2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练
绕口令大全-环保作文800字
.
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一
正弦定理、余弦定理的直接应用
例1
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,已知
sin(AC)8sin
(1)求
cosB
(2)若
ac6
,
ABC
面积为2,求
b
.
【答案】(1)
cosB
2
B
.
2
15
(2)
b2
.
17
2
【解析
】由题设及
ABC
得
sinB8sin
2
B,故
sinB4(1cosB)
.
2
上式两边平方,整理得
17cosB32cosB150
,
解得
cosB1
(舍去),
cosB
15
17
.
(2)由
cosB
15814
ac
. 得
sinB
,故
S
ABC
acsinB
171721
7
17
.
2
2222
又
S
ABC
<
br>2
,则
ac
由余弦定理及
ac6
得
bac
2accosB(ac)2ac(1cosB)
362
1715
(1)4
.
217
所以
b2
.
【易错点】二倍角公式的应用不熟练,正余弦定理不确定何时运用
【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出
例2
△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若
2bcosBacosCcc
osA
,则
B
.
【答案】
π
3
1π
B
.
23
【解析】
2sinBcos
BsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinBcosB
Word资料
【易错点】不会把边角互换,尤其三角恒等变化时,注意符号。
【思维点拨】边角互换时,一般遵循求角时,把边换成角;求边时,把角转换成边。
2
例3在△
ABC
中,
a
,
b
,
c
分别是
角
A
,
B
,
C
的对边,若
b
=1,
c
=3,
C
=
π,则
S
△
ABC
=__
______.
3
3
4
【答案】
bc
131<
br>【解析】因为
c
>
b
,所以
B
<
C
,所以由正弦定理得=,即==2,即sin
B
=,所以
B
sin
B
sin
C
sin
B
2π2
sin
3
1113
ππ
2π
π
=,所以
A
=π--=.所以
S
△
ABC
=
bc
sin
A
=
×3×
=.
66362224
【易错点】大边对大角,应注意角的取值范围
【思维点拨】求面积选取公式时注意,一般选取已知角的公式,然后再求取边长。
题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
例1在
ABC
中,角<
br>A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,且
A,B,C
成等差数
列
(1)若
b23,c2
,求
ABC
的面积
(2
)若
sinA,sinB,sinC
成等比数列,试判断
ABC
的形状
【答案】(1)
23
(2)等边三角形
【解析】(1)由
A,
B
,
C
成等差数列,有2
B
=
A
+
C
(1)
因为
A
,
B
,
C
为△
ABC
的内角,所以
A
+
B
+
C
=π.(
2)
得
B
=
b
2
=
a
2+
c
2
-2
accosB
(3)
3
,
22
所以
(23)a44acos
3
解得
a4
或
a2
(舍去)
所以
s
ABC
11
acsinB42sin
23
223
2
(2)由
a
,
b
,
c
成等比数列
,有
b
=
ac
(4)
由余弦定理及(3),可得
b
=
a
+
c
-2
accosB
=
a
+c
-
ac
再由(4),得
a
+
c
-
ac
=
ac
,即(
a
-
c
)=0。因此<
br>a
=
c
从而
A
=
C
(5)
222
22222
2
.
由(2)(3)(5),得
A
=
B
=
C
=
3
所以△
ABC
为等边三角形.
【易错点】等差数列,等比数列容易混淆
【思维点拨】在三角形中,三边和三角都是实数,三
个数很容易联想到数列的三项,所以,三角函数与数
列的结合也是较为常见的问题,解答中注意几个常见
结论,此类问题就不难解答了.
例2在△ABC中,已知
2abc
,
s
inAsinBsinC
,试判断△ABC的形状。
【答案】等边三角形
2【解析】
sinAsinBsinC
abc
,又
2abc,所以
4a
2
(bc)
2
,所以
4bc(bc
)
2
,即
2
2
(bc)
2
0
,因而<
br>bc
;由
2abc
得
ab
。所以
abc
,△ABC为等边三角形。
【易错点】条件的转化运用
【思维点拨】判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形:
(1)一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余弦定理结合使用;
(2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理
题型三与三角形中有关的不等式问题
a
2
例1
△
ABC<
br>的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,
b
,
c
,已知
△
ABC
的面积为.
3sinA
(1)求
sinBsinC
;
(2)若6cos
B
cos
C
=1,
a
=3,求△
ABC
的周长.
【答案】(1)
sinBsinC
【解析】
2
;(2)
C
ABC
333
3
1a
2
1a
(1)由题设得acsinB,即csinB.
23sinA23sinA
1sinA
由正弦定理得sinCsinB.
23sinA
2
sinCsinB.
3
Word资料
1
(2)由题设
及(1)得cosBcosCsinBsinC,
2
12
即cos
(BC).BC,A.
