中央戏剧学院表演系-协议书封面

2017高考新课标全国
数学试题及答案
卷文科1

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共5页，满分150分。
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证 号、
姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上
粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科 目”
与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用
铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回
答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡
一并交回。
一、选择题：本大题共
12
小题，每小题
5
分，
共
60
分。在每小题给出的四个 选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1
．已知集合
A
=

x|x2

，
B
=

x|32x 0

，则

A
．
AB
=
I
3

x|x

2

3

< br>
x|x

2

B
．
A
I
B


C
．
A
U
B
D
．
A
U
B=
R

2< br>．为评估一种农作物的种植效果，选了
n
块地
作试验田
.
这< br>n
块地的亩产量（单位：
kg
）分
别为
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
，下面给出的指标中可 以
用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A
．
x
1，
x
2
，
…
，
x
n
的平均数
B
．
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的标准差

C
．
x
1
，
x< br>2
，
…
，
x
n
的最大值
D
．
x
1
，
x
2
，
…
，
x
n
的中位数

3
．下列各式的运算结果为纯虚数的是

A
．
i(1+i)
2
B
．
i
2
(1-i) C
．
(1+i)
2

D
．
i(1+i) 4
．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代
的太极图
.< br>正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分关于正方形的中心成中心对称
.
在正方形
内随机取一点，学

科
&
网则此点取自黑色部
分的概率是


A
．
B
．
C
．

D
．

π

4
1
4
π
8
1
2

2
2
y
5
．已知
F
是双曲线
C
：
x
-
3
=1
的右焦点，
P
是
C
上一点， 且
PF
与
x
轴垂直，点
A
的坐标
是
(1, 3).
则△
APF
的面积为

A
．
B
．
C
．

D
．

6．如图，在下列四个正方体中，
A
，
B
为正方体
的两个顶点，< br>M
，
N
，
Q
为所在棱的中点，则
在这四个正方体中， 直接
AB
与平面
MNQ
不
平行的是

3

2
1
3
1

2
2

3

7
．设
x
，
y
满足约束条件
值为


x3y3,


xy1,

y0,

则
z
=
x
+
y
的最大
A
．0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
8
．
.
函数
y
sin2x
1cosx
的部分图 像大致为

9
．已知函数
f(x)lnxln(2x)
，则

A
．
f(x)
在（
0,2
）单调递增
B
．
f(x)
在（
0,2
）单调递减

C
．
y
=
f(x)
的图像关于直线
x
=1
对称

D
．
y
=
f(x)
的图像关于点（
1,0
）对称

10
．如图是为了求出满足
3
学
|
科网那么在
填入

和
n
2
n
1000
的最小偶数
n
，
两个空白框中，可以分别

A
．
A
>1000
和
n
=
n
+1 B
．
A
>1000

和
n
=
n
+2
C
．
A
≤1000
和
n
=
n
+1 D
．
A
≤1000
和
n
=
n
+2
11
．△
ABC
的内角
A
、
B
、
C的对边分别为
a
、
b
、
c
。已知
sinBs inA(sinCcosC)0
，
a
=2
，
c
=
2
，则
C
=
A
．
B
．
C
．
D
．

12
．设
A
、
B
是椭圆
C
：
的取值范围是

A
．
(0,1]U[9,)
B
．
(0,
C
．
(0,1]U[4,)
D
．
(0,
20
分。

13
．已知向量
a
=
（
–1
，
2
），
b
=
（
m
，
1
）
.
若向
量
a
+
b与
a
垂直，则
m
=______________.
14．曲线
yx
2

1
x
3]U[9,)
π
12
π
6
π
4
π
3
x
2
y
2
1
3m
长轴的两个端点，
若
C
上存在点< br>M
满足∠
AMB
=120°
，则
m

3]U[4,)
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分， 共
在点（
1
，
2
）处的切线方程为
π
______ ___________________.
cos(

)
=__________
。

)
15
．已知
a(0，
4
2
,tan α=2< br>，则
π
16
．已知三棱锥
S-ABC
的所有顶点都在球
O
的
SC
是球
O
的直径。球面上，若平面
SCA
⊥平

面
SCB
，
SA
=
AC，
SB
=
BC
，三棱锥
S-ABC
的
体积为< br>9
，则球
O
的表面积为
________
。

三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。第
1 7~21
题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第
22
、
23题为选考题，
考生根据要求作答。

（一）必考题：
60
分。

17
．（
12
分）

记
S
n
为等 比数列

a

的前
n
项和，已知
S
2=2
，
n
S
3
=
-
6.
（
1
）求

a

的通项公式；

n
（
2
）求
S
n
，并判断
S
n
+ 1
，
S
n
，
S
n
+2
是否成
等差 数列
。

18
．（
12
分）

如图，在四 棱锥
P-ABCD
中，
ABCD
，且
BAPCDP90o


（
1
）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；

（
2
）若
PA
=
PD
=
AB
=< br>DC
,
APD90
,
且四棱锥
o
P-ABCD< br>的体积为，求该四棱锥的侧面积
.
8
3

19
．（
12
分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过
程，检验员每隔
30 min
从该生 产线上随机抽取
一个零件，并测量其尺寸（单位：
cm
）．下面
是检验员在一 天内依次抽取的
16
个零件的尺
寸：

