绕口令大全-环保作文800字

.
2020年高考理科数学 《解三角形》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用
例1
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
sin(AC)8sin
(1)求
cosB

(2)若
ac6
，
ABC
面积为2，求
b
．
【答案】（1）
cosB
2
B
．
2
15
（2）
b2
．
17
2
【解析 】由题设及
ABC

得
sinB8sin
2
B，故
sinB4(1cosB)
．
2
上式两边平方，整理得
17cosB32cosB150
，
解得
cosB1
（舍去），
cosB
15

17
.
（2）由
cosB
15814
ac
． 得
sinB
，故
S
ABC
acsinB
171721 7
17
．
2
2222
又
S
ABC
< br>2
，则
ac
由余弦定理及
ac6
得
bac 2accosB(ac)2ac(1cosB)

362
1715
(1)4
．
217
所以
b2
．
【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用
【思维点拨】利用正弦定理列出等式直接求出
例2
△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
,若
2bcosBacosCcc osA
,则
B
.
【答案】
π

3
1π
B
.
23
【解析】
2sinBcos BsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinBcosB
Word资料

【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。
【思维点拨】边角互换时，一般遵循求角时，把边换成角；求边时，把角转换成边。
2
例3在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是 角
A
，
B
，
C
的对边，若
b
＝1，
c
＝3，
C
＝
π，则
S
△
ABC
＝__ ______.
3
3

4
【答案】
bc
131< br>【解析】因为
c
＞
b
，所以
B
＜
C
，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sin
B
＝，所以
B
sin
B
sin
C
sin
B
2π2
sin
3
1113
ππ
2π
π
＝，所以
A
＝π－－＝.所以
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
＝
×3×
＝.
66362224
【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围
【思维点拨】求面积选取公式时注意，一般选取已知角的公式，然后再求取边长。
题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
例1在
ABC
中，角< br>A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，且
A,B,C
成等差数 列
(1)若
b23,c2
，求
ABC
的面积
(2 )若
sinA,sinB,sinC
成等比数列，试判断
ABC
的形状
【答案】(1)
23
(2)等边三角形
【解析】(1)由
A，
B
，
C
成等差数列，有2
B
＝
A
＋
C
(1)
因为
A
，
B
，
C
为△
ABC
的内角，所以
A
＋
B
＋
C
＝π．( 2)
得
B
＝

b
2
＝
a
2＋
c
2
－2
accosB
(3)
3
，
22
所以
(23)a44acos

3
解得
a4
或
a2
(舍去)
所以
s
ABC

11

acsinB42sin
23

223
2
(2)由
a
，
b
，
c
成等比数列 ，有
b
＝
ac
(4)
由余弦定理及(3)，可得
b
＝
a
＋
c
－2
accosB
＝
a
＋c
－
ac

再由(4)，得
a
＋
c
－
ac
＝
ac
，即(
a
－
c
)＝0。因此< br>a
＝
c
从而
A
＝
C
(5)
222
22222

2

.
由(2)(3)(5)，得
A
＝
B
＝
C
＝

3
所以△
ABC
为等边三角形．
【易错点】等差数列，等比数列容易混淆
【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三 个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数
列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见 结论，此类问题就不难解答了.
例2在△ABC中，已知
2abc
，
s inAsinBsinC
，试判断△ABC的形状。
【答案】等边三角形
2【解析】
sinAsinBsinC
abc
，又
2abc，所以
4a
2
(bc)
2
，所以
4bc(bc )
2
，即
2
2
(bc)
2
0
，因而< br>bc
；由
2abc
得
ab
。所以
abc
，△ABC为等边三角形。
【易错点】条件的转化运用
【思维点拨】判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：
（1）一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；
（2）另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理
题型三与三角形中有关的不等式问题
a
2
例1
△
ABC< br>的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
△
ABC
的面积为.
3sinA
（1）求
sinBsinC
;
（2）若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
【答案】（1）
sinBsinC
【解析】
2
；（2）
C
ABC
333

3
1a
2
1a
(1)由题设得acsinB,即csinB.
23sinA23sinA
1sinA

由正弦定理得sinCsinB.
23sinA
2
 sinCsinB.
3
Word资料

1
(2)由题设 及(1)得cosBcosCsinBsinC,
2
12

即cos (BC).BC,A.
233
1a
2

又bcs inA,即bc8.
23sinA
由余弦定理得b
2
c
2bc9,即(bc)
2
3bc9,
bc33.C
A BC
333.
【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系
【思维点拨】在处 理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使
用面积公式建立等 式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形
问题常见的一种考 题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长
度和它所对的 角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，
建立函数 关系式，如
yAsin(

x

)b
，从而求出范围 ，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具
体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
例 2已知
a
,
b
,
c
分别为△
ABC
三个内 角
A
,
B
,
C
的对边,
acosC3asinC bc0
.
(1)求
A
的大小；
(2)若
a
＝7,求△
ABC
的周长的取值范围．
【答案】(1)

