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2017-2018高考三角函数大题



一．解答题（共14小题）

2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中， ∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC=2






，求BC．
3．（2018•北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．





4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin
2
x+（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣






sinxcosx．

，m]上的最大值为，求m的最小值．
第1页（共15页）

5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2c os
2
x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（






）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．
6．（2018•天津）在△ ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣
（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．






）．

7．（2017•新课标Ⅰ）△A BC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC；< br>
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．








第2页（共15页）

．

8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin
2
．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．






9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A ，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+
b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．






cosA=0，a=2，
10．（2017•天津）在△AB C中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+







第3页（共15页）

）的值．

11．（2017•北京）在△ABC中，∠A=60°，c=a．

（1）求sinC的值；

（2）若a=7，求△ABC的面积．




12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（ 3，﹣
（1）若，求x的值；

），x∈[0，π]．

（2）记f（x）=





，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
13．（2017•浙江）已知函数f（ x）=sin
2
x﹣cos
2
x﹣2
（Ⅰ）求f（）的值．

sinx cosx（x∈R）．

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．





14．（2017•上海）已知函数f（x）= cos
2
x﹣sin
2
x+，x∈（0，π）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=


，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

第4页（共15页）

2017-2018高考三角函数大题

参考答案与试题解析



一．解答题（共14小题）

1．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x+alnx．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x
1，x
2
，证明：
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）=﹣
设g（x）=x
2
﹣ax+1，

当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，判别式△=a
2
﹣4，

①当0＜a≤2时 ，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是
减函数，

②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：

x

（0，
）

）

f′（x）

f（x）

﹣

递减

0


＜a﹣2．

﹣1+=﹣，



（，

（
+∞）

，
+

递增

0


﹣

递减

综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，

则（，）上是增函数．

（2）由（1）知a＞2，0＜x
1
＜1＜ x
2
，x
1
x
2
=1，

第5页（共15页）

则f（x
1
）﹣ f（x
2
）=（x
2
﹣x
1
）（1+）+a（lnx
1
﹣lnx
2
）=2（x
2
﹣x
1
）+a（ln x
1
﹣lnx
2
），

则=﹣2+，

则问题转为证明＜1即可，

即证明lnx
1
﹣lnx
2< br>＞x
1
﹣x
2
，

即证2lnx
1
＞x
1
﹣在（0，1）上恒成立，

设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，

求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，

则h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，

故2lnx＞x﹣，

则＜a﹣2成立．



2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形 ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，
（1）求cos∠ADB；

（2）若DC=2，求BC．

【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

∴由正弦定理得：=，即=，

∴sin∠ADB==，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB==．

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，

∵DC=2，

∴BC=

第6页（共15页）

．

BD=5

==5．




3．（2018•北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．

（Ⅰ）求∠A；

（Ⅱ）求AC边上的高．

【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，

∵cosB=﹣，∴sinB===，

由正弦定理得
则A=．

=得sinA===，

（Ⅱ）由余弦定理得b
2
=a
2< br>+c
2
﹣2accosB，

即64=49+c
2
+2×7×c×，

即c
2
+2c﹣15=0，

得（c﹣3）（c+5）=0，

得c=3或c=﹣5（舍），

则AC边上的高h=csinA=3×


4．（2018•北京）已知函数 f（x）=sin
2
x+
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．

sinxcosx=+sin2x

sinxcosx．

=．

【解答】解：（I）函数f（x）=sin
2
x+
第7页（共15页）

=sin（2x﹣）+，

=π；

，m]上的最大值为，

]，

，

f（x）的最 小正周期为T=
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣
可得2x﹣
即有2m﹣
∈[﹣< br>≥
，2m﹣
，解得m≥
．

则m的最小值为


5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos
2
x．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．

【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos
2
x，

∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos
2
x，

∵f（x）为偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

∴﹣asin 2x+2cos
2
x=asin2x+2cos
2
x，

∴2asin2x=0，

∴a=0；

（2）∵f（
∴asin
∴a=
）=+1，

）=a+1=+1，

+2cos
2
（
，

∴f（x）=sin2x+2cos
2
x=
，

）+1=1﹣
）=﹣，

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵f（x）=1﹣
∴2sin（2x+
∴sin（2x+
∴2x+
∴x=﹣

，

=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，

π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，

第8页（共15页）

∵x∈[﹣π，π]，

∴x=

6．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=ac os（B﹣
（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．

【解答】解：（Ⅰ）在 △ABC中，由正弦定理得
又bsinA=acos（B﹣
∴asinB=acos（B﹣∴tanB=，

．

，

=
，

，

，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，

）．

），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，

，得bsinA=asinB，

）．

或x=或x=﹣或x=﹣

又B∈（0，π），∴B=
（Ⅱ）在△ABC中， a=2，c=3，B=
由余弦定理得b=
∵a＜c，∴cosA=
∴sin2A=2s inAcosA=
cos2A=2cos
2
A﹣1=，

∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB=


=．

7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b， c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

【解答】解：（1 ）由三角形的面积公式可得S
△
ABC
=acsinB=
∴3csinBsi nA=2a，

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，

∵sinA≠0，

第9页（共15页）

．

，

∴sinBsinC=；

（2）∵6cosBcosC=1，

∴cosBcosC=，

∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，

∴cos（B+C）=﹣，

∴cosA=，

∵0＜A＜π，

∴A=，

∵===2R==2，

∴sinBsinC=•===，

∴bc=8，

∵a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，

∴b
2
+c
2
﹣bc=9，

∴（b+c）
2
=9+3cb=9+24=33，

∴b+c=

∴周长a+b+c=3+．



8 ．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求cosB ；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin
2
，

∴sinB=4（1﹣cosB），

∵sin
2
B+cos
2
B=1，

∴16（1﹣cosB）
2
+cos
2
B=1，

∴16（1﹣cosB）
2
+cos
2
B﹣1=0，

∴16（cosB﹣1）
2
+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，

第10页（共15页）

sin（A+C）=8sin
2
．

∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，

∴cosB=；

（2）由（1）可知sinB=，

∵S
△
ABC
=ac•sinB=2，

∴ac=，

∴b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB=a
2
+c
2
﹣2××

=a
2
+c
2
﹣15=（a+c）
2
﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15 =4，

∴b=2．



9．（2017•新课标Ⅲ）△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0，

∴tanA=，

∵0＜A＜π，

∴A=，

由余弦定理可得a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，

即28=4+c
2
﹣2×2c×（﹣），

即c
2
+2c﹣24=0，

解得c=﹣6（舍去）或c=4，

故c=4．

（2）∵c
2
=b
2
+a
2
﹣2abcosC，

∴16=28+4﹣2×2×2×cosC，

∴cosC=，

∴CD===

第11页（共15页）

sinA+cosA=0，a=2，

∴CD=BC

∵S
△
ABC
=AB•AC•sin∠BAC=×4×2×
∴S
△
ABD
=S
△
ABC
=

=2，




10．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分 别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，

故由sinB=，可得cosB=．

由已知及余弦定理，有
∴b=．

，得sinA=
；

，∴sin2A=2sinAcosA=，

．

=13，

由正弦定理
∴b=，sinA=
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=
co s2A=1﹣2sin
2
A=﹣
故sin（2A+


）=
．

=．

11．（2017•北京）在△ABC中，∠A=60°，c=a．

（1）求sinC的值；

（2）若a=7，求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，

由正弦定理可得sinC=sinA=×

=，

第12页（共15页）

（2）a=7，则c=3，

∴C＜A，

由（1）可得cosC=，

×
．

+×=，

∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=
∴S
△
ABC
=acsinB=×7×3×


= 6
12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣
（1）若，求x 的值；

），x∈[0，π]．

（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

），∥，

【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣
∴ ﹣cosx=3sinx，

，

∴tanx=﹣
∵x∈[0，π]，

∴x=，

=3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），

（2）f（x）=
∵x∈[0，π]，

∴x+∈[，]，

）≤，

∴﹣1≤cos（x+
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，

当x=


13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin
2
x﹣cos
2
x﹣2
（Ⅰ）求f（）的值．

sinx cosx（x∈R）．

时，f（x）有最小值，最小值﹣2．

（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

【解答】解：∵函数f（x）=s in
2
x﹣cos
2
x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）

第13页（共15页）

（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，

（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，

即f（x）的最小正周期为π，

由 2x+
x∈[﹣
∈[﹣
+kπ，﹣
+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：

+kπ]，k∈Z，

+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．

故f（x）的单调递增区间为[﹣


14．（2017•上海）已知函数f （x）=cos
2
x﹣sin
2
x+，x∈（0，π）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a =
【解答】解：（1）函数f（x）=cos
2
x﹣sin
2
x+< br>
=cos2x+，x∈（0，π），

由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，

k=1时，π≤x≤π，

可得f（x）的增区间为[，π）；

，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

（2）设△ABC为锐角三角形，

角A所对边a=，角B所对边b=5，

若f（A）=0，即有cos2A+=0，

解得2A=π，即A=π，
< br>由余弦定理可得a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA ，

化为c
2
﹣5c+6=0，

解得c=2或3，

若c=2，则cosB=＜0，

即有B为钝角，c=2不成立，

则c=3，

△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×

=．

第14页（共15页）

第15页（共15页）