2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练

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2020年08月16日 09:14
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绕口令大全-环保作文800字


.
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用
例1
ABC
的内角
A

B

C
的对边分别为
a

b

c
,已知
sin(AC)8sin
(1)求
cosB

(2)若
ac6

ABC
面积为2,求
b

【答案】(1)
cosB
2
B

2
15
(2)
b2

17
2
【解析 】由题设及
ABC


sinB8sin
2
B,故
sinB4(1cosB)

2
上式两边平方,整理得
17cosB32cosB150

解得
cosB1
(舍去),
cosB
15

17
.
(2)由
cosB
15814
ac
. 得
sinB
,故
S
ABC
acsinB
171721 7
17

2
2222

S
ABC
< br>2
,则
ac
由余弦定理及
ac6

bac 2accosB(ac)2ac(1cosB)

362
1715
(1)4

217
所以
b2

【易错点】二倍角公式的应用不熟练,正余弦定理不确定何时运用
【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出
例2
△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若
2bcosBacosCcc osA
,则
B
.
【答案】
π

3

B
.
23
【解析】
2sinBcos BsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinBcosB
Word资料


【易错点】不会把边角互换,尤其三角恒等变化时,注意符号。
【思维点拨】边角互换时,一般遵循求角时,把边换成角;求边时,把角转换成边。
2
例3在△
ABC
中,
a

b

c
分别是 角
A

B

C
的对边,若
b
=1,
c
=3,
C

π,则
S

ABC
=__ ______.
3
3

4
【答案】
bc
131< br>【解析】因为
c

b
,所以
B

C
,所以由正弦定理得=,即==2,即sin
B
=,所以
B
sin
B
sin
C
sin
B
2π2
sin
3
1113
ππ

π
=,所以
A
=π--=.所以
S

ABC

bc
sin
A

×3×
=.
66362224
【易错点】大边对大角,应注意角的取值范围
【思维点拨】求面积选取公式时注意,一般选取已知角的公式,然后再求取边长。
题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
例1在
ABC
中,角< br>A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,且
A,B,C
成等差数 列
(1)若
b23,c2
,求
ABC
的面积
(2 )若
sinA,sinB,sinC
成等比数列,试判断
ABC
的形状
【答案】(1)
23
(2)等边三角形
【解析】(1)由
A
B

C
成等差数列,有2
B

A

C
(1)
因为
A

B

C
为△
ABC
的内角,所以
A

B

C
=π.( 2)

B


b
2

a
2
c
2
-2
accosB
(3)
3

22
所以
(23)a44acos

3
解得
a4

a2
(舍去)
所以
s
ABC

11

acsinB42sin
23

223
2
(2)由
a

b

c
成等比数列 ,有
b

ac
(4)
由余弦定理及(3),可得
b

a

c
-2
accosB

a
c

ac

再由(4),得
a

c

ac

ac
,即(
a

c
)=0。因此< br>a

c
从而
A

C
(5)
222
22222

2


.
由(2)(3)(5),得
A

B

C


3
所以△
ABC
为等边三角形.
【易错点】等差数列,等比数列容易混淆
【思维点拨】在三角形中,三边和三角都是实数,三 个数很容易联想到数列的三项,所以,三角函数与数
列的结合也是较为常见的问题,解答中注意几个常见 结论,此类问题就不难解答了.
例2在△ABC中,已知
2abc

s inAsinBsinC
,试判断△ABC的形状。
【答案】等边三角形
2【解析】
sinAsinBsinC
abc
,又
2abc,所以
4a
2
(bc)
2
,所以
4bc(bc )
2
,即
2
2
(bc)
2
0
,因而< br>bc
;由
2abc

ab
。所以
abc
,△ABC为等边三角形。
【易错点】条件的转化运用
【思维点拨】判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形:
(1)一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;
(2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理
题型三与三角形中有关的不等式问题
a
2
例1

ABC< br>的内角
A

B

C
的对边分别为
a

b

c
,已知

ABC
的面积为.
3sinA
(1)求
sinBsinC
;
(2)若6cos
B
cos
C
=1,
a
=3,求△
ABC
的周长.
【答案】(1)
sinBsinC
【解析】
2
;(2)
C
ABC
333