(2)(14,21]
3
【解析】(1)由正弦定理得：
acosC3asinCbc0sin AcosC3sinAsinCsinBsinC

sinAcosC3sinAsinCsin(AC)sinC


1

3sinAcosA1sin(A)AA
； 62663
(2)由已知：
b0
,
c0
,
bc a7
,
由余弦定理
49bc2bccos
22

31
(bc)
2
3bc(bc)
2
(bc)
2
(bc)
2

344
2
当且仅当
b
＝
c
＝7时等号成立,∴
(bc)449
,又∵
b
＋
c
＞7,∴7＜
b
＋
c
≤14,

4

.
从而△
ABC
的周长的取值范围是(14,21]．
【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题.
【思维点拨】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合< br>边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.
例3△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
的对边分别为
a
,< br>b
,
c
,已知2
c-a=
2
b
cos
A.

(1)求角
B
的大小;
(2)若
b=
2,求
a+c
的最大值
.

【答案】(1)
B=

（2）4
3

【解析】:(1)
∵
2
c-a=
2
b
cos
A
,
∴
根据正弦定理,得2sin
C-
sin
A=
2sin
B
cos
A.①∵A+B=
π
-C
,
∴
sin
C=
sin(
A+B
)
=
sin
B
cos
A+
cos
B
sin
A
,
代入
①
式,得2sin
B
cos
A=
2sin
B
cos
A+
2cos
B
sin
A-
sin
A
,化简得(2cos
B-
1)sin
A=
0
.

∵A
是三角形的内角,
∴
sin
A>
0,
∴
2cos
B-
1
=
0,解得cos
B=
∵B
∈(0,π),
∴B=
,

.

3
22222
(2)由余弦定理
b=a+c-
2
ac
cos
B
,得12
=a+c-ac.

∴
(
a +c
)
2
-
3
ac=
12,
∴
12≥(< br>a+c
)
2
-
∴a+c
≤4
(
a+c
),当且仅当
a=c=
2
2
时取等号,
【易错点】涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解
.

(1)根据正弦定理与两角和的正弦公式,化简条件等式,可得(2cos
B-
1)sin
A=
0,结合sin
A>
0得到cos
B
,从而解
出
B
;(2)由余弦定理,可得出12
=a+c -ac.
再利用基本不等式求最大值
.

【思维点拨】(1)正弦定理、余弦 定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方
程思想,即根据正弦定理、余 弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;
(2) 正弦定理、余弦定理的另一个作 用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函
数关系,也可以把已知条件化为 三角形边的关系;
22
Word资料

(3) 涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解
.

题型四解三角形的实际应用
例1在某次测量中，在
A
处测得同一平面方向的
B
点的仰角是50°，且到
A
的距离为2，C点的俯角为70°，
且 到
A
的距离为3，则
B
、
C
间的距离为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
【答案】 D
【解析】 因∠
BAC
＝120°，
AB
＝2，
AC
＝3.
∴
BC
＝
AB
＋
AC
－2
AB
·
AC
cos ∠
BAC
＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.
∴
BC
＝19.
【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【思维点拨】正弦定理、 余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理
解决一些简单的三角形的 度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
例2设甲、乙两楼相距< br>20m
，从乙楼底望甲楼顶的仰角为
60
，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为
30
，则甲、
乙两楼的高分别是（ ）.
A.
oo
222
1520
3m,3m
B.
103m,203m

23
C.
10

32m,203m
D.
203m,

40
3m

3
【答案】D
【解析】设甲楼为
DA
，乙楼为
BC
，如图，在
RtA BD,ABD60
o
,BD20m,ADBDtan60
o
20 3m,AB
20
40m
o
cos60
，
QCAB ABC30
o
,ACBC,ACB120
o
，在
AB C
中，设
ACBCx
，由余弦定理得：
AB
2
AC
2
BC
2
2AC?BC·cosACB
，即
1600 x
2
x
2
x
2
，解得
x
分别是< br>203m,
40
3
，则甲、乙两楼的高
3
40
3m< br>，
3
【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【 思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理
解 决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
【巩固训练】

6

.
题型一 正弦定理、余弦定理的直接应用
1.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知a=2， 2sinA=sinC=
10
时，求b及c的长

