高考三角函数大题专项练习集(一)
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..
2019 年高考三角函数大题专项练习集（一）
1.
在平面四边形 ABCD 中，∠ ADC =90 °，∠ A=45
°， AB=2 ， BD=5．
（1）
求 cos∠ADB ；
（2）
若 DC =
2 2
，求 BC．
2.
在△ ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为 a，b，
c，已知 c=2 且 ccosA+bcosC=b.
（1）
判断 △ ABC
的形状；
（2）
若 C= ，求 △ABC 的面积 .
6
3.
在△ ABC 中，角
A, B,C
的对边分别为
a, b, c
，且
2a b
cosC c cosB
.
（1）
求角
C
的大小；
（2）
若
c
2
， △ABC 的面积为
3
，求该三角形的周长 .
4.
ABC
的内角
A, B,C
的对边分别为
a,b, c
.已知
a b sin A csin C bsin B
．
（1）
求
C
；
（2）
若
ABC
的周长为
6
，求
ABC
的面积的最大值．
a b
5.
ABC
的内角
A, B, C
所对的边分别为
a, b, c
,已解
（1）
求 角
A
；
sin( A B)
c b sin A sin B
（2）
若
a
3
，
c b
1
，求
b
和
c
的值
6.
已知函数
f x sin
x
cos
2 2
x
3 cos
2
x
．
2
（1）
求
f x
的最小正周期；
（2）
求
f
x
在区间
,0
上的最大值和最小值．
7.
在△ ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且
3a cos C 2b 3c cos A
.
（1）
求角
A 的大小；
（2）
若 a=2，求 △ ABC 面积的最大值 .
;..
..
8.
在锐角 △ABC 中，角
A, B, C
的对边分别为
a,b, c
，
BC
边上的中线
AD m
，且满足
a
2
2bc 4m
.
2
（1）
求
BAC
的大小；
2
，求
ABC
的周长的取值范围 .
（2）
若
a
x
x
sin
), b
(1 cosx,2 cos )
.
9.
已知a
(1 cosx,2
2
2
（1）
若
f ( x) 2 sin x
1
4
a b
,求
f ( x)
的表达式；
g(
x)
的解析式；
的取值范围 .
2
（2）
若函数
f ( x)
和函数
g ( x)
的图象关于原点对称，求函数
g( x) f ( x) 1
在
（3）
若
h( x)
,
上是增函数，求实数
2 2
10.
已知
a
( 3 sin x, m cos x)
，
b (cos x, m
cos x)
, 且
f ( x) a b
f (x)
的解析式
,
时,
f ( x)
的最小值是－ 4 ,
求此时函数
f ( x)
的最大值 , 并求出相应的
（1）
求函数
（2）
当
x
6 3
x
的值 .
11.
△ABC 的内角为 A ， B ，C
的对边分别为 a，b， c，已知
a
cos C sin B
b c
．
（1）
求
sin
sin B
cos C
A B sin Acos A cos A B
的最大值；
（2）
若
b
2
，当 △ABC 的面积最大时， △
ABC 的周长；
12.
如图 ,某大型景区有两条直线型观光路线
AE
，
AF
,
EAF 120
,点
D
位于
EAF
的
平分线上，且与顶点
A
相距 1 公里 .现准备过点
D
安装一直线型隔离网
BC
(
B, C
分别在
AE
和
AF
上)，围出三角形区域
ABC
，且
AB
和
AC
都不超过 5 公里 .设
AB x
，
AC
y
(单位：公里 ).
（1）
求
x, y
的关系式；
（2）
景区需要对两个三角形区域
ABD
，
ACD
进行绿化 .经
ACD
区域的两 测算，
ABD
区城每平方公里的绿化费用是
倍，试确定
x, y
的值
,使得所需的总费用最少 .
;..
13.
已知 △ABC 的内角 A， B，C 所对的边分别为 a， b， c， sinA=2sin
C， 2b=3c.
（1） cosC；
（2） 若∠ B 的平分线交 AC
于点 D，且 △ABC 的面积为
3 15
，求 BD 的长 .
4
14.
已知函数
f ( x) sin
2
x 2sin x cos x 3cos
2
x
，
x R
.求:
（1）
函数
f (x)
的最小值和图像对称中心的坐标；
（2）
函数
f (x)
的单调增区间．
15.
