草房子读书笔记-工程催款函

解三角形
【高考会这样考】
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．
3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．
4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．
基础梳理
1．正弦定理：＝＝＝2
R
，其中
R
是三角形外接圆的半径．由正弦 定理可以变
sin
A
sin
B
sin
C
形为：
(1)
a
∶
b
∶
c
＝sin
A
∶sin
B
∶sin
C
；
(2)
a
＝2
R
sin_
A
，
b
＝2
R
sin_
B
，
c
＝2
R
sin_
C
；
(3)sin
A
＝，sin
B
＝，sin
C
＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2
R
2
R
2
R
2．余弦定理：
a
＝
b
＋
c
－2< br>bc
cos_
A
，
b
＝
a
＋
c－2
ac
cos_
B
，
c
＝
a
＋b
－2
ab
cos_
C
．余弦定
222222222< br>abc
abc
b
2
＋
c
2
－
a2
a
2
＋
c
2
－
b
2
a2
＋
b
2
－
c
2
理可以变形为：cos
A
＝，cos
B
＝，cos
C
＝.
2
bc
2
ac
2
ab
111
abc
1
3． 面积公式：
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝
bc
sin
A
＝
ac
sin B
＝＝(
a
＋
b
＋
c
)·
r
(
R
是三角形外接
2224
R
2
圆半径，
r
是三角形内切圆的半径)，并可由此计算
R
，
r
.
4．已知两边 和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知
a
，
b
，
A
，则

图形

A
为锐角
A
为钝角或直角

关系
式
解的
个数

a
＝
b
sin
A




a
＜
b
sin
A

b
sin
A
＜
a
＜
b

a
≥
b

a
＞
b

a
≤
b

无解 一解 两解 一解 一解 无解

5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

6．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的 角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图
(1))．

(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如
B
点的方位 角为
α
(如图(2))．
(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．

考向探究


题型一 正弦余弦定理运用
【例题1】在△ABC中，已知a=
3
,b=
2
,B=45°,求A、C和c.








【例题2】 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且
cosBb
=-.
cosC2ac
（1）求角B的大小；
（2）若b=
13
，a+c=4，求△ABC的面积.









222
【例题3】 （14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c-a+bc=0.
（1）求角A的大小；

（2）若a=
3
，求bc的最大值；
（3）求
asin(30C)
的值.
bc




【变式】
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 c=
2
，b=
6
，B=120°,则a= .


2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;
(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.


3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .


4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S，且2S=（a+b）
22
-c，求tanC的值.



5. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（
3
b -c）cosA=acosC，则
cosA= .

222
6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tan B=
3
ac，则角B的值
为 .

7. 在△A BC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=
（1）若△ABC的面积等于
3
，求a、b的值；
（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.










题型二 判断三角形形状

22
【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b ）sin（A-B）
22
=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.

.
3

【变式】 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且
2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.




题型三 测量距离问题
【例题】如图所示，

为 了测量河对岸
A
，
B
两点间的距离，在这岸定一基线
CD
， 现已测出
CD
＝
a
和∠
ACD
＝60°，
∠
BCD
＝30°，∠
BDC
＝105°，∠
ADC
＝60°，试求
AB
的长．




【变式】 如图，
A
，
B
，
C
，
D
都在同一个与水平面垂直的平面 内，
B
、
D
为两岛上的两座灯塔
的塔顶，测量船于水面
A< br>处测得
B
点和
D
点的仰角分别为75°，30°，于水面
C< br>处测得
B
点
和
D
点的仰角均为60°，
AC
＝0.1 km.试探究图中
B
、
D
间距离与另外哪两点间距离相等，然后求
B
，
D
的距离．

题型四 测量高度问题
【例题】如图，山脚下有一小塔
AB
，在塔底
B
测得山顶
C
的仰角为60°，在山顶
C
测得塔顶
A
的俯角为45°，已知塔高
AB
＝20 m，求山高
CD
.




【变式】如图所示 ，测量河对岸的塔高
AB
时，可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个测点C
与
D
，现测得∠
BCD
＝
α
，∠
B DC
＝
β
，
CD
＝
s
，并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为
θ
，求塔高
AB
.