4
【答案】b=
6
或2
6
；
c4
。
【解析】当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理
ac
，得c=4

sinAsinC
由sinC=
106
，及0＜C＜π得cosC=± < br>44
2222
由余弦定理c=a+b-2abcosC，得b
±
6b-12=0
解得 b=
6
或2
6



b6
所以

或


c4


b26




c4
2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.
（I）证明：
A
=2
B
； a
2
（II）若△ABC的面积
S=
，求角
A
的大小.
4
【答案】（1）略 （2）


2
或


4
．
【解析】（I）由正弦定理得
sinBsinC2sinAcosB,

故
2sinAcosBsinBsin

AB

sinB sinAcosBcosAsinB,

于是
sinBsin

AB

，又
A,B

0,


,故< br>0AB

,
所以
B



AB

或
BAB
因此
A

（舍去）或< br>A2B

所以，
A2B.

a
2
1a< br>2
（II）由
S
得
absinC
，故有
424
1
sinsinCsin2sincos
，因为
sin0< br>，得
sinCcos
．
2
又

，
C

0,


，所以
C


2
．
Word资料

当

C



2
时，

2
；
当
C


时，


24
．
综上，


或


24
．
3.
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分 别为
a
，
b
，
c
，已知
2cosC(acosB+ bcosA)c.

（I）求
C
；
（II）若
c7, △ABC
的面积为
33
2
，求
△ABC
的周长．
【答案】（I）

3
；（II）
57

【解析】 （I）由已知及正弦定理得，
2cosC

sincossincos
sinC
，
2cosCsin



sinC
．故
2sinCcosCsinC
．
可得
cosC 
1
2
，所以
C

3
．
(II)由已知，
1
2
absinC
33
2
.
又
C

3
，所以
ab6
.
由已知及 余弦定理得，
a
2
b
2
2abcosC7
.
故
a
2
b
2
13
，从而

ab< br>
2
25
.
所以
ABC
的周长为
57

题型二 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状
1.在△
ABC
中，内角
A，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，< br>c
，若
c
－
a
cosB＝(2
a
－
b
)cos
A
，则△
ABC
的形状为(
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【 解析】因为
c
－
a
cosB＝(2
a
－
b
)cos
A
，
C
＝π－(
A
＋
B
)，
所以由正弦定理得sin
C
－sin
A
cos B＝2sin
A
cos
A
－sin B·cos
A
，
所以sin
A
cos B＋cos
A
sin B－sin
A
cos B＝2sin
A
cos
A
－sinBcos
A
，

8
)

.
所以cos
A
(sin B－sin
A
)＝0，
所以cos
A
＝0或sin B＝sin
A
，
π所以
A
＝或
B
＝
A
或
B
＝π－
A
(舍去)，
2
所以△
ABC
为等腰或直角三角形．
2.在△
ABC
中,若sin
A=
2cos
B
sin
C
,则△
ABC
的形状是
.

【答案】等腰三角形
c
2
＋
a
2
－
b
2
【解析】由已知等式得
a=
2·
·
c
,所以
a
2
=a
2
+c
2
-b
2
,所以
c
2
=b
2
,即
c=b.
故△
A BC
为等腰三角形
.
2
ac
c
3. △
ABC< br>中，角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，若＜cos
A
，则△
ABC
为( )．
b
A．钝角三角形
C．锐角三角形
【答案】A
sin
C
【解析】依题意，得＜cos
A
，sin
C
＜sin
B
cos
A
，所以sin(
A
＋
B
)＜sin
B
cos
A
，即sin
B
cos
A
＋cos
B
sin
sin
B
B．直角三角形
D．等边三角形
A
－sin
B
cos
A
＜0，所以cos
B
sin
A
＜0.又sin
A
＞0，于是有cos
B
＜0，B
为钝角，△
ABC
是钝角三角形，选
A.
题型三 与三角形有关的不等式问题
2
1.在△
ABC
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知cos
B
＋cos
B
＝1－cos
A
cos
C
.
(1)求证：
a
，
b
，
c
成等比数列；
(2)若
b
＝2，求△
ABC
的面积的最大值．
【答案】（1）略 （2）3.
【解析】(1)证明：在△
ABC
中，cos
B
＝－cos(
A
＋
C
)．由已知，得
(1－s in
B
)－cos(
A
＋
C
)＝1－cos
A
cos
C
，
∴－sin
B
－(cos
A
cos
C
－sin
A
sin
C
)＝－cos
A
cos
C
，
化简，得sin
B
＝sin
A
sin
C
. 由正弦定理，得
b
＝
ac
，
∴
a
，
b
，
c
成等比数列．
(2)由(1)及题设条件，得
ac
＝4.
22
2
2a
2
＋
c
2
－
b
2
a
2＋
c
2
－
ac
2
ac
－
ac
1
则cos
B
＝＝
≥
＝，
2
ac
2< br>ac
2
ac
2
当且仅当
a
＝
c
时， 等号成立．
∵0<
B
<π，∴sin
B
＝1－cos
B
≤
2
1－?f(1
2?)
2
＝
3
.
2
Word资料