已知函数
f
( x) 2cos x(sin x
cos x) 1， x R
．
（1）
求函数
f (x)
的单调递增区间；
（2）
将函数
y f (x)
的图象向左平移
π
个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来
4
的 2 倍，纵坐标不变，得到函数
y g( x)
的图象，求
g(x)
的最大值及取得最大值时的
的集合．
16.
在△ ABC 中， A， B， C 所对的边分别为 a，b， c，且
2 a sin A 2b c sin B 2c b sin C
.
（1）
求角 A 的大小；
（2）
若
a
10
，
cos B
2 5
5
， D 为 AC 的中点，求 BD 的长．
3
17.
△ ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知
b cos
A a c
．
3
（1）
求
cosB
；
（2）
如图， D 为△ABC 外一点，若在平面四边形
ABCD 中，
D 2 B
，且
AD
1
，
CD 3
，
BC 6
，求 AB 的长．
;..
..
x
..
【试卷答案】
BD AB
1.解：（ 1）在
△ABD
中，由正弦定理得
.
sin A
sin ADB
2
由题设知，
5
，所以
2
sin 45
sin ADB
sin ADB
5
.
由题设知，
ADB
90
，所以
cos ADB
1
2 23
25 5
.
（2）由题设及（ 1）知，
cos BDC sin
ADB
2
.
5
在
△BCD
中，由余弦定理得
BC
2
BD
2
DC
2
2 BD DC cos BDC
25 8 2 5
2 2
2
5
25
.
所以
BC 5
.
2.（Ⅰ）因为
ccos A b cosC b
，由正弦定理，得
sin C cos A sin B 1 cosC
，
即
sin B sin C cos A sin BcosC
＝
sin A C sin AcosC cos Asin C
，
所以
sin BcosC sin AcosC
，故
cosC 0
或
sin A sin B
． 5分
当
cosC 0
时，
C
，故
2
△ABC
为直角三角形；
当
sin A
sin B
时，
A B
，故
△ABC
为等腰三角形． 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
c 2
，
A B
，则
a b
， 9分
因为
C
，所以由余弦定理，得
2 2
2a
2
cos
，
6
4 a a
6
解得
a
2
8 4 3
， 12 分
所以
△ABC
的面积
S
1
a
2
sin 2 3
． 14 分
2 6
;..
4分
..
3.（1）在△ ABC中，由正弦定理知
a b c
sin A
sin B sin C
2R
又因为
2a b cosC c
cosB
所以
2sinAcosC sinBcosC cosBsinC
，即
2sinAcosC sinA
4 分
∵
0
A
, ∴
sin A 0
∴
cosC
1
6 分
2
∵
0 C
∴
C
3
8 分
1
absinC
（2）∵
S
ABC
2
3
∴
ab 4
10 分
又
c
2
a
2
b
2
2 abcosC a b
2
3ab
∴
2
a b 16
∴
a b 4
∴周长为 6. 14 分
4.
【命题意图】本
小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式等
基础知识；考查运算求解能力等；
考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽
象，数学运算等．
【试题简析】解：（Ⅰ）由正弦定理结合已知条件可得
a a b c
2
b
2
， ...................
所以
a
2
b
2
c
2
ab
， ..
..................................................
............
a
2 2
所以
cosC
b
2
c
ab
1
2ab
2ab
2
， ..............................
.....................
又
0 C
π
，所以
C
π
．
3
..................
.........................................
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
a
2
b
2
c
2
ab
2
ab a b
2
，所以
c
2
a
2
b
3ab
，
..............
2
又
a b c
6
，所以
c 6
a b
，
6 a b
a
b
2
3ab
，
所以
a b
ab 12
4
， ............................
.....................................
又
a b
，
2
ab
所以
a
b
ab 12
2
4
ab
， .....
.................................................
;..
2 分
3 分
5 分
6 分
7
分
8 分
9 分
ab 2 ab 6 0
，
所以
0
ab 4
或
ab 36
（不合，舍去）， .
.........................................
所以
S
1
ABC
ab sin C
3
.............................................
2
ab 3
，
4
当且仅当
a b 2
时等号成立，
所以
ABC
的面积的最大值为
3
．
.................................................