3
1a
2
1a
(1)由题设得acsinB,即csinB.
23sinA23sinA
1sinA

由正弦定理得sinCsinB.
23sinA
2
 sinCsinB.
3
Word资料


1
(2)由题设 及(1)得cosBcosCsinBsinC,
2
12

即cos (BC).BC,A.
233
1a
2

又bcs inA,即bc8.
23sinA
由余弦定理得b
2
c
2bc9,即(bc)
2
3bc9,
bc33.C
A BC
333.
【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系
【思维点拨】在处 理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使
用面积公式建立等 式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形
问题常见的一种考 题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长
度和它所对的 角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,
建立函数 关系式,如
yAsin(

x

)b
,从而求出范围 ,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具
体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
例 2已知
a
,
b
,
c
分别为△
ABC
三个内 角
A
,
B
,
C
的对边,
acosC3asinC bc0
.
(1)求
A
的大小;
(2)若
a
=7,求△
ABC
的周长的取值范围.
【答案】(1)

(2)(14,21]
3
【解析】(1)由正弦定理得:
acosC3asinCbc0sin AcosC3sinAsinCsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCsin(AC)sinC


1

3sinAcosA1sin(A)AA
62663
(2)由已知:
b0
,
c0
,
bc a7
,
由余弦定理
49bc2bccos
22

31
(bc)
2
3bc(bc)
2
(bc)
2
(bc)
2

344
2
当且仅当
b

c
=7时等号成立,∴
(bc)449
,又∵
b

c
>7,∴7<
b

c
≤14,

4


.
从而△
ABC
的周长的取值范围是(14,21].
【易错点】求周长范围的问题,应先用余弦定理列出等式,再根据基本不等式求出所求问题.
【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合< br>边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.
例3△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,< br>b
,
c
,已知2
c-a=
2
b
cos
A.

(1)求角
B
的大小;
(2)若
b=
2,求
a+c
的最大值
.

【答案】(1)
B=

(2)4
3

【解析】:(1)

2
c-a=
2
b
cos
A
,

根据正弦定理,得2sin
C-
sin
A=
2sin
B
cos
A.①∵A+B=
π
-C
,

sin
C=
sin(
A+B
)
=
sin
B
cos
A+
cos
B
sin
A
,
代入

式,得2sin
B
cos
A=
2sin
B
cos
A+
2cos
B
sin
A-
sin
A
,化简得(2cos
B-
1)sin
A=
0
.

∵A
是三角形的内角,

sin
A>
0,

2cos
B-
1
=
0,解得cos
B=
∵B
∈(0,π),
∴B=
,

.

3
22222
(2)由余弦定理
b=a+c-
2
ac
cos
B
,得12
=a+c-ac.


(
a +c
)
2
-
3
ac=
12,

12≥(< br>a+c
)
2
-
∴a+c
≤4
(
a+c
),当且仅当
a=c=
2
2
时取等号,
【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解
.

(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos
B-
1)sin
A=
0,结合sin
A>
0得到cos
B
,从而解

B
;(2)由余弦定理,可得出12
=a+c -ac.
再利用基本不等式求最大值
.

【思维点拨】(1)正弦定理、余弦 定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方
程思想,即根据正弦定理、余 弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;
(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作 用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函
数关系,也可以把已知条件化为 三角形边的关系;
22
Word资料


(3) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解
.

题型四解三角形的实际应用
例1在某次测量中,在
A
处测得同一平面方向的
B
点的仰角是50°,且到
A
的距离为2,C点的俯角为70°,
且 到
A
的距离为3,则
B

C
间的距离为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
【答案】 D
【解析】 因∠
BAC
=120°,
AB
=2,
AC
=3.

BC

AB

AC
-2
AB
·
AC
cos ∠
BAC
=4+9-2×2×3×cos 120°=19.

BC
=19.
【易错点】没有正确理解题意,不能将应用转化为可计算的三角模型
【思维点拨】正弦定理、 余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定理、余弦定理
解决一些简单的三角形的 度量问题以及几何计算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
例2设甲、乙两楼相距< br>20m
,从乙楼底望甲楼顶的仰角为
60
,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30
,则甲、
乙两楼的高分别是( ).
A.
oo
222
1520
3m,3m
B.
103m,203m

23
C.
10

32m,203m
D.
203m,

40
3m

3
【答案】D
【解析】设甲楼为
DA
,乙楼为
BC
,如图,在
RtA BD,ABD60
o
,BD20m,ADBDtan60
o
20 3m,AB
20
40m
o
cos60

