2017年高考真题分类汇编
江苏信息职业技术学院-工作失误检讨书范文
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题3 三角与向量
一、单选题（共8题；共16分）
1、（2017•山东）在ABC中，角A，B，
C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三
角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sin
AcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（ ）
A、a=2b
B、b=2a
C、A=2B
D、B=2A
2、（2017·天津）设函
数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f
（ ）=2，f（
）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A、ω= ，φ=
B、ω= ，φ=﹣
C、ω= ，φ=﹣
D、ω= ，φ=
3、（2017•北京卷）设 ， 为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的（
）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分也不必要条件
4、（2017•新课标Ⅰ卷）已知
曲线C
1
：y=cosx，C
2
：y=sin（2x+
），则下面结论正
确的是（ ）
A、把C
1
上各点的横
坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
移
个单位长度，得到曲线C
2
B、把C
1
上各点的横坐标伸长到原来
的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平
移 个单位长度，得到曲线C
2
C、把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
移 个单位长度，得到曲线C
2
D、把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
移 个单位长度，得到曲线C
2
5
、（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD
相
切的圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ）
A、3
B、2
C、
D、2
6、（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ）
A、f（x）的一个周期为﹣2π
B、y=f（x）的图象关于直线x= 对称
C、f（x+π）的一个零点为x=
D、f（x）在（ ，π）单调递减
7、（2017•浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=
3，
AC与BD交于点O，记I
1
= • ，I
2
= •
，I
3
= • ，则（ ）
A、I
1
＜I
2
＜I
3
B、I
1
＜I
3
＜I
2
C、I
3
＜I
1
＜I
2
D、I
2
＜I
1
＜I
3
8、（2017
•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，
则 •（ +
）的最小值是（ ）
A、﹣2
B、﹣
C、﹣
D、﹣1
二、填空题（共9题；共10分）
9、（2017·浙江）我国古代数学
家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上
能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“
割圆术”，将π的值精确到小数点
后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆
内接正六边形
的面积S
6
， S
6
=________．
10、（2017•江苏）若tan（α﹣ ）= ．则tanα=________．
11、（2017•山东）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 ﹣ 与 +λ
的夹角为60°，
则实数λ的值是________．
12、（2017·天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2 ， =λ
﹣ （λ∈
R），且 =﹣4，则λ的值为________．
13、（2017•
浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，
连结CD，则
△BDC的面积是________，com∠BDC=________．
14、（201
7•北京卷）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的
终边关于y轴对称，若s
inα= ，则cos（α﹣β）=________．
15、（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与
的夹角为α，且tanα=7， 与 的夹角为45°．若 =m +n
（m，n∈R），则m+n=________．
16、（2017•新课标Ⅰ卷）已知向量 ， 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则|
+2
|=________．
17、（2017•新课标Ⅱ）函数f（x）=sin
2
x+ cosx﹣
（x∈[0， ]）的最大值是________．
三、解答题（共10题；共57分）
18、（2017•山东）设函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣
），其中0＜ω＜3，已
知f（ ）=0．（12分）
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数
y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再
将得到的图象向左平移
个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣ ， ]
上的最小值．
19、（2017·天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b ，
a=5，c=6，sinB= ．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+ ）的值．
20、（2017•浙江）已知函数f（x）= sin
2
x﹣cos
2
x﹣2 sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（ ）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
21、（2017•浙江）已知向量 、 满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是
________，最大值是________．
22、（2017•北京卷）在△ABC中，∠A=60°，c= a．（13分）
(1)求sinC的值； (2)若a=7，求△ABC的面积．