题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用
【例题】如图所示，在梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，AB
＝5，
AC
＝9，∠
BCA
＝30°，∠
ADB< br>＝45°，
求
BD
的长．




【变式】 如图，在△
ABC
中，已知∠
B
＝45°，
D
是
BC
边上的一点，
AD
＝10，
AC
＝14，< br>DC
＝
6，求
AB
的长．

巩固训练
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是 三角形.
2.在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7，则
sinB
的值为 .
sinC
3.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且面积S
△ABC
=
1
（b
2
+c
2
-a
2
），则A= .
4
4.在△ABC中，BC=2，B=

，若△ABC的面积为
3
3
2
，则tanC为 .
5.在△ABC中，a2
-c
2
+b
2
=ab,则C= .
6.△ABC中，若a
4
+b
4
+c
4
=2c
2< br>(a
2
+b
2
),则C= .
7.在△A BC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a=1,b=
7
,c=
3
,则
B= .
8.某人向正东方向走了x千米，他右转150°，然后朝 新方向走了3千米，结果他
离出发点恰好
3
千米，那么x的值是 .
9.下列判断中不正确的结论的序号是 .
①△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解
②△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解
③△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解
④△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解

10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a
2
=b(b+c).
（1）求证：A=2B；
（2）若a=
3
b,判断△ABC的形状.



11. 在△ABC中，cosB=-
（1）求sinA的值；
5
13
，cosC=
4
.
5

（2 ）△ABC的面积S
△ABC
=
33
，求BC的长.
2








12.已知a、b、c是 △ABC的三边长，关于x的方程ax
2
-2
c
2
b
2< br> x-b=0 (a＞c＞b)
的两根之差的平方等于4，△ABC的面积S=10
3
，c=7.
（1）求角C；
（2）求a，b的值.






13. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5 ，c=
7
，且
4sin
2
AB
2
-cos2C=
7
.
2
(1)求角C的大小；
（2）求△ABC的面积.





14．(人教A版教材习题改编)如图，设A
，
B
两点在河的两岸，一测量者在
A
所在的同侧河岸
边选定一点
C
，测出
AC
的距离为50 m，∠
ACB
＝4 5°，∠
CAB
＝105°后，就可以计算出
A
，
B
两点的 距离为( )．

252
A．502 m B．503 m C．252 m D. m
2

15．从
A
处望
B
处的仰角为
α
，从
B
处望
A
处的俯角为
β
，则
α
，
β
的关系 为( )．
A．
α
＞
β
B．
α
＝
β
C．
α
＋
β
＝90° D．
α
＋
β
＝180°
16．若点
A
在点
C
的北偏东30°，点
B
在点
C
的南偏东60°，且
AC
＝
BC
，则点
A
在点
B
的
( )．
A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°
17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线 上，继续航
行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速 度
是每小时( )．
A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里
18．海上有
A
，
B
，
C
三个小 岛，测得
A
，
B
两岛相距10海里，∠
BAC
＝60°，∠
ABC
＝75°，则
B
，
C
间的距离是________海 里．
19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲
船位于
A
1
处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的
B
1
处，此时两船相距20海里，当甲船航
行20分钟到达
A
2
处时， 乙船航行到甲船的北偏西120°方向的
B
2
处，此时两船相距102海
里． 问：乙船每小时航行多少海里？

参考答案
例题答案
题型一 正弦、余弦定理
【例题1】
解 ∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.
由正弦定理得sinA=
asinB
3sin45
3
= =,
b
2
2
则A为60°或120°.
①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,
c=
bsinC
=
sinB
62
2sin752sin(4530)
==. 2
sin45sin45
②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,
c=
2sin15
bsinC
==
sin45
sinB
62
2sin(4530)
=.
2
sin45
62
或
2
故在△ABC中，A=60° ,C=75°,c=
A=120°,C=15°,c=
62
.
2
a
2
c
2
b
2
【例题2】
解（1）由余弦定理知：cosB=，
2ac
a
2
b
2
c
2
.
2ab
cosBb
将上式代入=-得:
cosC2ac
cosC =
b
2ab
a
2
c
2
b
2
·
222
=-
2ac
2ac
abc
整理得:a+c-b=-ac
1
a
2
c
2
b
2
ac
∴cosB== =-
2ac
2
2ac
2
∵B为三角形的内角，∴B=

.
3
2
（2）将b=
13
,a+c=4,B=

代入
3
222
b=a+c-2accosB,得b=(a+c)-2ac-2accosB
∴b=16-2ac

1

,∴ac=3.