QCAB ABC30
o
,ACBC,ACB120
o
,在
AB C
中,设
ACBCx
,由余弦定理得:
AB
2
AC
2
BC
2
2AC?BC·cosACB
,即
1600 x
2
x
2
x
2
,解得
x
分别是< br>203m,
40
3
,则甲、乙两楼的高
3
40
3m< br>,
3
【易错点】没有正确理解题意,不能将应用转化为可计算的三角模型
【 思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定理、余弦定理
解 决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
【巩固训练】

6


.
题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用
1.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知a=2, 2sinA=sinC=
10
时,求b及c的长

4
【答案】b=
6
或2
6

c4

【解析】当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理
ac
,得c=4

sinAsinC
由sinC=
106
,及0<C<π得cosC=± < br>44
2222
由余弦定理c=a+b-2abcosC,得b
±
6b-12=0
解得 b=
6
或2
6



b6
所以




c4


b26




c4
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知b+c=2a cos B.
(I)证明:
A
=2
B
a
2
(II)若△ABC的面积
S=
,求角
A
的大小.
4
【答案】(1)略 (2)


2



4

【解析】(I)由正弦定理得
sinBsinC2sinAcosB,


2sinAcosBsinBsin

AB

sinB sinAcosBcosAsinB,

于是
sinBsin

AB

,又
A,B

0,


,故< br>0AB

,
所以
B



AB


BAB
因此
A

(舍去)或< br>A2B

所以,
A2B.

a
2
1a< br>2
(II)由
S

absinC
,故有
424
1
sinsinCsin2sincos
,因为
sin0< br>,得
sinCcos

2



C

0,


,所以
C


2

Word资料




C



2
时,

2


C


时,


24

综上,





24

3.
△ABC
的内角
A

B

C
的对边分 别为
a

b

c
,已知
2cosC(acosB+ bcosA)c.

(I)求
C

(II)若
c7, △ABC
的面积为
33
2
,求
△ABC
的周长.
【答案】(I)

3
;(II)
57

【解析】 (I)由已知及正弦定理得,
2cosC

sincossincos
sinC

2cosCsin



sinC
.故
2sinCcosCsinC

可得
cosC 
1
2
,所以
C

3

(II)由已知,
1
2
absinC
33
2
.

C

3
,所以
ab6
.
由已知及 余弦定理得,
a
2
b
2
2abcosC7
.

a
2
b
2
13
,从而

ab< br>
2
25
.
所以
ABC
的周长为
57

题型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
1.在△
ABC
中,内角
A
B

C
所对的边分别是
a

b
,< br>c
,若
c

a
cosB=(2
a

b
)cos
A
,则△
ABC
的形状为(
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
【 解析】因为
c

a
cosB=(2
a

b
)cos
A

C
=π-(
A

B
),
所以由正弦定理得sin
C
-sin
A
cos B=2sin
A
cos
A
-sin B·cos
A

所以sin
A
cos B+cos
A
sin B-sin
A
cos B=2sin
A
cos
A
-sinBcos
A


8
)


.
所以cos
A
(sin B-sin
A
)=0,
所以cos
A
=0或sin B=sin
A

π所以
A
=或
B

A

B
=π-
A
(舍去),
2
所以△
ABC
为等腰或直角三角形.
2.在△
ABC
中,若sin
A=
2cos
B
sin
C
,则△
ABC
的形状是
.

【答案】等腰三角形
c
2

a
2

b
2
【解析】由已知等式得
a=

·
c
,所以
a
2
=a
2
+c
2
-b
2
,所以
c
2
=b
2
,即
c=b.
故△
A BC
为等腰三角形
.
2
ac
c
3. △
ABC< br>中,角
A

B

C
所对的边分别为
a

b

c
,若<cos
A
,则△
ABC
为( ).
b
A.钝角三角形
C.锐角三角形
【答案】A
sin
C
【解析】依题意,得<cos
A
,sin
C
<sin
B
cos
A
,所以sin(
A

B
)<sin
B
cos
A
,即sin
B
cos
A
+cos
B
sin
sin
B
B.直角三角形
D.等边三角形
A
-sin
B
cos
A
<0,所以cos
B
sin
A
<0.又sin
A
>0,于是有cos
B
<0,B
为钝角,△
ABC
是钝角三角形,选
A.
题型三 与三角形有关的不等式问题
2
1.在△
ABC
中,内角
A

B

C
所对的边分别为
a

b

c
,已知cos
B
+cos
B
=1-cos
A
cos
C
.
(1)求证:
a

b

c
成等比数列;
(2)若
b
=2,求△
ABC
的面积的最大值.
【答案】(1)略 (2)3.
【解析】(1)证明:在△
ABC
中,cos
B
=-cos(
A