抽
取
次
序

零
件
尺
寸

抽
取
次
序

零
件
尺
寸

10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
9 10 11 12 13 14 15 16
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
1 2 3 4 5 6 7 8

经计算得
1
16
x

x
i
9.97
16
i1
，
，

(i8.5)
i1
16
2
1
16
1
16
22
s(x
i
x)(

x
i
16x
2
)0.212

16
i1
16
i1
16
i< br>18.439
，

(xx)(i8.5)2.78
，其中< br>x
为抽取的第
i
个零件的尺
i
i1
寸，
i 1,2,,16
．

（
1
）求
(x,i)
(i1,2,,16)
的相关系数
r
，并回答是
i
否可以认 为这一天生产的零件尺寸不随生产过
程的进行而系统地变大或变小（若
|r|0.25
，则可
以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统
地变大或变小）．

（
2
）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸
在
(x3s,x3s)
之外的零件，就认为这条生产线在这
一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天
的生产过程 进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，学
.
科网是
否需对当天 的生产过程进行检查？

（ⅱ）在
(x3s,x3s)
之外的数据称为离 群值，
试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件
尺寸的均值与标准差．（精确到
0.01
）

附：样本
(x
i
,y
i
)< br>(i1,2,,n)
的相关系数

r
(xx)(yy)
ii
i1
n

(xx)
< br>(yy)
2
ii
i1i1
nn
2
，
0 .0080.09
．

20
．（
12
分）
设
A
，
B
为曲线
C
：
y
=
上 两点，
A
与
B
的
横坐标之和为
4.
（
1
）求直线
AB
的斜率；

（
2
）设
M
为曲线
C
上一点，
C
在
M
处的< br>切线与直线
AB
平行，且
AM

BM
，求直线
AB
的方程
.
21
．（
12
分）

已 知函数
f(x)
=e
x
(e
x
﹣
a
)﹣
a
2
x
．

（
1
）讨论
f(x)
的单调性；

（
2< br>）若
f(x)0
，求
a
的取值范围．

（二）选考 题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题
中任选一 题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。

22
．
[
选 修
4―4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程
为

x3cos

,


ysin

,
x
2
4
（
θ
为参数），直线
l
的参数方程为
.

xa4t,
（t为参数）

y1t,
< /p>

（
1
）若
a
=−1
，求
C
与
l
的交点坐标；

（
2
）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
求
a
.
23
．[
选修
4—5
：不等式选讲
]
（
10
分）
已知函数
f
（
x
）
=–
x
2
+
ax
+4
，
g
（
x
）
=│
x
+1│+│
x
–1│.
（
1
）当
a
=1
时，求不等式
f
（
x
）
≥
g
（
x
）
的解集；

≥
g
（
2
）若不等式
f
（
x
）（
x
）的解集包含
[–1
，
1 ]
，求
a
的取值范围
.












17
，

1.A
2.B
3.C
4.B
5.D
6.A
2017年高考新课标1文数答案

7.D
8.C
9.C
10.D
11.B
12.A
13.7
14.
15.
yx1
310
10


16.
36π

17.（12分）【解析】（1）设
{a}
的公比为
q
.由题设
n
可得

a
1
(1 q)2

2

a
1
(1qq)6
n ，解得
q2
，
a
n
1
2
.
故
{a}
的通项公式为
a
（2）由（1）可得
由于
n1
(2)
n
.
.
，
n1
a
1< br>(1q
n
)
2
n
2
S
n
 (1)
1q33
n3n1
42
n2
2
n
2
n
2
S
n2
S
n1
(1)2 [(1)]2S
n
3333
故
S
，
S
，< br>S
成等差数列.
n
n2
18. （12分）【解析】（1）由已知
∠BAP∠CDP90
，
得
ABAP
,
CDPD
.
由于
AB∥CD
，故
ABPD
，从而
AB
平面
PAD
.
又
AB
平面
PAB
，所 以平面
PAB
平面
PAD
.

（2）在平面
PAD
内作
PEAD
，垂足为
E
.
由（1）知，
AB
平面
PAD
，故
ABPE
， 可得
PE
平面
ABCD
.
设
ABx
，则由已 知可得
AD
故四棱锥
PABCD
的体积
V
由题设得1
x
3
3
PABCD
2x
，
PE
2
x
2
.
.

11
ABADPEx3
33

8
3
，故
x2
.
从而< br>PAPD2
，
ADBC22
，
PBPC22
.
可得四棱锥
PABCD
1111
PAPDPAABPDDCB C
2
2222
的侧面积为
sin60623
.