23、（2017•江苏）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ），x∈[0，π]．
（Ⅰ）若 ∥ ，求x的值；
（Ⅱ）记f（x）= ，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
24、（2017•新课标Ⅰ卷）△AB C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC
的面积为 ．（12分）
(1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
26、（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+ C）
=8sin
2
．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．
27、（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，
a=2 ，b=2．
（Ⅰ）求c；
（Ⅱ）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】A
【考点】两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2co
sC）
=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAc
osC+sinB，
可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为△ABC为锐角三角形，所
以2sinB=sinA，
由正弦定理可得：2b=a．
故选：A．
【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简通过正弦定理推出结果即可．
2、【答案】A
【考点】三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得 ，
又f（ ）=2，f（
）=0，得 ，
∴T=3π，则 ，即 ．
∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（ x+φ），
由f（ ）=
，得sin（φ+ ）=1．
∴φ+ = ，k∈Z．
取k=0，得φ= ＜π．
∴ ，φ= ．
故选：A．
【分析】由题意求得
，再由周期公式求得ω，最后由若f（ ）=2求得φ值．
3、【答案】A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，向量数乘的运算及其几何意义，平面向量数
量
积的性质及其运算律
【解析】【解答】解： ，
为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，
可得 • ＜0．
反之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．
∴ ，
为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件．
故选：A．
【分析】 ， 为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量 ， 共线且方向相反，可得 •
＜0．反
之不成立，非零向量 ， 的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ
不成立．即可判断出结论．
4、【答案】D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：把C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x
图象，再把得到的曲线向右平移
个单位长度，得到函数y=cos2（x﹣ ）=cos（2x﹣ ）=sin（2x+
）
的图象，即曲线C
2
，
故选：D．
【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．
5、【答案】A
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：如图
：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标
系，
则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
∵BC=2，CD=1，
∴BD= =
∴ BC•CD= BD•r，
∴r= ，
∴圆的方程为（x﹣1）
2
+（y﹣2）
2
=
，
设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），
∵ =λ +μ ，
∴（ cosθ+1， sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），
∴
cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ，
∴λ+μ= cosθ+
sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，
∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，
∴1≤λ+μ≤3，
故λ+μ的最大值为3，
故选：A
【分析】如图：
以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆
的标准方程，再设点
P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2），根据 =λ +μ
，求出λ，μ，根据三角函
数的性质即可求出最值．
6、【答案】D
【考点】三角函数的周期性及其求法，余弦函数的图象，余弦函数的单调性，余弦函数的对称
性
【解析】【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，
B．当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos
=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直
线x= 对称，故B正确，
C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos
=0，则f（x+π）的一个零点为x= ，故C正确，
D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜
，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，
故选：D
【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
7、【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，
∴AC=2 ，
∴∠AOB=∠COD＞90°，
由图象知OA＜OC，OB＜OD，
∴0＞ •
＞ • ， • ＞0，
即I
3
＜I
1
＜I
2
，
故选：C．
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可．