233
1a
2
又bcs
inA,即bc8.
23sinA
由余弦定理得b
2
c
2bc9,即(bc)
2
3bc9,
bc33.C
A
BC
333.
【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系
【思维点拨】在处
理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使
用面积公式建立等
式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形
问题常见的一种考
题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长
度和它所对的
角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,
建立函数
关系式,如
yAsin(
x
)b
,从而求出范围
,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具
体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
例
2已知
a
,
b
,
c
分别为△
ABC
三个内
角
A
,
B
,
C
的对边,
acosC3asinC
bc0
.
(1)求
A
的大小;
(2)若
a
=7,求△
ABC
的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)(14,21]
3
【解析】(1)由正弦定理得:
acosC3asinCbc0sin
AcosC3sinAsinCsinBsinC
sinAcosC3sinAsinCsin(AC)sinC
1
3sinAcosA1sin(A)AA
; 62663
(2)由已知:
b0
,
c0
,
bc
a7
,
由余弦定理
49bc2bccos
22
31
(bc)
2
3bc(bc)
2
(bc)
2
(bc)
2
344
2
当且仅当
b
=
c
=7时等号成立,∴
(bc)449
,又∵
b
+
c
>7,∴7<
b
+
c
≤14,
4
.
从而△
ABC
的周长的取值范围是(14,21].
【易错点】求周长范围的问题,应先用余弦定理列出等式,再根据基本不等式求出所求问题.
【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合<
br>边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.
例3△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,<
br>b
,
c
,已知2
c-a=
2
b
cos
A.
(1)求角
B
的大小;
(2)若
b=
2,求
a+c
的最大值
.
【答案】(1)
B=
(2)4
3
【解析】:(1)
∵
2
c-a=
2
b
cos
A
,
∴
根据正弦定理,得2sin
C-
sin
A=
2sin
B
cos
A.①∵A+B=
π
-C
,
∴
sin
C=
sin(
A+B
)
=
sin
B
cos
A+
cos
B
sin
A
,
代入
①
式,得2sin
B
cos
A=
2sin
B
cos
A+
2cos
B
sin
A-
sin
A
,化简得(2cos
B-
1)sin
A=
0
.
∵A
是三角形的内角,
∴
sin
A>
0,
∴
2cos
B-
1
=
0,解得cos
B=
∵B
∈(0,π),
∴B=
,
.
3
22222
(2)由余弦定理
b=a+c-
2
ac
cos
B
,得12
=a+c-ac.
∴
(
a
+c
)
2
-
3
ac=
12,
∴
12≥(<
br>a+c
)
2
-
∴a+c
≤4
(
a+c
),当且仅当
a=c=
2
2
时取等号,
【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解
.
(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos
B-
1)sin
A=
0,结合sin
A>
0得到cos
B
,从而解
出
B
;(2)由余弦定理,可得出12
=a+c
-ac.
再利用基本不等式求最大值
.
【思维点拨】(1)正弦定理、余弦
定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方
程思想,即根据正弦定理、余
弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;
(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作
用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函
数关系,也可以把已知条件化为
三角形边的关系;
22
Word资料
(3)
涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解
.
题型四解三角形的实际应用
例1在某次测量中,在
A
处测得同一平面方向的
B
点的仰角是50°,且到
A
的距离为2,C点的俯角为70°,
且
到
A
的距离为3,则
B
、
C
间的距离为( )
A.16 B.17 C.18
D.19
【答案】 D
【解析】
因∠
BAC
=120°,
AB
=2,
AC
=3.
∴
BC
=
AB
+
AC
-2
AB
·
AC
cos ∠
BAC
=4+9-2×2×3×cos 120°=19.
∴
BC
=19.
【易错点】没有正确理解题意,不能将应用转化为可计算的三角模型
【思维点拨】正弦定理、
余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定理、余弦定理
解决一些简单的三角形的
度量问题以及几何计算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
例2设甲、乙两楼相距<
br>20m
,从乙楼底望甲楼顶的仰角为
60
,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30
,则甲、
乙两楼的高分别是( ).
A.
oo
222
1520
3m,3m
B.
103m,203m
23
C.
10
32m,203m
D.
203m,
40
3m
3
【答案】D
【解析】设甲楼为
DA
,乙楼为
BC
,如图,在
RtA
BD,ABD60
o
,BD20m,ADBDtan60
o
20
3m,AB
20
40m
o
cos60
,
QCAB
ABC30
o
,ACBC,ACB120
o
,在
AB
C
中,设
ACBCx
,由余弦定理得:
AB
2
AC
2
BC
2
2AC?BC·cosACB
,即
1600
x
2
x
2
x
2
,解得
x
分别是<
br>203m,
40
3
,则甲、乙两楼的高
3
40
3m<
br>,
3
【易错点】没有正确理解题意,不能将应用转化为可计算的三角模型
【
思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点,主要利用正弦定理、余弦定理
解
决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题,常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
【巩固训练】
6
.
