
e
0
n
0
2
0
n
0
0

由于
ln(1)lna
，因此
f(x)在
(lna,)
有一个零点
综上，
a
的取值范围为
(0,1)

22．解：
nnnn
1
lna0
，即
f(lna)0
，故
f( x)
没有零
a
1
lna0
，即
f(lna)0又
a
4
(a2)e
2
22e
220
，故
f(x)
在
(,lna)
有一
3< br>a
3
a
x
2
（1）曲线
C
的普通方程为y
2
1
，
9
当
a1
时，直线
l
的普通方程为
x4y30

21

x

x4y30,

x3,



225
由

x
解得或


2
24
y0

y

y1

9
< br>25

从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0) ,(
2124
,)

2525
（2）直线
l
的普 通方程为
x4ya40
，故
C
上的点
(3cos

,sin

)
到
l
的距离为

< br>个人精心创作，质量一流，希望能得到您的认可。谢谢！编辑页眉，选中水印，点击删除，可批量删除水< br>印。
d
|3cos

4sin

a4|
17
当
a4
时，
d
的最大值为
a9a9
17
，所以
a8
； ，由题设得
1717
a1a1< br>17
，所以
a16
，由题设得
1717
当
a 4
时，
d
的最大值为
综上，
a8
或
a1 6

23．解：
（1）当
a1
时，不等式
f(x)g(x)
等价于
x
2
x|x1||x1|40
①
当
x1
时，①式化为
x3x40
，无解；
当< br>1x1
时，①式化为
xx20
，从而
1x1
；
2
当
x1
时，①式化为
xx40
，从而1x
2
2
117

2
所以
f(x) g(x)
的解集为
{x|1x
（2）当
x[1,1]
时，
g(x)2

117
}

2
所以
f (x)g(x)
的解集包含
[1,1]
，等价于当
x[1,1]时
f(x)2

又
f(x)
在
[1,1]
的最小值必为
f(1)
与
f(1)
之一，所以
f(1)2且
f(1)2
，得
1a1

所以
a
的取值范围为
[1,1]