2
22222

1

2

∴S
△ABC< br>=acsinB=
1
2
33
.
4
b
2c
2
a
2
bc
1
【例题3】
解（1）∵ cosA===-,
2bc
2bc
2
又∵A∈（0°，180°），
∴A=120°.
22
（2）由a=
3
,得b+c=3-bc,
22
又∵b+c≥2bc（当且仅当c=b时取等号），
∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.

即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.
abc

2R,
sinAsinBsinC
asin(30 C)2RsinAsin(30C)

∴
bc2RsinB2R sinC
（3）由正弦定理得：
313
(cosCsinC)
sinAsi n(30C)
222
= =
sinBsinC
sin(60C )sinC
33
cosCsinC)
1
4
=

4
2
33
cosCsinC
22
【变式】
1.
2

2. 解（1）由正弦定理得
ab

.
sinAsinB
∵B=60°,C=75°,∴A=45°,
asinB8sin60

=4
6
.
sinAsin 45
csinB8sin30

(2)由正弦定理得sinC==1.
b4
∴b=
又∵30°＜C＜150°,∴C=90°.
∴A=180°- (B+C)=60°,a=
c
2
b
2
=4
3
.
3. 10
3

222
4. 解 依题意得absinC=a+b-c+2ab,
222
由余弦定理知,a+b-c=2abcosC.
所以,absinC=2ab(1+cosC),
即sinC=2+2cosC,
CC
2
C
cos =4cos
222
C
化简得：tan=2.
2
C
2tan
2
=-
4
. 从而tanC=
C
3
1tan
2
2
所以2sin
5.

2

3
6. 或
33
3
22
7. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a+b-ab=4.
又因为△ABC的面积等于
3
，
所以absinC=
3
，所以ab=4.
联立方程组



a2

a
2
b
2
ab4, 解得

.
b2

ab4,


1
2
（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,
即sinBcosA=2sinAcosA,
当cosA=0时，A=

4323
，B=，a=，b=.
26
33

当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,

23
a
，

22


abab4,
3
联立方程组

解得



b2a,
43


b.

3
< br>所以△ABC的面积S=absinC=
1
2
23
.
3
题型二 判断三角形形状

【例题】
解方法一 已知等式可化为
a［sin（A-B）-sin（A+B）］=b［-sin（A+B）-sin(A-B)］
22
∴2acosAsinB=2bcosBsinA
由正弦定理可知上式可化为：
22
sinAcosAsinB=sinBcosBsinA
∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0
∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2


得2A=2B或2A=

-2B,
即A=B或A=

-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.
2
22
22
方法二 同方法一可得2acosAsinB=2bsinAcosB
由正、余弦定理,可得
b2
c
2
a
2
a
2
c
2
b
2
2
ab= ba
2bc
2ac
2
∴a(b+c-a)=b(a+c-b)
22222
即(a-b)(a+b-c)=0
222
∴a=b或a+b=c
∴△ABC为等腰或直角三角形.
【变式】
解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,
2
∴2(2cosB-1)-8cosB+5=0.
2
∴4cosB-8cosB+3=0,
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=或cosB=（舍去）.∴cosB=.
∵0＜B＜

,∴B=

.
3
a
2c
2
(
ac
2
)
1
2
=， < br>2
2ac
1
2
3
2
1
2
22222 222
∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b.
∴cosB=
acb
=
2ac
22
222
化简得a+c-2ac=0,解得a=c.
又∵B=

，∴△ABC是等边三角形.
3
方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0，
2
∴2（2cosB-1）-8cosB+5=0.
2
∴4cosB-8cosB+3=0，
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=或cosB=（舍去）.
1
2
3
2