19. （12分）【解析】（1）由样本数据得
(x,i)(i1,2,L,16)
i
的相关系数为
r

(xx)(i8.5)
i
i 1
16

(xx)

(i8.5)
2
ii1i1
1616

2
2.78
0.18
0 .2121618.439
.
由于
|r|0.25
，因此可以认为这 一天生产的零件尺
寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.

（ 2）（i）由于
x9.97,s0.212
，由样本数据可以看出
抽取的第13个 零件的尺寸在
(x3s,x3s)
以外，因此
需对当天的生产过程进行检查. < br>（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的
1
平均数为
15
( 169.979.22)10.02
，这条生产线当天生产
的零件尺寸的均值的估计值为 10.02.

x
i1
16
2
i
160. 212
2
169.97
2
1591.134
，
剔除 第13个数据，剩下数据的样本方差为
1
(1591.1349.22
2
 1510.02
2
)0.008
15
，
这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估
计值为
0.0080.09
.
2
1
20.（12分）解：
（1）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则
xx
，
y
x
4
，
12
1
x
2
2
y2

4
，x
1
+x
2
=4，
11
2
y
于是直线AB的斜率
k
y
xx

2
x
1
x
2
1
4
.
，于是 M
（2）由
x
2
y
4
x
，得
y'2
.
3
3
设M（x
3
，y
3
），由 题设知
x
2
1
，解得
x
（2，1）.
2设直线AB的方程为
yxm
，故线段AB的中点为
N（2,2+m），|MN |=|m+1|.

将
yxm
代入
从而
|AB|=
x
2
y
4
得
x
2
4x 4m0
.
. 当
16(m1)0
，即
m1
时，
x
2|x
1
x
2
|42(m1)
1,2
22m1
.
2(m1)2(m1)
由题设知
|AB| 2|MN|
，即
4
，解得
m7
.
所以直线AB的方程为
yx7
.

（1）函数
f(x)
的定义域为
(,)
，
21.
（12分）
f

(x)2eaea(2ea)(ea)
， 2xx2xx
①若
a0
，则
f(x)e
，在
( ,)
单调递增.
2x
②若
a0
，则由
f

(x)0
得
xlna
.
当
x(,lna)时，
f

(x)0
；当
x(lna,)
时，< br>f

(x)0
，所
以
f(x)
在
(, lna)
单调递减，在
(lna,)
单调递增.
③若
a0< br>，则由
f

(x)0
得
xln(
a
)
.
2
a
当
x(,ln(
a
))
时，
f

(x)0
；当
x(ln(),)
时，< br>f

(x)0
，
22
a
故
f(x)
在
(,ln(
a
))
单调递减，在
(ln(),)< br>单调递增.
22
（2）①若
a0
，则
f(x)e
，所以
f(x)0
.
2x
②若
a0
，则由（1）得 ，当
xlna
时，
f(x)
取得最小
值，最小值为
f(l na)a
即
a1
时，
f(x)0
.
③若
a0
，则由（1）得，当
xln(
a
)
时，
f(x)
取得最
2
3a
小值，最小值为
f(ln(
a
)) a[ln()]
.从而当且仅当
242
2
2
lna
. 从而当且仅当
a
2
lna0
，

3a< br>a[ln()]0
42
2
，即
a2e
时
f (x)0
.
3
4
3
4
综上，
a
的取值 范围为
[2e,1]
.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） < br>解：（1）曲线
C
的普通方程为
x
2
y
2
1
9
.
当
a1
时，直线
l
的普通方程为< br>x4y30
.
由

x4y30

2< br>
x
2
y1


9
x3
解得

或

y0

21

x


25


y
24

25
< br>.
2124
从而
C
与
l
的交点坐标为
(3 ,0)
，
(
25
,)
.
25
（2）直线
l
的普通方程为
x4ya40
，故
C
上的点
(3 cos

,sin

)
到
l
的距离为
.
1717
17
d
|3cos

4sin
a4|
17
当
a4
时，
d
的最大值为
a9
.由题设得
a9

以
a8
；
，所当
a4
时，
d
的最大值为
a1
.由题设得a1

1717
17
，
所以
a16
.
综上，
a8
或
a16
.、
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解：（1）当
a1
时，不 等式
f(x)g(x)
等价于

x
2
x|x1||x1|40
.①
2
当< br>x1
时，①式化为
x
当
x1
时，①式化为
x< br>3x40
2
，无解；
，从而
1x1
； 当1x1
时，①式化为
x
2
x20
x40，从而
1x
1
2
17
.
所以
f(x )g(x)
的解集为
{x|1x
1
2
17
}< br>.
（2）当
x[1,1]
时，
g(x)2
.
所以
f(x)g(x)
的解集包含
[1,1]
，等价于当
x [1,1]
时
f(x)2
.
又
f(x)
在
[ 1,1]
的学科&网最小值必为
f(1)
与
f(1)
之
一，所以
f(1)2
且
f(1)2
，得
1a1
.
所以
a
的取值范围为
[1,1]
.