【变式题源】（ 2016 全国卷Ⅰ·理 17）
ABC
的内角
A,
B,C
的对边分别为
a, b, c
，已知
2 cos C(
acos B b cos A) c
．
（Ⅰ）求
C
；（Ⅱ）若
c 7
，
ABC
的面积为
3
3
，求
ABC
的周长．
2
5.
【命题意图】本小题主要考查正弦定理 , 余弦定理等式等基础知识；考查运算求解能力
等；
考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考査数学抽象，数学运算等 .
【试题简析】
（Ⅰ）∵
A B C
，∴
sin( A B) sin C
，
∴
a b
sin C
c b sin A
sin B
由正弦定理有：
a b
sin C c
，∴
a b c
，
c b sin A sin B a b
c b a b
因此有：
a
2
b
2
c
2
bc
，
b
2
2
由余弦定理得
cos A
ca
2
1
2bc 2
，∵
C
(0, )
∴
C
3
，
a
2
b
2
c
2
bc,
c
2
bc
，
（Ⅱ）解法一：由（ 1）可得
a 3,
得
3 b
2
1 b
2
c
2
c b 1,
2bc
，
解得： :1
b 1
.
c 2
解法二：由（Ⅰ）得
a b c
c b a b
, 又因为
a
3
，
c b 1
；
所以
a
2
b
2
c
，则有
3 b
2
c
，
2
由
3 b
c,
, 得：
c b 1,
b
2
b 2 0
，解得
b 1
，
c 2
.
;..
..
10 分
11 分
12 分
..
x
2
xx
6.
解：（Ⅰ） 因为
f x
sin
cos 3 cos
2 2 2
sin
x
2
cos
x
2
3 cos
2
x
1
sin x
3
cos x
3
2
2 2 2
sin
x+
3
+
3
2
． 4 分
所以
f x
的最小正周期
T 2 .
6分
（Ⅱ） 因为
x
,0
，所以
x+
2
,
.
3 3 3
所以当
x
，即
x
0
时，函数
3 3
f ( x)
取得最大值
sin +
3
3.
3 2
当
x
x
5
时，函数
3
3 2
，即
6
f ( x)
取得最小值
1+
2
.
3
所以
f x
在区间
,0
上的最大值和最小值分别为
3
和
1+
2
.
分
7.（1）由正弦定理可得：
3 sin A
cos C 2sin B cos
A 3 sin C cos A
.
从而可得：
3sin A C
2sin B cosA
，即
3 sin B
2sin B cos
A
又
B
为三角形内角，所以
sin
B
0
，于是
cos A
3
，
2
又
A
为三角形内角，所以
A
6
.
2 2 2
2 2
3
（2）由余弦定理：
a b c
2bc cos A
得：
4
b c
2bc
2
2bc
3bc
，
1
所以如
bc
4 2 3
，所以
S
ABC
2
bc sin A
2 3
，
ABC
面积的最大值为
2 3.
.
;..
13
..
2 2
1
2
8.（1）在
ABD
中，由余弦定理得：
c m
4
a macosADB
， ①
在
ACD
中，由余弦定理得：
b
2
m
2
1
4
a
2
macosADC
， ②
因为
ADB ADC
，所以
cos ADB cos ADC 0
，
①+②得：
b
2
c
2
2 m
2
1
a
2
，
2
即
m
2
1
2
1
2
1
2
2
4
a
2
， 代入已知条件
2
b
a
2bc
4m
，
2
c
得
a
2
2bc 2b
2
2c
2
a
2
，即
b
2
c
2
a
2
bc
，
cosBAC
b
2
c
2
a
2
1
，
2bc 2
又
0 A
，所以
BAC
3
.
（2）在
ABC
中由正弦定理得
a b c
，又
a 2
，
sin
sinB sinC
3
所以
b
4 3
sinB
，
c
4 3
sinC
4 3
sin
2
B
，
3
3 3 3
∴
a b c
2
4 3 4 3
3
sinB
3
sinC
4sin B
，
6
2
∵
ABC
为锐角三角形，
BAC
3
0 B
∴
2
B ,
0 C
6 2
2
∴
B ,
2
3
,1
．
6 3 3
，∴
sin B
6 2
∴
ABC
周长的取值范围为
2 2 3,6
．
9.（1）
f ( x)
2 sin x
1
4 cos
2
x
4(sin
x
x
2
4
2
cos
2
)
（ 1 分）
2 sin x cos
2
x 1 sin x sin
2
x 2 sin x
（3 分）
;..