∴cosB=,∵0＜B＜
,∴B=
1
2

,
3
∵a,b,c成等差数列，∴a+c=2b.
由正弦定理得sinA+sinC= 2sinB=2sin
∴sinA+sin


=
3
. < br>3

2


A

=
3
，

3

2

2

cosA
-co s
sinA
=
3
. ∴sinA+sin
33
3
3


sinA+cosA=
3
,∴sin

A

=1.
2
2
6


∴A+=,∴A=,
623

∴C=,∴△ABC为等边三角形.
3
化简得
题型三 测量距离问题
【例题】解 在△
ACD
中，已知
CD
＝
a
，∠
ACD
＝60°，∠
AD C
＝60°，所以
AC
＝
a
.∵∠
BCD
＝
30°，∠
BDC
＝105°∴∠
CBD
＝45°
在△
BCD
中，由正弦定理可得
BC
＝
a
sin 105°
sin 45°
＝
3＋1
a
.
2
在△< br>ABC
中，已经求得
AC
和
BC
，又因为∠
ACB< br>＝30°，所以利用余弦定理可以求得
A
，
B
两点
之间的距离 为
AB
＝
AC
＋
BC
－2
AC
·
BC
·cos 30°＝
22
2
a
.
2
【变式】

解 在△
ACD
中，∠
DAC
＝30°，∠
ADC
＝60°－∠
DAC
＝30°，所以
CD＝
AC
＝0.1 km.又∠
BCD
＝180°－60°－60°＝60 °，故
CB
是△
CAD
底边
AD
的中垂线，所以
B D
＝
BA
.
又∵∠
ABC
＝15°
在△
ABC
中，＝，
sin∠
BCA
sin∠
A BC
所以
AB
＝
ABAC
AC
sin 60°32＋6
sin 15°
＝
20
(km)，
32＋6
同理，
BD
＝(km)．
20
32＋6
故
B
、
D
的距离为 km.
20
题型四 测量高度问题
【例题】解 如图，设
CD
＝
x
m，
则
AE
＝
x
－20 m，

tan 60°＝，
∴
BD
＝
CD
BD
x
3
＝＝
x
(m)．
tan 60°
3
3
3
x
，
3
CD
在△
AEC
中，
x
－20＝
解得
x
＝10(3＋3) m．故山高
CD
为10(3＋3) m.

【变式】解 在△
BCD
中，∠
CBD
＝π－
α
－
β
，
由正弦定理得＝，
sin∠
BDC
sin∠
CBD
所以< br>BC
＝
BCCD
CD
sin∠
BDCs
·sin
β
＝
sin∠
CBD
sin
α
＋
β
s
tan
θ
sin
β
在Rt△
ABC
中，
AB
＝
BC
tan∠
ACB
＝.
sin
α
＋
β
题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用
【例题】解 在△
ABC
中，
AB
＝5，
AC
＝9 ，∠
BCA
＝30°.
由正弦定理，得＝，
sin∠
ACBsin∠
ABC
sin∠
ABC
＝
ABAC
AC
·sin∠
BCA
9sin 30°9
＝＝.
AB
510
∵
AD
∥
BC
，∴∠
BAD
＝180°－∠
AB C
，
于是sin∠
BAD
＝sin∠
ABC
＝
9
. < br>10
9
同理，在△
ABD
中，
AB
＝5，sin∠< br>BAD
＝，
10
∠
ADB
＝45°，由正弦定理：＝， < br>sin∠
BDA
sin∠
BAD
ABBD
9292
解 得
BD
＝.故
BD
的长为.
22

【变式】

解 在△
ADC
中，
AD
＝10，
AC
＝14，
DC
＝6，
AD
2
＋
DC
2
－
AC
2
由余弦定理得cos∠
ADC
＝ 2
AD
·
DC
100＋36－1961
＝＝－，∴∠
A DC
＝120°，∴∠
ADB
＝60°.
2×10×62
在△ABD
中，
AD
＝10，∠
B
＝45°，∠
ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
sin∠
ADB
sin
B< br>10×
2
2
3
2
ABAD
∴
AB
＝
AD
·sin∠
ADB
10sin 60°
＝＝
sin
B
sin 45°
＝56
巩固训练