题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用
1.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,
2sinA=sinC=
10
时,求b及c的长
4
【答案】b=
6
或2
6
;
c4
。
【解析】当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理
ac
,得c=4
sinAsinC
由sinC=
106
,及0<C<π得cosC=± <
br>44
2222
由余弦定理c=a+b-2abcosC,得b
±
6b-12=0
解得 b=
6
或2
6
b6
所以
或
c4
b26
c4
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.
已知b+c=2a cos B.
(I)证明:
A
=2
B
; a
2
(II)若△ABC的面积
S=
,求角
A
的大小.
4
【答案】(1)略
(2)
2
或
4
.
【解析】(I)由正弦定理得
sinBsinC2sinAcosB,
故
2sinAcosBsinBsin
AB
sinB
sinAcosBcosAsinB,
于是
sinBsin
AB
,又
A,B
0,
,故<
br>0AB
,
所以
B
AB
或
BAB
因此
A
(舍去)或<
br>A2B
所以,
A2B.
a
2
1a<
br>2
(II)由
S
得
absinC
,故有
424
1
sinsinCsin2sincos
,因为
sin0<
br>,得
sinCcos
.
2
又
,
C
0,
,所以
C
2
.
Word资料
当
C
2
时,
2
;
当
C
时,
24
.
综上,
或
24
.
3.
△ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分
别为
a
,
b
,
c
,已知
2cosC(acosB+
bcosA)c.
(I)求
C
;
(II)若
c7,
△ABC
的面积为
33
2
,求
△ABC
的周长.
【答案】(I)
3
;(II)
57
【解析】
(I)由已知及正弦定理得,
2cosC
sincossincos
sinC
,
2cosCsin
sinC
.故
2sinCcosCsinC
.
可得
cosC
1
2
,所以
C
3
.
(II)由已知,
1
2
absinC
33
2
.
又
C
3
,所以
ab6
.
由已知及
余弦定理得,
a
2
b
2
2abcosC7
.
故
a
2
b
2
13
,从而
ab<
br>
2
25
.
所以
ABC
的周长为
57
题型二
利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
1.在△
ABC
中,内角
A,
B
,
C
所对的边分别是
a
,
b
,<
br>c
,若
c
-
a
cosB=(2
a
-
b
)cos
A
,则△
ABC
的形状为(
A.等腰三角形
B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D
【
解析】因为
c
-
a
cosB=(2
a
-
b
)cos
A
,
C
=π-(
A
+
B
),
所以由正弦定理得sin
C
-sin
A
cos B=2sin
A
cos
A
-sin B·cos
A
,
所以sin
A
cos B+cos
A
sin B-sin
A
cos
B=2sin
A
cos
A
-sinBcos
A
,
8
)
.
所以cos
A
(sin B-sin
A
)=0,
所以cos
A
=0或sin B=sin
A
,
π所以
A
=或
B
=
A
或
B
=π-
A
(舍去),
2
所以△
ABC
为等腰或直角三角形.
2.在△
ABC
中,若sin
A=
2cos
B
sin
C
,则△
ABC
的形状是
.
【答案】等腰三角形
c
2
+
a
2
-
b
2
【解析】由已知等式得
a=
2·
·
c
,所以
a
2
=a
2
+c
2
-b
2
,所以
c
2
=b
2
,即
c=b.
故△
A
BC
为等腰三角形
.
2
ac
c
3. △
ABC<
br>中,角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
,若<cos
A
,则△
ABC
为( ).
b
A.钝角三角形
C.锐角三角形
【答案】A
sin
C
【解析】依题意,得<cos
A
,sin
C
<sin
B
cos
A
,所以sin(
A
+
B
)<sin
B
cos
A
,即sin
B
cos
A
+cos
B
sin
sin
B
B.直角三角形
D.等边三角形
A
-sin
B
cos
A
<0,所以cos
B
sin
A
<0.又sin
A
>0,于是有cos
B
<0,B
为钝角,△
ABC
是钝角三角形,选
A.
题型三
与三角形有关的不等式问题
2
1.在△
ABC
中,内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
,已知cos
B
+cos
B
=1-cos
A
cos
C
.
(1)求证:
a
,
b
,
c
成等比数列;
(2)若
b
=2,求△
ABC
的面积的最大值.
【答案】(1)略 (2)3.
【解析】(1)证明:在△
ABC
中,cos
B
=-cos(
A
+
C
).由已知,得
(1-s
in
B
)-cos(
A
+
C
)=1-cos
A
cos
C
,
∴-sin
B
-(cos
A
cos
C
-sin
A
sin
C
)=-cos
A
cos
C
,
化简,得sin
B
=sin
A
sin
C
.