4 分
6 分
8 分
10 分
12 分
分 16
..
（2）
设函数
y f (x)
的图象上任一点
M x
0
, y
0
关于原点的对称点为
N x, y
，
y
，（ 4 分）
f ( x)
的图象上
7 分）
sin x
2sin x
（
2
则
x
0
x
,
y
0
点
M
在函数
y
y sin ( x)
2 sin( x),
即
g( x)
2
（3）
h
(
x
)
(1
(1
) sin
2
x
2(1
)
t
2
2(1
) sin
x
1,( 1
t
1)
则有
h
(
t
)
)
t
1,( 1
t
1)
（ 8 分）
9 分）
1
（ ①当
1
时，
h(t ) 4t 1
在
1,1
上是增函数，
1
时，
h(t )
的对称轴为
t
1
时，
1
1
1
1
.
②当
（ⅰ）当
1
，解得
1
，解得
1
1
；（ 10 分）
11 分）
0
. （
（ⅱ）当
1
时，
1
1
综上可知，
0
. （ 12 分）
10.(1)
f ( x) a b ( 3
sin x, m cos x) (cos x, m cos x)
3 sin x cos x
cos x m
2 2
即
f (x)
(2)
f ( x)
3 sin 2 x 1 cos 2 x
2
sin(2 x
1
2
) m
6 2
2
m
2
由
x
,
,
2 x
6
4
,
6 3
1 1
2 2
5
,
,
6 6
2
sin(2
x )
6
1
,1
,
2
m
2
m
1
2
f (x)
max
1
1
2
2
, 此时
2 x
6 2
,
x
6
.
11.（1）由
b c
得：
a a
cos C sin B
b cos C
csin B
sin B cos C
，
cosC sin B sin B
cos C
a bcosC csin B
，即
sin A sin
BcosC sin C sin B
，
cosB
sin B
，
B
4
；
;..
..
由
sin A B
令
t
sin A
cos A
，原式
sin AcosA cos A B
1
2
t
2
2t
5
2
2
2
ac, b
4
2
2 sin A cos A
1
2
，
sin Acos A
，
当且仅当
A
时，上式的最大值为
．
4
1
ac sin B
（2）
S
2
2
a
2
c
2
a
2
2ac cos B
，即
c
2
2 ac 2 ac, ac 2 2
，当且仅当
a c 2 2
等号成立；
S
MAX
2 1
2
，
周长
L
a b c 2 2 2 2
．
12. 【命题意图】本题考查本题考查解三角形、三角形面积公式、基本不等式等基础知识；
考查应用意识、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查数学抽象，
数据处理等 .
【试题简析】
( Ⅰ ) 解法一：由题意得
S
ABC
S
ADC
S
ABD
，
故
AC AB sin
BAC
1
1
1
2 2
2
AC AD sin
DAC
1
x sin 60
，
2
1
2
AD AB sin
BAD
，
即
xysin120
1
2
y sin 60
所以
xy
y x
( 其 中
0
x 5, 0 y 5
).
ACD
中，由余弦定理得：
CD
2
2
解法二：在
y
2
1
2
2 y cos 60 2
2
y 1
，
则
CD
yy 1
，同理可得
BD
y
x
2
x 1
，
y
2
在
ACD
中，由正弦定理得：
sin ADC
x
sin ADB
y 1
，
sin 60
x
2
在
ABD
中，由正弦定理得：
x 1
，
2
sin 60
2
因为
sin
ADC sin ADB
，两式相除可得
y x
0
y 5
).
y x
( 其 中
0
x 5
，
x 1 x yy 1
，
化简得
xy
( Ⅱ) 设
ACD
区域每平方公里的绿化费用为
t
(
t
为常数 ) ，两区域总费用为
P
，
;..
..