1. 等腰；2.
5

3
3
；3. 45°；4. ；5. 60°；6. 45°或135°；7. ；
56
3
8.
3
或2
3
；9. ①③④
222
10.（1）证明 因为a=b(b+c)，即a=b+bc,
所以在△ABC中，由余弦定理可得,
cosB =
a
2
c
2
b
2
c
2
bc
bc
==
2ac
2a
2ac
asinA
a
2
===,
2ab
2b2sinB
所以sinA=sin2B,故A=2B.
（2）解 因为a=
3
b,所以
由a=b(b+c)可得c=2b,
cosB=
a
2
c
2
b
2
3b
2
4b
2
b
2
3
==,
2
2ac
2
43b
2
a
=
3
,
b
所以B=30°,A=2B=60°,C=90°.
所以△ABC为直角三角形.
11. 解 (1)由cosB=-
由cosC=,得sinC=
4
5512
,得sinB=,
1313
3
.
5
所以si nA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=
(2)由S
△ABC
=
33
.
65
1
3333
,得×AB×AC×sinA=.
222
33
由(1)知sinA=,故AB×AC=65.
65

ABsinB
20
=AB,
13
sinC
13
20
2
故AB=65,AB=.
13
2
ABsinA
11
所以BC==.
sinC
2
又AC=
2
12. 解 （1）设x
1
、x
2
为方程ax-2
c
2
b
2
x-b=0的两 根，
b
2c
2
b
2
则x
1
+x
2
=，x
1
·x
2
=-.
a
a
∴(x
1
-x
2
)=(x
1
+x
2
)-4x1
x
2
=
∴a+b-c=ab.
222
22
4(c
2
b
2
)
a
2
+
4b
= 4.
a
ab1
a
2
b
2
c
2
又cosC===,
2ab
2
2ab
又∵C∈(0°,180°),∴C=60°.
(2)S=absinC=10
3
，∴ab=40 ……①
由余弦定理c=a+b-2abcosC,
22
即c=(a+b)-2ab(1+cos60°).
∴7=(a+b)-2×40×

1

.

2 2
222
1
2

1

2

∴a+ b=13.
又∵a＞b ……②
∴由①②，得a=8,b=5.
13. 解 （1）∵A+B+C=180°,
AB7
-cos2C=,
2
2
7
2
C
得4cos-cos2C=,
2
2
1cosC7
2
∴4·-(2cosC-1)=,
22
由4sin
2
整理,得4cosC-4cosC+1=0,解得cosC=,
∵0°＜C＜180°,∴C=60°.
222
(2)由余弦定理得c=a+b-2abcosC,
222
即7=a+b-ab,∴7=(a+b)-3ab，
由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6,
∴S
△ABC
=ab sinC=×6×
1
2
1
2
2
1
2
333
=.
2
2
14.解析 由正弦定理得＝，又∵
B
＝30°
sin∠
ACB
sin
B
ABAC
2
50×
2
AC
·sin∠
ACB< br>∴
AB
＝＝＝502(m)．答案 A
sin
B
1
2
15.解析 根据仰角与俯角的定义易知
α
＝
β
.

答案 B
16.解析 如图．

答案 B
17.解析 如图所示，依题意有∠BAC
＝60°，∠
BAD
＝75°，所以∠
CAD
＝∠
CDA
＝15°，从而
CD
＝
CA
＝10(海里)，

在Rt△
ABC
中，得
AB
＝5(海里)，
5
于是这艘船的速度是＝10(海里时)．
0.5
答案 C
18.解析 由正弦定理，知＝
sin 60°sin
答案 56
19.如 图，连接
A
1
B
2
由已知
A
2
B
2
＝102，
BCAB
180°－60°－75°
.解得
BC
＝56(海里)．

A
1
A
2
＝302×＝102，∴
A
1
A
2
＝
A
2
B
2
.
又∠
A
1
A
2
B
2
＝180°－120°＝60°，
∴△
A
1
A
2
B
2
是等边三角形， ∴
A
1
B
2
＝
A
1
A
2＝102.由已知，
A
1
B
1
＝20，
∠
B
1
A
1
B
2
＝105°－60°＝45°，(8分) 20
60

在△
A
1
B
2
B1
中，由余弦定理得
22
B
1
B
2
2
＝
A
1
B
1
＋
A
1
B
2
－2
A
1
B
1
·
A
1
B
2·cos 45°
＝20＋(102)－2×20×102×
∴
B
1< br>B
2
＝102.
22
2
＝200，
2
102
因此，乙船的速度为×60＝302(海里时)．(12分)
20











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