武汉民政学院-公费留学申请条件

绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生 务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将
试卷类型（B）填涂在答题 卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案 后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡 各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按
以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1．已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B
={
x
|
3
x
1
}，则
A． B． C． D．
2．如图，正方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部 分的概率是

A． B．


C．


D．



3．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
其中的真命题为
A． B．
：若复数满足，则；
：若复数，则.
C． D．
4．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8
5．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是
A． B． C． D．
6．展开式中的系数为
A．15 B．20 C．30 D．35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正 方形的边长
为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和 为

A．10 B．12
n

n
C．14 D．16
8．右面程序框图是为了求出满足3
−2
>1000的最小偶数
n
，那么在和两个空白框中，可以分别填入

A．
A
>1 000和
n
=
n
+1 B．
A
>1 000和
n
=
n
+2 C．
A
1 000和
n
=
n
+1 D．
A
1 000和
n
=
n
+2
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+)，则下面结论正确的是
A．把
C
1
上各点的横 坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到
曲线
C
2
B．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到 的曲线向左平移个单位长度，得到
曲线
C
2
C．把
C
1< br>上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲
线< br>C
2
D．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不 变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲
线
C
2

10．已 知
F
为抛物线
C
：
y
=4
x
的焦点，过< br>F
作两条互相垂直的直线
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交于
A
、
B
两点，直线
l
2
与
C
交于
D
、
E
两 点，则|
AB
|+|
DE
|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
2
11．设
xyz
为正数，且，则
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z

12．几位大学生响应国 家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解
数学题获取软件激活 码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，
4，1，2，4 ，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是
2，2 ，2，依此类推。求满足如下条件的最小整数
N
：
N
>100且该数列的前< br>N
项和为2的整数幂。那么该
款软件的激活码是
A．440 B．330 C．220 D．110
012
001
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|= .
14．设
x
，
y
满足约束条件，则的最小值为 .
15． 已知双曲线
C
：（
a
>0，
b
>0）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，圆
A< br>与双曲线
C
的一条渐
近线交于
M
、
N
两点。 若∠
MAN
=60°，则
C
的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB< br>分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的等腰三角形。沿 虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起△
DBC
，△
ECA
，△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△
ABC
的边长变
化时，所 得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_______。


3

< br>三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题 考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
A BC
的面积为
（1）求sin
B
sin
C
;
（ 2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
A BC
的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
19．（12分）
为 了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量
其尺寸 （单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数 ，求及的数学期
望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生 产线在这一天的生产过程可
能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
















经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估 计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程
进行检查？剔除之外的数据 ，用剩下的数据估计和（精确到）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
20.（12分）
已知椭圆
C
：（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P
4
（1，）中恰有三点在椭圆
C上.
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过< br>P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。 若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为 –1，证明：
l
过定点.
21.（12分）
已知函数
a
e
2
x
+(
a
﹣2) e
x
﹣
x
.
（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求
a
的取值范围.
（二）选考题：共 10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为（
θ
为参数），直线
l
的参数方程 为
.
（1）若
a
=−1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为，求
a
.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x< br>）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)= │
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
=1时， 求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.
2

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案 < br>一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1. A
7．B
2．B
8．D
3．B
9．D
4．C 5．D 6．C
10．A 11．D 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
23
14．-5 15．
23

3
16．
15cm

3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每 个试题考
生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△
ABC
的内角
A< br>，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，< br>c
，已知△
ABC
的面积为
（1）求sin
B
sin
C
;
（2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
解：（1）
由题意可得，
化简可得，
根据正弦定理化简可得：。
（2）
由，
因此可得，
将之代入中可得：，
化简可得，
利用正弦定理可得，
同理可得，
故而三角形的周长为。
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，
AB

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
（1）证明：

,
又,
PA
、
PD
都在平面
PAD
内，
故而可得。
又
AB
在平面
PAB
内，故而平面
P AB
⊥平面
PAD
。
（2）解：
不妨设，
以
AD
中点
O
为原点，
OA
为
x
轴，
OP< br>为
z
轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标：，
因此可得，
假设平面的法向量，平面的法向量，
故而可得，即，
同理可得，即。
因此法向量的夹角余弦值：。
很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为。
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机 抽取16个零件，并测量
其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生 产的零件的尺寸服从正态分
布．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内 抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期
望；
（2）一天内抽检零件中，如 果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可
能出现了异常情况，需对当天的生 产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
















经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．
用样本平均数作为的估 计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程
进行检查？剔除之外的数据 ，用剩下的数据估计和（精确到）．
附：若随机变量服从正态分布，则，
，．
解：（1）
由题意可得，
X
满足二项分布，

因此可得
（2）
1
由（1）可得，属于小概率事件， ○
故而如果出现的零件，需要进行检查。
2
由题意可得， ○
故而在范围外存在这一个数据，因此需要进行检查。
此时：，
。
20.（12分）
已知椭圆
C
：（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1,1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P
4
（1，）中恰有三点在椭圆
C上.
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过< br>P
2
点且与
C
相交于
A
，
B
两点。 若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率的和为 –1，证明：
l
过定点.
解：（1）
根据椭圆对称性可得，
P< br>1
（1,1）
P
4
（1，）不可能同时在椭圆上，
P
3
（–1，），
P
4
（1，）一定同时在椭圆上， 因此可得椭圆经过
P
2
（0,1），
P
3
（–1，），
P
4
（1，），
代入椭圆方程可得：，
故而可得椭圆的标准方程为：。
（2）由题意可得直线
P
2
A与直线
P
2
B
的斜率一定存在，
不妨设直线
P
2
A
为：,
P
2
B
为：.
联立，
假设，此时可得：
，
此时可求得直线的斜率为：，
化简可得，此时满足。
1
当时，
AB
两点重合，不合题意。 ○
2
当时，直线方程为：○，
即，当时，，因此直线恒过定点。
21.（12分）
已知函数
a
e
2
x
+(
a
﹣2) e
x
﹣
x
.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求
a
的取值范围.

解：
（1）对函数进行求导可得。
1
当时，恒成立，故而函数恒递减 ○
2
当时，○，故而可得函数在上单调递减，在上单调递增。
（2）函数有两个零点，故而可得，此时函数有极小值，
要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，
故而可得，令，
对函数进行求导即可得到，故而函数恒递增，
又，，
因此可得函数有两个零点的范围为。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任 选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为（
θ
为参数），直线
l
的参数方程 为
.
（1）若
a
=−1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为，求
a
.
解：
将曲线C 的参数方程化为直角方程为，直线化为直角方程为
（1）当时，代入可得直线为，联立曲线方程可得：，
解得或，故而交点为或
（2）点到直线的距离为，
即：，
化简可得，
根据辅助角公式可得，
又，解得或者。
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x
）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当< br>a
=1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g< br>（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.
解：
将函数化简可得
（1） 当时，作出函数图像可得的范围在
F
和
G
点中间，
2

联立可得点，因此可得解集为。


（2） 即在内恒成立，故而可得恒成立，
根据图像可得：函数必须在之间，故而可得。