1 1
则有
P x sin
60 2t y sin 60 t
2 2
记
u
3
t(2 x y)
，
4
1 1
x y
1
，
( Ⅰ ) 可知
xy
2x y
，由
y
x
，即
1 1
)
则
u 2x y
(2 x
y)(
x y
y
当且仅当
y 2x
3 2 2
3
，
y 2x
3
2
x y x y
，
解得
2 x
y
，即
y
x
2x
y
x 1
2
,
x
xy y x
，
y
，
2
此时等号成立 .
y 1 2,
答：当
x 1
2
2
1 2
( 单位：公里 ) 时, 所需的总费用最少 .
13. 解:（ 1）因为
sin A 2sin C
，所以
a 2c
.
于是，
cos C
a
2
b
2
c
2
2ab
3
2c c c
2
2
3
2 2c c
2
2
2
7
8
.
（2）由
cos C
7
8
可得 sin C
1
15
.
8
absin C
2
1 3
2c c
2 2
15
8
3 15
4
，
设
ABC
的面积为
S
，∴
S
∴
c
2
4, c
2
.则 a 4, b 3 .
∵
BD
为
B
的平分线，∴
a
c
CD
AD
2
，∴
CD
2 AD
.
又
CD AD
3
.∴ CD 2, AD 1 .
在
BCD
中,由余弦定理可得
BD
2
4
2
2
2
2 4 2
7
8
6
，∴
BD 6
.
14.
f ( x)
1
cos 2 x
sin 2 x
3(1 cos 2 x)
1 sin 2 x
cos 2 x 2
2 2
3
当
2 x
2 sin(2
x )
4
6 分
4
2k
, 即
x k
2 8
(k Z )
时,
f ( x)
取得最小值
2 2
.
;..
..
函数
f
(x)
图像的对称中心坐标为
k
2
, 2
k Z
.
8
2
x 2k
3
8
, k
8 分
（2）
f
(
x
)
2
x k
2
sin(2
x
)
由题意得 :
2 k
4
2 4 2
(k Z )
]( k Z )
8
即:
k
3
8
(k Z)
因此函数
f ( x)
的单调增区间为
[ k
8
12 分
15.(1) 略；（ 2）
2
，｛ x∣ x= π4+2k π k ∈
z｝
16. 解(1) 因为
2
asin A＝ (
2
b－ c)sin B＋ (
2
c－ b) ·sin
C，
由正弦定理得
2
a
2
＝ (
2
b－
c)b＋ (
2
c－ b)c，
整理得
2
a
2
＝
2
b
2
＋
2
c
2
－ 2bc，
b
由余弦定理得 cos A＝
2
c
2
2
a
＝
2bc
2bc
＝
2
2
，
2bc
因为
A∈ (0，π，)所以 A＝
.
4
(2) 由 cos
B＝
2 5
5
2
，得 sin B＝
1 cos
B
＝
1
4
5
＝
5
5
，
所以 cos C＝ cos[ π－
(A＋ B)] ＝－ cos(A＋ B)＝－ (
2 2 5
2 5
2
2
5
)＝
5
10
，
10
由正弦定理得 b＝
asin B
＝
10
2
2
5
5
＝ 2，
sin A
所以 CD ＝
AC＝ 1，
1
2
在△ BCD 中，由余弦定理得 BD＝ (
10
)＋ 1－
2×1×
10
×(
222
10
10
)＝ 13，
所以 BD＝
13
.
17. 解：（ 1）在
ABC
中，由正弦定理得
sin B cos A
3
sin A
sin C
，
3
又
C ( A B)
，所以
sin
B cos A
3
sin A
sin(
A B)
，
3
;..
..
故
sin B cos A
3
sin A
sin A cos B cos Asin B
，
3
3
sin A
，
3
4 分
所以
sin
Acos B
又
A (0, )
，所以
sin
A
0
，故
cos B
2
3
3
1
3
6 分
（2）
D 2 B
，
cos D
2cos B 1
ACD
中，
AD 1
，
CD 3
AC
2
7 分
又在
∴由余弦定理可得
AD
2
CD
2
1
2AD CD cosD 1 9 2 3 (
) 12
，
3
9 分 ∴
AC 2 3
，
在
ABC
中，
BC 6
，
AC
2
2 3
，
cosB
BC
3
2
3
3
，
∴由余弦定理可得
AC
2
AB
2
2 AB
BCcosB
，
即
12
AB
6 2 AB
6
3
，化简得
AB
2
2 2 AB
6
0
，解得
AB 3 2
．
12 分 故
AB
的长为
3 2
．
;..