由正弦定理,得
b
=
ac
,
∴
a
,
b
,
c
成等比数列.
(2)由(1)及题设条件,得
ac
=4.
22
2
2a
2
+
c
2
-
b
2
a
2+
c
2
-
ac
2
ac
-
ac
1
则cos
B
==
≥
=,
2
ac
2<
br>ac
2
ac
2
当且仅当
a
=
c
时,
等号成立.
∵0<
B
<π,∴sin
B
=1-cos
B
≤
2
1-?f(1
2?)
2
=
3
.
2
Word资料
113
∴
S
△
ABC
=
ac
sin
B
≤
×4×
=3.
222
∴△
ABC
的面积的最大值为3.
2在
ABC<
br>中,内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
已知
sin(1).求角
A
的大小;
(2).若
a
2
BC1
sinBsinC
.
24
7
,
ABC
的面积为
3
,求
bc
的值.
2
【答案】(1).
A
2π
(2).
bc3
3
1cos
BC
2
sinBsinC
1
,
4
【解析】(1).由已知得
1cosBcosCsinBsinC1
sinBsinC
,
24
11
整理得
cosBcosCsinBsinC
,即
cos
<
br>BC
,
22
π
2π
由于
0
BCπ
,则
BC
,所以
A
.
3
3<
br>化简得
(2).因为
S
ABC
根据余弦定理得
2
1133
bcsinAbc
,所以
bc2
.
22
22
7
2
b
2
c
2
2bcc
os
2π
2
b
2
c
2
bc
bc
bc
,
3
即
7
b
c
2
,所以
bc3
3.在△
ABC中,角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
,且满足cos2
C
-cos2
A
=2sin
(
(1)求角
A
的大小;
(2)若
a
=3,且
b
≥
a
,求2
b
-
c
的取值范
围.
π
2π
【答案】(1)
A
=或.(2)[3,23)
33
【解析】(1)由已知得2sin
A
-2sin
C
=
2(cos
2
C
22
C
)
sin(C)<
br>
3
3
3
4
1
2
sin
C
)
,
4
33
化简得sin
A
=,∴sin
A
=±,
42
2
10
.
又0<
A
<π,∴sin
A
=
3
π
2π
, 故
A
=或.
233
abc
π
(2)由==,得
b
=2sin
B
,
c
=2sin
C
,因为
b
≥
a
,所以<
br>B
≥
A
,所以
A
=,
sin
A
s
in
B
sin
C
3
故2
b
-
c
=
4sin
B
-2sin
C
=4sin
B
-2si
n
(
B
)
=3sin
B
-3cos
B
=23sin
(B
2
3
6
)
. 2π
π
因为
b
≥
a
,所以
≤
B
<
,
33
πππ
所以
≤
B
-
<,
662
所以2
b
-
c
的取值范围为[3,23).
题型四 解三角形的实际应用
1.一艘海轮从
A
处出发,以每小时40海里
的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达
B
处,在
C
处有一座
灯塔,海轮在
A
处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在
B
处观察灯塔,其方
向是北偏东65°,
那么
B
,
C
两点间的距离是 ( ).
A.102海里
【答案】A
【解析】如图所示,易知,在△
ABC<
br>中,
AB
=20海里,∠
CAB
=30°,∠
ACB
=
45°, 根据正弦定理得=,解得
BC
=102(海里).
sin 30°sin 45°
2. 要测量对岸
A,B
两点之间
的距离,选取相距
3km
的
C,D
两点,并测得
ACB<
br>
75
,
BCD45
,
B.103海里
C.203海里 D.202海里
BCAB
ADC30
,
ADB45
,求
A,B
之间的距离.
【答案】
5km
【解析】如图所示,在
ACD
中,
ACD=120
,
CAD=ADC=30
,
ACCD3km
.在
BCD
中,
BCD=45
,
BDC=75
,
3sin75
62
CBD=60
∴
BC
.
ABC
中,由余
弦定理,
sin60
2
Word资料
<
br>得
AB
2
3
2
62
62
23cos755
,所以<
br>AB5km
.
22
2
∴A
,
B
之间的距离为
5km
.
3.如图,从气球<
br>A
上测得正前方的河流的两岸
B
,
C
的俯角分别为
7
5
,
30
,此时气球的高是
60cm
,则
河流的宽度
BC
等于
oo
A
30
°
60m
75
°
BC
A.
240(31)m
B.
180(21)m
C.
120(31)m
D.
30(31)m
【答案】C
【解析】∵
tan15tan(6045)23
,
∴
BC60tan6060tan15120(31)
oo
ooo
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