C
).由已知,得
(1-s in
B
)-cos(
A

C
)=1-cos
A
cos
C

∴-sin
B
-(cos
A
cos
C
-sin
A
sin
C
)=-cos
A
cos
C

化简,得sin
B
=sin
A
sin
C
. 由正弦定理,得
b

ac


a

b

c
成等比数列.
(2)由(1)及题设条件,得
ac
=4.
22
2
2a
2

c
2

b
2
a
2
c
2

ac
2
ac

ac
1
则cos
B
==

=,
2
ac
2< br>ac
2
ac
2
当且仅当
a

c
时, 等号成立.
∵0<
B
<π,∴sin
B
=1-cos
B

2
1-?f(1
2?)
2

3
.
2
Word资料


113

S

ABC

ac
sin
B

×4×
=3.
222
∴△
ABC
的面积的最大值为3.
2在
ABC< br>中,内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
已知
sin(1).求角
A
的大小;
(2).若
a
2
BC1
sinBsinC
.
24
7

ABC
的面积为
3
,求
bc
的值.
2
【答案】(1).
A

(2).
bc3

3
1cos

BC

2
sinBsinC
1

4
【解析】(1).由已知得
1cosBcosCsinBsinC1
sinBsinC

24
11
整理得
cosBcosCsinBsinC
,即
cos
< br>BC



22
π

由于
0 BCπ
,则
BC
,所以
A

3
3< br>化简得
(2).因为
S
ABC

根据余弦定理得
2
1133
bcsinAbc
,所以
bc2

22 22

7
2
b
2
c
2
2bcc os

2
b
2
c
2
bc
bc

bc

3

7

b c

2
,所以
bc3

3.在△
ABC中,角
A

B

C
所对的边分别为
a

b

c
,且满足cos2
C
-cos2
A
=2sin
(
(1)求角
A
的大小;
(2)若
a
=3,且
b

a
,求2
b

c
的取值范 围.
π

【答案】(1)
A
=或.(2)[3,23)
33
【解析】(1)由已知得2sin
A
-2sin
C

2(cos
2
C
22

C
)
sin(C)< br>
3
3

3
4
1
2
sin
C
)

4
33
化简得sin
A
=,∴sin
A
=±,
42
2

10


.
又0<
A
<π,∴sin
A

3
π

, 故
A
=或.
233
abc
π
(2)由==,得
b
=2sin
B

c
=2sin
C
,因为
b

a
,所以< br>B

A
,所以
A
=,
sin
A
s in
B
sin
C
3
故2
b

c
= 4sin
B
-2sin
C

=4sin
B
-2si n
(

B
)
=3sin
B
-3cos
B

=23sin
(B
2
3

6
)
.
π
因为
b

a
,所以

B
<

33
πππ
所以

B

<,
662
所以2
b

c
的取值范围为[3,23).
题型四 解三角形的实际应用
1.一艘海轮从
A
处出发,以每小时40海里 的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达
B
处,在
C
处有一座 灯塔,海轮在
A
处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在
B
处观察灯塔,其方 向是北偏东65°,
那么
B

C
两点间的距离是 ( ).
A.102海里
【答案】A
【解析】如图所示,易知,在△
ABC< br>中,
AB
=20海里,∠
CAB
=30°,∠
ACB

45°, 根据正弦定理得=,解得
BC
=102(海里).
sin 30°sin 45°

2. 要测量对岸
A,B
两点之间 的距离,选取相距
3km

C,D
两点,并测得

ACB< br>
75

BCD45

B.103海里 C.203海里 D.202海里
BCAB

ADC30


ADB45

,求
A,B
之间的距离.
【答案】
5km

【解析】如图所示,在
ACD
中,
ACD=120

CAD=ADC=30



ACCD3km
.在
BCD
中,
BCD=45


BDC=75


3sin75

62

CBD=60

BC
.
ABC
中,由余 弦定理,
sin60

2

Word资料

< br>得
AB
2

3

2

62
62



23cos755
,所以< br>AB5km
.


22

2
A

B
之间的距离为
5km
.
3.如图,从气球< br>A
上测得正前方的河流的两岸
B

C
的俯角分别为
7 5

30
,此时气球的高是
60cm
,则
河流的宽度
BC
等于
oo
A
30
°
60m
75
°
BC

A.
240(31)m
B.
180(21)m
C.
120(31)m
D.
30(31)m

【答案】C
【解析】∵
tan15tan(6045)23


BC60tan6060tan15120(31)





oo
ooo


12

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