113
∴
S
△
ABC
＝
ac
sin
B
≤
×4×
＝3.
222
∴△
ABC
的面积的最大值为3.
2在
ABC< br>中，内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
已知
sin(1).求角
A
的大小；
(2).若
a
2
BC1
sinBsinC
.
24
7
，
ABC
的面积为
3
，求
bc
的值．
2
【答案】(1).
A
2π
(2).
bc3

3
1cos

BC

2
sinBsinC
1
，
4
【解析】(1).由已知得
1cosBcosCsinBsinC1
sinBsinC
，
24
11
整理得
cosBcosCsinBsinC
，即
cos
< br>BC


，
22
π
2π
由于
0 BCπ
，则
BC
，所以
A
．
3
3< br>化简得
(2).因为
S
ABC

根据余弦定理得
2
1133
bcsinAbc
，所以
bc2
．
22 22

7
2
b
2
c
2
2bcc os
2π
2
b
2
c
2
bc
bc

bc
，
3
即
7

b c

2
，所以
bc3

3.在△
ABC中，角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，且满足cos2
C
－cos2
A
＝2sin
(
(1)求角
A
的大小；
(2)若
a
＝3，且
b
≥
a
，求2
b
－
c
的取值范 围．
π
2π
【答案】（1）
A
＝或.（2）[3，23)
33
【解析】(1)由已知得2sin
A
－2sin
C
＝
2(cos
2
C
22

C
)
sin(C)< br>
3
3

3
4
1
2
sin
C
)
，
4
33
化简得sin
A
＝，∴sin
A
＝±，
42
2

10

.
又0<
A
<π，∴sin
A
＝
3
π
2π
， 故
A
＝或.
233
abc
π
(2)由＝＝，得
b
＝2sin
B
，
c
＝2sin
C
，因为
b
≥
a
，所以< br>B
≥
A
，所以
A
＝，
sin
A
s in
B
sin
C
3
故2
b
－
c
＝ 4sin
B
－2sin
C

＝4sin
B
－2si n
(

B
)
＝3sin
B
－3cos
B

＝23sin
(B
2
3

6
)
. 2π
π
因为
b
≥
a
，所以
≤
B
<
，
33
πππ
所以
≤
B
－
<，
662
所以2
b
－
c
的取值范围为[3，23)．
题型四 解三角形的实际应用
1.一艘海轮从
A
处出发，以每小时40海里 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达
B
处，在
C
处有一座 灯塔，海轮在
A
处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在
B
处观察灯塔，其方 向是北偏东65°，
那么
B
，
C
两点间的距离是 ( )．
A．102海里
【答案】A
【解析】如图所示，易知，在△
ABC< br>中，
AB
＝20海里，∠
CAB
＝30°，∠
ACB
＝
45°， 根据正弦定理得＝，解得
BC
＝102(海里)．
sin 30°sin 45°

2. 要测量对岸
A,B
两点之间 的距离，选取相距
3km
的
C,D
两点，并测得

ACB< br>
75
，
BCD45
，
B．103海里 C．203海里 D．202海里
BCAB

ADC30

，
ADB45

，求
A,B
之间的距离.
【答案】
5km

【解析】如图所示，在
ACD
中，
ACD=120
，
CAD=ADC=30
，


ACCD3km
.在
BCD
中，
BCD=45

，
BDC=75

，
3sin75

62

CBD=60
∴
BC
.
ABC
中，由余 弦定理，
sin60

2

Word资料

< br>得
AB
2

3

2

62
62



23cos755
，所以< br>AB5km
.


22

2
∴A
，
B
之间的距离为
5km
.
3.如图，从气球< br>A
上测得正前方的河流的两岸
B
，
C
的俯角分别为
7 5
，
30
，此时气球的高是
60cm
，则
河流的宽度
BC
等于
oo
A
30
°
60m
75
°
BC

A．
240(31)m
B．
180(21)m
C．
120(31)m
D．
30(31)m

【答案】C
【解析】∵
tan15tan(6045)23
，
∴
BC60tan6060tan15120(31)





oo
ooo


12