8、【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，
则A（0， ），B（﹣1，0），C（1，0），
设P（x，y），则
=（﹣x， ﹣y）， =（﹣1﹣x，﹣y）， =（1﹣x，﹣y），
则 •（ +
）=2x
2
﹣2 y+2y
2
=2[x
2
+（y﹣
）
2
﹣ ]
∴当x=0，y= 时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ，
故选：B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量
积的公式进行计算即
可．
二、填空题
9、【答案】
【考点】模拟方法估计概率
【解析】【解答】解：如图所示，
单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，
△AOB是边长为1的正三角形，
所以正六边形ABCDEF的面积为
S
6
=6× ×1×1×sin60°= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．
10、【答案】
【考点】两角和与差的正切函数
【解析】【解答】解：∵tan（α﹣ ）= = =
∴6tanα﹣6=tanα+1，
解得tanα= ，
故答案为： ．
【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可
11、【答案】
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解： ， 是互相垂直的单位向量，
∴| |=| |=1，且 •
=0；
又 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，
∴（ ﹣ ）•（ +λ ）=| ﹣
|×| +λ |×cos60°，
即 +（ ﹣1） • ﹣λ = × × ，
化简得
﹣λ= × × ，
即 ﹣λ= ，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
12、【答案】
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的减法及其几何意义，向量数乘的运
算及其几何意义，
数量积的坐标表达式，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，
=2 ，
∴
= +
= +
= + （ ﹣ ）
= + ，
又 =λ ﹣
（λ∈R），
∴ =（ + ）•（λ ﹣ ）
=（ λ﹣ ） • ﹣ + λ
=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×3
2
+
λ×2
2
=﹣4，
∴ λ=1，
解得λ= ．
故答案为： ．
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用 、 表示出 ，
再根据平面向量的数量积
列出方程求出λ的值．
13、【答案】；
【考点】二倍角的余弦，三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图，取BC得中点E，
∵AB=AC=4，BC=2，
∴BE= BC=1，AE⊥BC，
∴AE= = ，
∴S
△
ABC
= BC•AE= ×2× = ，
∵BD=2，
∴S
△
BDC
= S
△
ABC
= ，
∵BC=BD=2，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
在Rt△ABE中，
∵cos∠ABE= = ，
∴cos∠ABE=2cos
2
∠BDC﹣1= ，
∴cos∠BDC=
，
故答案为： ，
【分析】如图，取BC得中点E，根据勾股定理求出AE，再求出S
△
ABC
， 再根据S
△
BDC
=
S
△
ABC
即
可求出，根据等腰三角形的性质和二倍角公式即可求出
14、【答案】﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，两角和与差的余弦函数
【解析】【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴sinα=sinβ= ，cosα=﹣cosβ，
∴cos（α﹣β）=cosαcos
β+sinαsinβ=﹣cos
2
α+sin
2
α=2sin
2<
br>α﹣1= ﹣1=﹣
方法二：∵sinα= ，
当α在第一象限时，cosα=
，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第二象限时，sinβ=sinα=
，cosβ=﹣cosα=﹣ ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣
× + × =﹣
：∵sinα= ，
当α在第二象限时，cosα=﹣
，
∵α，β角的终边关于y轴对称，
∴β在第一象限时，sinβ=sinα=
，cosβ=﹣cosα= ，
∴cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣ ×
+ × =﹣
综上所述cos（α﹣β）=﹣ ，
故答案为：﹣
【分析】方法一：根据教的对称得到sinα=sinβ=
，cosα=﹣cosβ，以及两角差的余弦公式即可
求出
方法二：分α在第一象限，或第二
象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可
求出
15、【答案】3
【考点】平面向量的基本定理及其意义，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数，
两角和与差的正弦函数
【解析】【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．
由 与
的夹角为α，且tanα=7．
∴cosα= ，sinα= ．
∴C ．
cos（α+45
°
）= （cosα﹣sinα）= ．
sin（α+45
°
）= （sinα+cosα）= ．
∴B ．
∵ =m +n （m，n∈R），
∴ =m﹣ n， =0+ n，
解得n=
，m= ．
则m+n=3．
故答案为：3．
【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由 与
的夹角为α，且tanα=7．可得cosα= ，
sinα= ．C
．可得cos（α+45
°
）= ．sin（α+45
°
）= ．B ．利用
=m +n （m，n∈R），即可得
出．
16、【答案】
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：∵向量 ， 的夹角为60°，且| |=2，| |=1，
∴ =
+4 • +4
=2
2
+4×2×1×cos60°+4×1
2
=12，
∴| +2 |=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
17、【答案】1
【考点】二次函数在闭区间上的最值，同角三角函数间的基本关系，三角函数的最值
【解析】【解答】解：f（x）=sin
2
x+ cosx﹣
=1﹣cos
2
x+ cosx﹣ ，
令cosx=t且t∈[0，1]，
则f（t）=﹣t
2
+ + =﹣（t﹣ ）
2
+1，
当t= 时，f（t）
max
=1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．
三、解答题
18、【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ）
=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）
= sinωx﹣
cosωx
= sin（ωx﹣ ），
又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0，
∴ ω﹣ =kπ，k∈Z，
解得ω=6k+2，
又0＜ω＜3，
∴ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ），
将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=
sin（x
﹣ ）的图象；
再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ﹣
）的图象，
∴函数y=g（x）= sin（x﹣ ）；
当x∈[﹣ ， ]时，x﹣
∈[﹣ ， ]，
∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，
∴当x=﹣
时，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ．
【考点】运
用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin
（ωx+φ
）的图象变换
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（
）=0求出ω
的值；
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣ ，
]时g（x）的最
小值．
19、【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB= ，可得cosB= ．
由已知及余弦定理，有 =13，
∴b=
．
由正弦定理 ，得sinA= ．
∴b= ，sinA= ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA= ，∴sin2A=2sinAcosA= ，
cos2A=1﹣2sin
2
A=﹣ ．
故sin（2A+ ）= = ．
【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形
中
的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本
关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，
利用正弦定理求得sinA；
（Ⅱ）由同角三角
函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，展开两角和的
正弦得答案．
20、【答案】解：∵函数f（x）=sin
2
x﹣cos
2
x﹣2
sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin（2x+ ）
（Ⅰ）f（ ）=2sin（2× + ）=2sin =2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+ ∈[﹣
+2kπ， +2kπ]，k∈Z得：
x∈[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[﹣ +kπ，﹣ +kπ]，k∈Z．
【考点】复合函数的单调性，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的化简求值，三角函
数
的周期性及其求法，正弦函数的单调性
【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（
）的值．
（Ⅱ）根据正弦型函数的图象和性质，可得f（x）的最小正周期及单调递增区间
21、【答案】4；
【考点】函数的最值及其几何意义，向量的模，余弦定理，三角函数的最值
【解析】【解答】解：记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，
由余弦定理可得：
| + |= ，
| ﹣ |= ，
令x= ，y= ，
则x
2
+y
2
=10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，
令z=x+y，则y=﹣x+z，
则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为z
min
=1+3=3+1=4，
当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，
由平面几何知识易知z
max
即为原点到切线的距离的 倍，
也就是圆弧MN所在圆的半径的 倍，
所以z
max
= × = ．
综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．
故答案为：4、 ．
【分析】通过记∠AOB=α（0≤α≤π），利用余弦定理可可知| + |=
、| ﹣ |= ，进而换元，
转化为线性规划问题，计算即得结论．
22、【答案】（1）解：∠A=60°，c= a，
由正弦定理可得sinC=
sinA= × = ，
（2）解：a=7，则c=3，
∴C＜A，
由（1）可得cosC= ，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
∴S
△
ABC
= acsinB= ×7×3× =6 ．
【考点】同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数，正弦定理，三角形中的几何计
算
【解析】【分析】（1.）根据正弦定理即可求出答案，
（2.）根据同角的三角函数的关系
求出cosC，再根据两角和正弦公式求出sinB，根据面积公式
计算即可．
23、【答案】解：（Ⅰ）设玻璃棒在CC
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，
∵ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
为正四棱柱，∴CC
1
⊥平面ABCD，
又∵AC⊂平面ABCD，∴CC
1
⊥AC，∴NP⊥AC，
∴NP=12cm，且AM
2
=AC
2
+MC
2
， 解得MC=30cm，
∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，
∴ = ，
，得AN=16cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．
（Ⅱ）设玻璃棒在GG
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，
在平面E
1
EGG
1
中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，
过点E作EQ⊥E
1
G
1
，
交E
1
G
1
于点Q，
∵EFGH﹣E
1
F
1
G
1
H
1
为正四棱台，∴EE
1
=GG
1
， EG∥E
1
G
1
，
EG≠E
1
G
1
，
∴EE
1
G<
br>1
G为等腰梯形，画出平面E
1
EGG
1
的平面图，
∵E
1
G
1
=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12c
m，
∴E
1
Q=24cm，
由勾股定理得：E
1
E=40cm，
∴sin∠EE
1
G
1
=
，sin∠EGM=sin∠EE
1
G
1
= ，cos ，
根据正弦定理得： = ，∴sin ，cos ，
∴sin∠GEM=sin（∠EGM+
∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG= ，
∴EN= =
=20cm．
∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．
【考点】正弦定理，棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性
质
【解析】【分析】（Ⅰ）设玻璃棒在CC
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过
N作NP∥MC，
交AC于点P，推导出CC
1
⊥平面ABCD，CC
1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△
AMC，由此能出玻璃棒l没入水
中部分的长度．
（Ⅱ）设玻璃棒在GG
1
上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过
点N作NP⊥EG，交EG于点P，
过点E作EQ⊥E
1
G
1
，
交E
1
G
1
于点Q，推导出EE
1
G
1
G
为等腰梯形，求出E
1
Q=24cm，E
1
E=40cm，
由正弦定
理求出sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．
24、【答案】解：（Ⅰ）∵ =（cosx，sinx）， =（3，﹣ ）， ∥ ，
∴﹣ cosx+3sinx=0，
∴tanx= ，
∵x∈[0，π]，
∴x= ，
（Ⅱ）f（x）= =3cosx﹣ sinx=2 （ cosx﹣
sinx）=2 cos（x+ ），
∵x∈[0，π]，
∴x+ ∈[ ， ]，
∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x= 时，f（x）有最小值，最大值﹣2
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，
平面向量数量积的运算，同角三角函数间的基本
关系，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值
【解析】【分析】（Ⅰ）根据向量的平行即可得到tanx= ，问题得以解决，
（Ⅱ）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出
25、【答案】（1）解：由三角形的面积公式可得S
△
ABC
= acsinB=
，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC= ；
（2）解：∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC= ，
∴cosBcosC﹣sinBsinC= ﹣ =﹣ ，
∴cos（B+C）=﹣ ，
∴cosA= ，
∵0＜A＜π，
∴A=
，
∵ = = =2R= =2 ，
∴sinBsinC= • = = = ，
∴bc=8，
∵a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，
∴b
2
+c
2
﹣bc=9，
∴（b+c）
2
=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+ ．
【考点】两角和与差的余弦函数，正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1.）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，
（2.）根据两角余弦公式可得cosA= ，即可求出A=
，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定
理即可求出b+c，问题得以解决．
26、【答案】解：（Ⅰ）sin（A+C）=8sin
2
，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin
2
B+cos
2
B=1，
∴16（1﹣cosB）
2
+cos
2
B=1，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB= ；
（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，
∵S
△
ABC
=
ac•sinB=2，
∴ac= ，
∴b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB=a
2
+c
2
﹣2× ×
=a
2
+c
2
﹣15=（a+c）
2
﹣2ac﹣15=36
﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【考点】同角
三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值，二倍角的正弦，余弦定理，三
角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin（A
+C），
利用降幂公式化简8sin
2
，结合sin
2
B+cos
2
B=1，求出cosB，
（Ⅱ）由（1）可知sinB= ，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
27、【答案】解：（Ⅰ）∵sinA+ cosA=0，
∴tanA= ，
∵0＜A＜π，
∴A= ，
由余弦定理可得a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，
即28=4+c
2
﹣2×2c×（﹣ ），
即c
2
+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
（Ⅱ）∵c
=b+a
﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2
×2×cosC，
∴cosC= ，
∴sinC= ，
∴tanC=
在Rt△ACD中，tanC= ，
∴AD= ，
∴S
△
ACD
= AC•AD= ×2× = ，
∵S
△
ABC
= AB•AC•sin∠BAD= ×4×2× =2 ，
∴S
△
ABD
=S
△
ABC
﹣S
△
ADC
=2 ﹣ =
【考点】同角三角函数基本关系的运用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算
【解析】【分析】（Ⅰ）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求出，
（
Ⅱ）先根据夹角求出cosC，求出AD的长，再求出△ABC和△ADC的面积，即可求出△ABD的面
积．
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